Transformaciones Lineales, Autovalores, Cónicas y Superficies: Conceptos y Propiedades

Transformaciones Lineales (TL)

Definición

Sean los espacios vectoriales (EV) (V,+,K,*) y (W,+,K,*) definidos en un mismo cuerpo K. Una función f:V→W es una transformación lineal (TL) si y solo si:

La imagen de la suma en V es igual a la suma de las imágenes en W, para todo par de elementos de V.
La imagen del producto de un escalar por un vector de V es igual al producto del escalar por la imagen del vector en W, para todo escalar del cuerpo K y todo vector de V.

En forma simbólica:

f(x+y) = f(x) + f(y)
f(αx) = αf(x)

Núcleo de una TL

El núcleo de una TL f:V→W es el conjunto de todos los elementos del primer espacio (V) que tienen por imagen el vector nulo del segundo espacio (W). Se denota como Nf:

Nf = {x ∈ V / f(x) = 0_W}

Imagen de una TL

La imagen de una TL f:V→W es el conjunto formado por los elementos de W que son imagen de algún elemento de V. Se denota como If:

If = {y ∈ W / ∃ x ∈ V : f(x) = y}

Propiedades de las Transformaciones Lineales

Sea V y W dos EV y f:V→W una TL. Se cumplen las siguientes propiedades:

a) Imagen del vector nulo

La imagen del vector nulo del primer espacio es igual al vector nulo del segundo espacio: f(0_V) = 0_W.

Demostración:

Sea x un vector de V. Entonces:

x ∈ V → x + 0_V = x (0_V es el elemento neutro de la suma en V)

Tomamos la imagen en ambos miembros:

f(x + 0_V) = f(x)

Como f es una TL:

f(x) + f(0_V) = f(x)

Como 0_W es el elemento neutro de la suma en W:

f(x) + f(0_V) = f(x) + 0_W

Por corolario de la definición de EV:

f(0_V) = 0_W

b) Imagen del opuesto de un vector

La imagen del opuesto de un vector de V es igual al opuesto de su imagen:

f(-x) = -f(x)

Demostración:

Por corolario de la definición de EV:

f(-x) = f(-1x)

Como f es una TL:

f(-x) = -1f(x)

f(-x) = -f(x)

c) El núcleo de una TL es un subespacio vectorial (SEV)

El núcleo de una TL es un subespacio vectorial del primer espacio.

Demostración:

Utilizaremos el criterio de subespacio vectorial.

Tomamos dos vectores a y b pertenecientes al Núcleo de f:

a ∈ Nf → f(a) = 0_W

b ∈ Nf → f(b) = 0_W

¿a + b ∈ Nf?

Como f es una TL:

f(a + b) = f(a) + f(b) = 0_W + 0_W = 0_W

Por lo tanto, (a + b) ∈ Nf (1)

Tomamos un vector a del núcleo y un escalar α:

a ∈ Nf → f(a) = 0_W

α ∈ R

¿αa ∈ Nf?

f(αa) = 0_W

Como f es una TL:

αf(a) = 0_W → α0_W = 0_W

d) La imagen de una TL es un SEV

La imagen de una TL es un subespacio vectorial del segundo espacio.

Demostración:

Utilizaremos el criterio de subespacio vectorial.

a) Sean:

w₁ ∈ If → ∃ v₁ ∈ V / f(v₁) = w₁

w₂ ∈ If → ∃ v₂ ∈ V / f(v₂) = w₂

w₁ + w₂ = f(v₁) + f(v₂) = f(v₁ + v₂) (porque f es TL)

Como v₁ ∈ V y v₂ ∈ V, entonces v₁ + v₂ ∈ V

→ ∃ (v₁ + v₂) ∈ V / f(v₁ + v₂) = w₁ + w₂ → w₁ + w₂ ∈ If (1)

b) λw₁ = λf(v₁) = f(λv₁) (porque f es TL)

v₁ ∈ V → λv₁ ∈ V → ∃ λv₁ ∈ V / f(λv₁) = λw₁ → λw₁ ∈ If (2)

De (1) y (2), se concluye que If es un subespacio vectorial de W.

Teorema de las Dimensiones

Sea (V,+,K,*) un espacio vectorial de dimensión finita y f:V→W una TL. Entonces se cumple que la dimensión del núcleo más la dimensión de la imagen es igual a la dimensión del primer espacio:

dim(Nf) + dim(If) = dim(V)

Teorema Fundamental de las Transformaciones Lineales

Sean (V,+,K,*) y (W,+,K,*) dos espacios vectoriales y sea B = {v₁, …, v_n} una base de V. Si w₁, …, w_n son n vectores de W, entonces existe una única TL f:V→W tal que f(v_i) = w_i, ∀i = 1, …, n.

Este teorema asegura que toda TL entre dos espacios vectoriales queda unívocamente determinada por los valores que toma sobre cualquier base del primer espacio.

Matriz Asociada a una Transformación Lineal

Sean (V,+,K,*) y (W,+,K,*) dos espacios vectoriales de dimensión n y m, respectivamente. Sea B₁ = {v₁, …, v_n} una base del primer espacio vectorial y B₂ = {w₁, …, w_m} una base del segundo espacio vectorial. Si f:V→W es una TL, entonces la matriz asociada a f respecto de las bases B₁ y B₂ es una matriz de dimensión m x n cuyas columnas son las coordenadas de las imágenes de los vectores de la base B₁ expresadas en la base B₂:

A = ([f(v₁)]_B2 [f(v₂)]_B2 … [f(v_n)]_B2)

Teorema de Unicidad de la Matriz Asociada a una TL

Sea f:V→W una TL, B₁ = {v₁, …, v_n} una base del primer espacio vectorial y B₂ = {w₁, …, w_m} una base del segundo espacio vectorial. Entonces existe una única matriz A ∈ K^{n x m} tal que [f(v)]_B2 = A[v]_B1.

Autovalores y Autovectores

Sea una TL f:V→V. Un escalar λ ∈ R es un autovalor de f si existe un vector no nulo u ∈ V tal que f(u) = λu. El vector u se denomina autovector asociado al autovalor λ.

Importante: El vector u debe ser distinto del vector nulo, de lo contrario f(u) = λu se verificaría para cualquier valor de λ.

Teorema 1 (T1)

Un mismo autovector no puede estar asociado a distintos autovalores.

Demostración:

Supongamos que existen dos autovalores distintos, λ₁ y λ₂, y un autovector u asociado a ambos. Entonces:

f(u) = λ₁u y f(u) = λ₂u

Igualando:

λ₁u = λ₂u

Transponiendo al primer miembro y sacando factor común u:

u(λ₁ – λ₂) = 0

Como u ≠ 0 (por definición de autovector), entonces:

λ₁ – λ₂ = 0

Por lo tanto, λ₁ = λ₂, lo que demuestra que el autovalor es único.

Corolario: Un conjunto de autovectores puede estar asociado a un mismo autovalor.

Definición de Subespacio Asociado

Sea λ un autovalor de la TL f:V→V. Se llama subespacio asociado a dicho autovalor, denotado por L(λ), al conjunto:

L(λ) = {u ∈ V / f(u) = λu}

Teorema 2 (T2)

Si λ es un autovalor de la TL f:V→V, entonces L(λ) es un subespacio vectorial, denominado subespacio asociado al autovalor λ.

Teorema 3 (T3)

Si λ = 0 es un autovalor de la TL f:V→V, entonces el subespacio asociado al autovalor 0 es igual al núcleo de f (Nf).

Demostración:

Partiendo de la definición del espacio asociado:

L(λ) = {u ∈ V / f(u) = λu}

Como el autovalor λ = 0, particularizamos la definición para ese valor:

L(0) = {u ∈ V / f(u) = 0u}

L(0) = {u ∈ V / f(u) = 0} = Nf

Autovectores Asociados a Autovalores Distintos

Teorema 4 (T4)

Sea f:V→V una TL y sean v₁, …, v_n autovectores correspondientes a los autovalores λ₁, …, λ_n. Si los autovalores son distintos entre sí, entonces los autovectores son linealmente independientes (LI).

Corolario: Sea f:V→V una TL en un espacio vectorial de dimensión n. Entonces, f tiene como máximo n autovectores LI y, como los autovectores están asociados a autovalores, f tiene como máximo n autovalores diferentes.

Transformación Lineal Diagonalizable

Una TL f:V→V es diagonalizable si existe una base de V tal que la matriz asociada a la TL respecto de esa base es una matriz diagonal.

Definición

Sea f:V→V una TL en un espacio vectorial de dimensión n. Si f tiene n autovalores distintos, entonces existe una base formada por los autovectores, y la matriz asociada a f respecto de esa base es una matriz diagonal cuyos elementos no nulos son los autovalores de la TL.

Polinomio Característico

Un escalar λ es un autovalor de la TL f:V→V si para algún vector x se verifica f(x) = λx. También sabemos que f(x) = Ax, donde A es la matriz asociada a f. Entonces:

Ax = λx

Multiplicando en el segundo miembro por la matriz identidad I:

Ax = λIx

Transponiendo al primer miembro y sacando factor común x:

(A – λI)x = 0 (1)

Para que λ sea un autovalor de la matriz asociada, debe existir un vector x ≠ 0 que satisfaga la ecuación (1). Como se trata de un sistema de ecuaciones lineales homogéneo con igual número de incógnitas y ecuaciones, para que exista una solución distinta de la trivial, es necesario que la matriz de los coeficientes (A – λI) sea no invertible, es decir, que su determinante sea igual a cero:

|A – λI| = 0

Esta ecuación se denomina ecuación característica, y los escalares que la satisfacen son los autovalores de la TL. El polinomio característico se obtiene al desarrollar |A – λI|.

Observaciones:

Los autovalores son independientes de la base elegida.
La multiplicidad de un autovalor es mayor o igual a la dimensión de su subespacio asociado.
Si dim L(λ) = m, entonces la TL es diagonalizable.

Cónicas

Circunferencia: Es el conjunto de puntos del plano P(x, y) que equidistan de otro punto fijo del mismo plano. El punto fijo se llama centro de la circunferencia, y la distancia de este a cualquier otro punto de la circunferencia se llama radio.

Cónicas: Llamamos secciones cónicas a la elipse, la parábola y la hipérbola, que se definen de la siguiente manera: son el lugar geométrico de los puntos del plano cuya relación de distancias a un punto fijo (foco) y a una recta fija (directriz) es constante. Esta relación constante se llama excentricidad (e).

e = 1: Parábola
e < 1: Elipse
e > 1: Hipérbola

Parábola: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distancia de un punto fijo (foco) y de una recta fija (directriz), estando ambos en el mismo plano.

Elipse: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante. La constante se denota como 2a.

dist(P₁, F₁) + dist(P₁, F₂) = 2a

a²(a² – c²) = x²(a² – c²) + a²y²

Llamando a² – c² = b² y dividiendo por a²b², se obtiene la ecuación canónica.

Excentricidad: Se define como la razón entre la distancia focal y el diámetro mayor.

Hipérbola: Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante. Los puntos fijos se llaman focos, y la distancia constante se denota como 2a.

Ecuación de la Recta Tangente

Circunferencia: Si el punto pertenece a la circunferencia: m = -x/y; xx₀ + yy₀ = r²
Parábola (y² = 4px): m = 2p/y; yy₀ = 2p(x – x₀)
Elipse: m = -b²x / a²y; a²b² = a²yy₀ + b²xx₀
General: Axx₀ + Cy₀y + D/2(x + x₀) + E/2(y + y₀) + F = 0, donde x² = xx₀, y² = yy₀, x = (x + x₀)/2, y = (y + y₀)/2

Superficies Regladas

Una superficie reglada es la superficie engendrada por el movimiento de una semirrecta en el espacio.

Superficie Cilíndrica: Generada por el movimiento de una recta que se mueve paralela a sí misma apoyada en una curva. La recta móvil se llama generatriz, y la curva fija, directriz.

Superficie Cónica: Superficie engendrada por una recta que se mueve de tal modo que pasa siempre por un punto fijo y se apoya sobre una curva. La recta móvil se llama generatriz; la curva fija, directriz; y el punto fijo, vértice, que divide a la superficie en dos ramas.