Trabajo y Potencial en Campos Eléctricos: Conceptos Clave
Si se desea mover una carga puntual Q del punto A al punto B en el campo eléctrico E del esquema, de acuerdo a la Ley de Coulomb, la fuerza sobre Q es:
F = Q ∗ E
Luego, el trabajo realizado en el desplazamiento de la carga a través de dl es:
dW = −F ∗ dl = −Q ∗ E ∗ dl
El signo negativo indica que el trabajo es realizado por un agente externo. Así, el trabajo realizado total, o la energía potencial requerida para mover Q de A hasta B, es:
“Se denominan superficies equipotenciales a todas aquellas en las que el potencial eléctrico se mantiene constante para todos sus puntos.”
Según esta definición, si nos desplazamos a lo largo de una superficie equipotencial, el trabajo realizado por el campo eléctrico deberá ser cero, dado que no hay variación de su potencial.
Recordando la relación entre el campo eléctrico y su potencial, podemos plantear que el trabajo realizado por el campo E en un desplazamiento diferencial dl a lo largo de una superficie equipotencial será: E ∗ dl = −dr = 0
Resumiendo: El vector campo eléctrico E es siempre perpendicular a una superficie equipotencial.
Luego teníamos que:
E = − dV u
dr r
Esto nos confirma que el campo eléctrico E creado por una carga puntual es central respecto de la carga y su módulo es la derivada de la función potencial que le está asociada, con signo negativo.
Entonces, el signo negativo significa que el potencial eléctrico disminuye a medida que nos movemos en el sentido del campo E.
En un campo E creado por una carga puntual, las superficies equipotenciales (V=cte.) son esferas con centro en la carga, y su potencial es menor cuanto mayor sea el radio.
q
V(P) =
4nsorP
Generalizando, sea un espacio en el que existe un campo eléctrico E(x, y, z) que es función de tres variables cartesianas. La derivada total es reemplazada por las derivadas parciales en las tres direcciones. Por lo tanto, la relación entre el vector de campo E(x, y, z) y el campo escalar V asociado, llamado potencial, en cualquier punto de este espacio será:
E(x, y, z) = − (&V x + &V y + &V z) = −∇V
&x &y &z
E = −∇V
Luego, el campo E es el gradiente de la función escalar V, llamado potencial.
Tenemos que E = −∇V, donde V es un escalar que conocemos como potencial eléctrico.
Al mover una unidad de carga de un punto P1 a otro P2 en un campo eléctrico, hay que realizar un trabajo en contra del campo igual a:
W P2 J
O sea
q = − ƒ E ∗ dl [C o V]
1
P2
W = −q ƒ E ∗ dl [J] Trabajo realizado
P1
La división entre W y q da como resultado la energía potencial por unidad de carga.
Esta cantidad, denotada por Vp1p2, se conoce como DIFERENCIA DE POTENCIAL entre los puntos P1 y P2.
Además, se demostró que el potencial en cualquier punto debido a una carga q en el origen es:
q
V =
4nsorP
Para el caso de n cargas puntuales q1 … qn situadas en los puntos con vectores de posición r1 … rn, el potencial en r es:
V(r) =
q1
4ns|r − r1|
n
q2
+
4ns|r − r2|
+ ⋯ +
qn
4ns|r − rn|
V(r) =
1
4nso
K=1
qk
|r − rK|
Para cargas puntuales
Para distribuciones continuas de carga, qk se reemplaza por el elemento de carga
q1 ∗ dl , qA ∗ dA, qr ∗ dr
Luego:
V(r) =
1
4ns
q1(r)dl’ ƒ |r − r’|
Distribución lineal
V(r) =
V(r) =
1
4nso 1
4nso
qÂ(r) dA’ ƒ |r − r’|
qr(rr)dr’ ƒ |r − r’|
Distribución superficial
Distribución volumétrica
Donde las coordenadas primas denotan la ubicación del punto de origen y las coordenadas no primas indican al punto de campo (el punto en el que se determinará V).
Volviendo a la diferencia de potencial entre dos puntos P1 y P2
P2
V2 − V1 = − ƒ dV
P1
No es posible hablar de potencial absoluto de un punto, al igual que no podemos hablar de la fase absoluta de un fasor o la altitud absoluta de un lugar geográfico; primero hay que especificar un punto de referencia de potencial cero, una fase de referencia cero (t=0) o una altitud de referencia cero (nivel del mar).
En la mayoría de los casos (aunque no en todos), el punto de potencial cero se toma en el infinito. Cuando el punto de referencia de potencial cero no está en el infinito, por ejemplo, cuando se está conectado “a tierra”, debe especificarse de manera explícita.
El signo negativo proviene de:
P2
W = −q ƒ E ∗ dl
P1
Donde se está moviendo una carga q de P1 a P2 en el campo E; la fuerza sobre q es
F = qE, luego dW = −F ∗ dl = −q ∗ E ∗ dl.
El signo negativo indica que el trabajo realizado es por un agente externo.
El gradiente del campo escalar V, es decir, ∇V, es normal a las superficies con V constante. Por lo tanto, si se usan líneas de campo dirigidas o líneas de flujo para indicar la dirección del campo E, siempre serán perpendiculares a las líneas equipotenciales y a las superficies equipotenciales.
Se da el nombre de superficie equipotencial a un campo electrostático en todos los puntos. Es un concepto muy importante, dado que se puede demostrar que en electrostática la superficie de un conductor es siempre equipotencial.
Como todos los puntos de una superficie equipotencial se encuentran a un mismo potencial, la diferencia de potencial entre dos puntos cercanos A y B sobre dicha superficie es nula.
Relación entre E y la 5ª Ecuación de Maxwell
Como se demostró, la diferencia de potencial entre los puntos A y B es independiente de la trayectoria adoptada. Por tanto;
VAB = −VB&A
Esto es, VAB + VB&A = ∮E ∗ d∗l = 0
Luego, la integral de E a lo largo de una trayectoria cerrada debe ser cero. En términos físicos, esto implica que en un campo electrostático, el desplazamiento de una carga a lo largo de una trayectoria cerrada no supone la realización de ningún trabajo neto. La aplicación del teorema de Stokes a la ecuación anterior da como resultado:
Ø E ∗ d∗l = ƒ(∇ × E) ∗ dS = 0
|
Todo campo vectorial que satisface estas 2 últimas ecuaciones se dice que es un campo conservativo. Las 2 ecuaciones anteriores son la ecuación de Maxwell para campos eléctricos estáticos.