Teoremas Fundamentales de Probabilidad y Muestreo Aleatorio

Teoremas y Métodos Fundamentales en Probabilidad y Muestreo

Teorema Central del Límite

Teorema Central del Límite: Sean X₁, X₂, …, X_N variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media E(X_i) = μ y varianza Var(X_i) = σ² finitas. Entonces, si N es suficientemente grande (N → ∞), la suma de dichas variables ∑_i=1,N X_i tiene aproximadamente una distribución normal N(Nμ, √Nσ). Matemáticamente, puede escribirse que:

B(N,P) →^D N(NP,√NPQ)

Teorema de la Probabilidad Total

Teorema de la Probabilidad Total: Dada una colección de sucesos A₁, A₂, A₃, …, A_N que conforman un sistema completo de sucesos, entonces la probabilidad de cualquier suceso B puede obtenerse como:

En su aplicación debe tenerse en cuenta que el suceso B puede darse conjuntamente con algunos o con todos los sucesos A_i. El resultado permite obtener la probabilidad del suceso B conocidas todas sus probabilidades condicionadas con respecto del sistema completo de sucesos P(B/A_i) (verosimilitudes) y las probabilidades de los sucesos del sistema completo P(A_i) (probabilidades a priori o iniciales).

Teorema de Bayes

Teorema de Bayes: Dada una colección de sucesos A₁, A₂, A₃, …, A_N que conforman un sistema completo de sucesos, y un suceso B tal que P(B)>0, se verifica que:

En su aplicación destaca el hecho de que el suceso B ha acontecido u ocurrido pues se exige como condición que P(B)>0.

Muestreo Aleatorio Simple

El Muestreo Aleatorio Simple es un subconjunto de una muestra elegida de una población más grande. Cada individuo se elige al azar y por pura casualidad. En este tipo de muestreo cada individuo tiene la misma probabilidad de ser elegido en cualquier etapa del proceso.

Fórmulas Clave

P(A/B)= P(B/A)P(A)/P(B)     P(B)= P(B/A)P(A)+P(B/Â)     P(A ∩ B)=P(A)P(B\A)=P(B)P(A\B)        

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)    Independientes si P(A∩B)=P(A)P(B)  P(A)=P(A/B) 

Desigualdad de Tchebychev

Desigualdad de Tchebychev que avala el uso de la desviación típica como medida de dispersión asociada a la media de una variable aleatoria. Este resultado indica que si X es una variable aleatoria de media μ y desviación típica σ, entonces para cualquier constante K>0 se verifica que:

Métodos de Cálculo de Probabilidades

Método Clásico o de Laplace

El Método Clásico o de Laplace: surge vinculado a los juegos de azar y define la probabilidad de un suceso A como:

Esta definición requiere que los resultados elementales del experimento sean igualmente posibles (principio de simetría o equiprobabilidad o indiferencia) y solamente se puede aplicar en este tipo particular de experimentos aleatorios.

Método Subjetivo

El Método Subjetivo define la probabilidad de un suceso A como el grado de creencia u opinión que un/una evaluador/ra tiene sobre su ocurrencia bajo ciertas condiciones empíricas. Esta asignación de la probabilidad puede estar parcialmente basada en el conocimiento previo (frecuentista y/o clásico) pero tiene un carácter eminentemente subjetivo. Bajo esta perspectiva, distintas/os investigadoras/as podrían asignar probabilidades diferentes al mismo suceso por lo que en ocasiones se considera que no puede ser la base del conocimiento científico al estar basado en la subjetividad u opiniones personales. Constituye una alternativa para la asignación de probabilidades en fenómenos no susceptibles de repetición.

Método Loxicista

Método Loxicista que entiende la probabilidad de un suceso o acontecimiento como el grado de creencia que, dada la evidencia empírica existente, es lógico o racional o razonable mantener sobre la posibilidad de ocurrencia del suceso. Este grado de creencia lógico no depende de cada individuo sino que está relacionado con el nivel de conocimiento existente en ese momento. Puede por tanto variar si este conocimiento cambia, pero a diferencia de la concepción subjetiva, no varía de un individuo a otro.

Método Frecuentista

Método Frecuentista, se refiere a qué tan probable es un suceso cuando un experimento se repite muchas veces. En esencia, se calcula como el cociente entre la cantidad de casos favorables y la cantidad de casos posibles cuando la cantidad de casos tiende al infinito. Imagina que realizamos un experimento numerosas veces y observamos los resultados. Las frecuencias relativas de los posibles resultados tienden a estabilizarse en valores concretos a medida que repetimos el experimento.

Corrección de Yates

Yates: Se realiza al aproximar una variable aleatoria discreta (binomial, Poisson, etc.) a una continua (generalmente la normal). El motivo de hacer esta corrección es porque en las variables discretas la probabilidad de tomar un valor concreto puede ser ≠ de 0 mientras que en las continuas siempre es 0.

Z ≤