Semejanza Física en Mecánica de Fluidos: Conceptos y Aplicaciones

La semejanza física es una generalización de la semejanza geométrica en problemas en los que intervienen múltiples magnitudes y no sólo la longitud.

La semejanza geométrica existe cuando la relación entre las magnitudes lineales homólogas en ambos objetos es constante. A esta constante se le llama escala. Por lo tanto, adimensionalizando con una longitud característica, los valores adimensionales de longitudes, superficies y volúmenes serán idénticos.

Si en dos o más fenómenos físicos geométricamente semejantes que dependen de n valores característicos, adimensionalizamos las variables, los parámetros, las coordenadas, el tiempo y las condiciones iniciales y de contorno, el problema a resolver queda planteado de forma única y común, y por lo tanto la solución adimensional será idéntica en ambos casos.

Según el teorema Pi, la solución de un problema particular depende únicamente de n-k valores adimensionales independientes (supuesto que haya en los parámetros y variables originales k dimensionalmente independientes). La condición necesaria y suficiente para que entre esos fenómenos físicos haya semejanza física es que las ecuaciones diferenciales que los definen y las condiciones iniciales y de contorno, todo ello en forma adimensional, más los n-k parámetros adimensionales independientes formados por sus n valores característicos, sean idénticos entre sí.

Semejanza Física en Mecánica de Fluidos

El conjunto de las ecuaciones que determinan un problema físico en el que intervienen fluidos son las ecuaciones de Navier-Stokes:

más las ecuaciones de estado

y las leyes constitutivas del fluido

Faltan naturalmente las condiciones iniciales y de contorno para completar el planteamiento del problema. Para adimensionalizar las ecuaciones y condiciones iniciales y de contorno, es necesario hacer los cambios de variable y parámetros mediante la definición de unos valores característicos en cada uno en la forma:

Las variables con subíndice cero indican los valores característicos, que son los que conservan las dimensiones, y las “prima” son las variables y parámetros adimensionales. Si queremos que las ecuaciones adimensionales que describen dos situaciones diferentes sean las mismas, podemos resumir a continuación las condiciones necesarias y suficientes para que se pueda considerar que existe semejanza física entre ellas:

Semejanza geométrica.
Igualdad de los números adimensionales.
Igualdad de las funciones de estado y leyes constitutivas adimensionales.
Igualdad de las condiciones iniciales y de contorno adimensionalizadas. Esto puede introducir otros parámetros adimensionales, que también tendrán que coincidir.

Cuando todo esto se cumpla, se podrá decir que las soluciones adimensionales son idénticas y que, por tanto, los dos casos tienen semejanza física completa.

Parámetros Adimensionales en Mecánica de Fluidos y su Significado Físico

A continuación, se recogen los parámetros adimensionales más usuales:

Número de Strouhal
Se puede interpretar como la relación entre el tiempo de residencia en la zona analizada t_r y el tiempo característico de variación del problema general t_o. Si St >> 1, …
Número de Reynolds
Expresa la relación entre el término convectivo y el viscoso. Re >> 1: Movimiento con viscosidad despreciable (en principio).
Número de Froude
Expresa la relación entre la energía cinética y la potencial debida a la gravedad.
Relación de calores específicos
Número de Mach
Como parámetro global mide de alguna forma la relación entre la energía cinética y la energía térmica en un movimiento. Si M << 1, …
Números de Prandtl y Péclet
El número de Péclet se puede definir a partir de la relación adimensional anterior; nos da la relación entre la convección térmica y la conducción.
El número de Prandtl es el cociente entre la difusividad viscosa y térmica.
Las condiciones de contorno es posible que introduzcan otros parámetros adimensionales que también debieran ser reproducidos para asegurar la existencia de semejanza física.
Número de Euler
El número de Euler compara la presión atmosférica con el doble de la energía cinética del flujo.
Número de Eckert
Es otra forma de comparar la energía cinética y la diferencia de entalpía (temperatura), entre, por ejemplo, la del flujo y la del contorno sólido.
Número de Weber
Compara la energía cinética (o presión dinámica) con la energía potencial (o el salto de presión por ella producida) debida a la tensión superficial.
Número de Bond
Relaciona la longitud característica del problema con la longitud capilar que se define a partir de la tensión superficial.

Los efectos de flotación y la transmisión de calor también introducen otros números adimensionales:

Número de Rayleigh
Número de Grashof
Relacionan ambos el término de flotabilidad con los de viscosidad y conductividad térmica.
Número de Nusselt
Número de Stanton
Estos dos últimos números adimensionales están relacionados con la transferencia de un flujo de calor q.

Experimentación con Modelos y Semejanza Física Parcial

La semejanza física permite ensayar sobre modelos y utilizar los resultados para predecir valores en el caso real. Según lo visto, para que exista semejanza deben ser iguales todos los coeficientes adimensionales que intervengan. Esto es prácticamente imposible en muchas situaciones reales, lo que hace que a veces no se pueda cumplir la semejanza física total.

Si tanto el modelo como el caso real tienen un parámetro adimensional que toma valores diferentes, pero que no alteran el resultado, se puede reproducir con el modelo la realidad ajustando los parámetros adimensionales importantes y dejando diferentes aquellos que no alteren el resultado, mientras se mantengan en el rango correspondiente. Esto es la semejanza física parcial. Como ejemplo se puede mencionar el caso de los ensayos a escala en barcos. Al plantear las ecuaciones y condiciones de contorno en un sistema ligado al barco que avanza en velocidad estacionaria, tendremos como solución los campos de velocidad y presión:

Y tras aplicar el teorema π, nos quedaría una serie de funciones adimensionales. Mediante la integración de estas funciones obtenemos la componente horizontal D (resistencia) y la componente vertical (flotación).

Si ahora se razona cuáles deben de ser los parámetros adimensionales del ensayo a escala, estos serán en principio tres:

Número de Reynolds
Número de Froude
Calado relativo H/L o densidad relativa M/ρL³

según se fije artificialmente el equilibrio vertical o haya que realmente cumplirlo.

Ahora bien, utilizando como es habitual agua en el ensayo a escala, el cumplimiento de los dos primeros parámetros adimensionales significaría que simultáneamente debe cumplirse la relación UL=U’L’ y UL^-1/2=U’L’^-1/2

donde los valores característicos con prima serían los del ensayo a escala. Este conjunto de igualdades solo tiene solución si la escala y la velocidad del ensayo es la misma que el del problema real.

Para resolver esto es donde se puede hacer uso de la semejanza física parcial, para razonar que por encima de cierto nivel de Reynolds la solución se hace independiente del mismo, esto es, de la viscosidad. Bastaría con cumplir el número de Froude y asegurar el número de Reynolds en este rango, aunque no fuese exacto, para que los resultados adimensionales fueran aplicables del modelo a escala al caso real.

Soluciones de Semejanza

Relacionado con el análisis dimensional y la semejanza física está el concepto de solución de semejanza. Esta se produce cuando la solución de un problema no depende de forma separada de dos o más variables independientes, sino de la combinación de ellas en una variable de semejanza.

Se puede detectar esto cuando al aplicar el teorema Pi no se puede mantener el mismo número de variables independientes adimensionalizadas que las que existían sin adimensionalizar.

También se puede encontrar su existencia por ser el problema invariante ante transformaciones, por ejemplo, homotecias en las variables independientes.

Ejemplo: El movimiento impulsivo de una placa plana tiene por ecuaciones y condiciones iniciales y de contorno

que significa u = Uf(y,t,v), al aplicar el análisis dimensional resulta u/U=φ(y/√vt). La solución no depende de modo independiente del espacio y el tiempo, sino de una variable de semejanza formada por una combinación de ambas.