Resolución de Problemas de Proporcionalidad y Porcentajes

Problemas de Proporcionalidad

Tipos de problemas

Problemas de valor perdido: Se dan tres cantidades y la tercera es desconocida. Ejemplo: Las empresas A y B fabrican tornillos, pero aunque las dos empiecen al mismo tiempo, A es más rápida que B. Cuando A ha fabricado 100 tornillos, B ha fabricado 50. ¿Cuántos tornillos habrá fabricado B cuando A haya hecho 200?
Problemas de comparación numérica: La información numérica de las dos razones se da de forma completa y deben ser comparadas. Ejemplo: ¿Qué vehículo tiene una velocidad media mayor, un turismo A que recorre 100 km en 90 minutos o un turismo B que recorre 120 Km en 100 minutos?
Problemas de comparación y predicción cualitativa: La comparación que deben hacer los estudiantes entre las razones no depende de valores numéricos. Ejemplo: Cada día, cuando Marta se prepara el desayuno mezcla leche con azúcar. Ayer echó más leche que azúcar, pero hoy ha decidido echar más azúcar y menos leche. ¿En cuál de los dos días la leche tendrá un sabor más dulce?

Dificultad

La presencia de razones enteras o razones no enteras (las razones no enteras más difíciles).
El tamaño de las razones o de las cantidades utilizadas (el uso de razones o cantidades grandes aumenta el nivel de dificultad).
El orden en el que se presentan los datos en el enunciado (si se trata de un problema de valor perdido, si la incógnita se presenta en último lugar el problema es más fácil).
Con respecto al contexto del problema: La familiaridad con el contexto (los contextos de mezclas más difíciles).

Estrategias de resolución

Enfoque funcional: Se basa en la propiedad de la constancia de razones externas o funcionales.
Enfoque escalar: Se basa en la propiedad de invarianza de razones internas o escalares.
Reducción a la unidad: Se obtiene en primer lugar la unidad.
Estrategia constructiva: Se basa en las propiedades: f(a+b)=f(a)+f(b) f(ax)= a·f(x)
Regla de tres.

Enseñanza de la Proporcionalidad

Ideas clave

Idea 1: Un recurso importante en la enseñanza de la proporcionalidad es la tabla de proporcionalidad. Las tablas de proporcionalidad ayudan a que los estudiantes puedan centrar su atención en la relación entre las cantidades, y no sólo en las operaciones que deben realizar. Por ejemplo, en un problema de valor perdido.
Idea 2: Conexiones entre diferentes modos de representación. Por ejemplo, entre gráficas y tablas.

Niveles de comprensión

Nivel 0: No se dan explicaciones, cálculos ilógicos, aplica estrategias proporcionales y aditivas de manera sistemática (en problemas proporcionales y no proporcionales).
Nivel 1: Usa dibujos o manipulativos para dotar de sentido a las relaciones multiplicativas entre las cantidades. Realiza comparaciones cualitativas.
Nivel 2: Usa estrategias constructivas e identifica y usa la razón funcional y escalar son enteras.
Nivel 3: Identifica y usa la razón funcional y escalar cuando las razones son enteras y no enteras.

Problemas de Porcentajes

Tipos de tareas

Equivalencia entre diferentes maneras de representar las relaciones entre cantidades: Son tareas que requieren cambiar entre los tres sistemas de notación: porcentaje, expresión decimal y fracción. Y, a veces, usando el apoyo de representación gráfica.
Problemas en contexto matemático: Porcentaje de un número (solo en contexto numérico). En este caso, se requiere encontrar una de las tres posibles incógnitas: porcentaje, parte o todo de la ecuación. Tenemos tres casos:
- Encontrar la parte: “5% de 80 = ___”.
- Encontrar el porcentaje: “___ % de 80 = 4”.
- Encontrar el todo: “5% de ___ = 4”.
Problemas en contexto cotidiano: Situaciones en las que aparece un porcentaje en un contexto cotidiano y requiere extraer información. Tipos:
- Relación parte-todo: “El 80% de los estudiantes aprobaron el examen” → el porcentaje describe el conjunto (la parte) de estudiantes que aprobaron el examen en relación al conjunto total de estudiantes (el todo).
- Relación todo-todo: “El precio de un vestido era 120 euros y ha aumentado a 150 euros. El nuevo precio es un 125% respecto al precio original”.

Ejemplos de problemas

Problemas parte-todo

Incógnita cantidad inicial: El precio de un vestido ha aumentado el 20%. Ahora vale 150 euros. ¿Cuánto valía al principio?
Incógnita cantidad final: Un vestido valía 120 euros. Se ha aumentado un 20%. ¿Cuál es su precio ahora?
Incógnita %: Un vestido que valía 120 euros ahora vale 150 euros. ¿Qué porcentaje del precio inicial se ha subido?
Incógnita el todo: Han aprobado matemáticas el 80% de los estudiantes que son 600. ¿Cuántos alumnos tiene el colegio?
Incógnita el % de la parte 1 respecto del todo: Si en un colegio de 750 alumnos han aprobado matemáticas 600 alumnos ¿qué porcentaje de alumnos ha aprobado?
Incógnita la parte 1: En un colegio de 750 alumnos han aprobado matemáticas el 80%. ¿Cuántos alumnos han aprobado?
Incógnita la parte 2: De 750 alumnos han suspendido matemáticas el 20%. ¿Cuántos alumnos han suspendido?

Problemas todo-todo

Qué % es la cantidad final de la inicial: Un vestido que valía 120 euros ahora vale 150 euros. ¿Qué % es el precio final del precio inicial?
Qué % es la cantidad final de la final: Un vestido que valía 120 euros ahora vale 150 euros. ¿Qué % es el precio inicial del precio final?

Problemas parte 1 – parte 2

Incógnita qué % de alumnos han aprobado en relación a los que han suspendido: En un colegio de 750 estudiantes, han suspendido matemáticas 150 (y han aprobado matemáticas 600). ¿Qué porcentaje de alumnos han aprobado en relación a los que han suspendido?
Incógnita qué % de alumnos han suspendido en relación a los que han aprobado: En un colegio de 750 estudiantes, han suspendido matemáticas 150 (y han aprobado matemáticas 600). ¿Qué porcentaje de alumnos han suspendido en relación a los que han aprobado?

Nota: Los ejemplos de problemas presentados se pueden clasificar en situaciones estáticas, que involucran una relación entre dos conjuntos diferentes en un momento en el tiempo (parte-todo o parte-parte).