Propiedades de las Funciones de Demanda Hicksianas y Marshallianas

Propiedades Hicksianas

Características Principales

• No observables: Dependen de la utilidad, que no es observable.
• Homogéneas de grado 0 en precios:
• Continuas en precios:
• dh_j(P,U)/Dp_i = S_j,i (S_j,i = efecto sustitución cruzado donde j es cantidad de j al variar i precio del i y S_j,i < 0 si n = 2 bienes).
• dh_j/dp_j > 0 (siempre) donde S_j,j es efecto de sustitución directo y puede ser < o = 0 con n > 2 bienes.

Propiedades de la Función Indirecta de Utilidad

U = V(P,Y)

• Observable: Depende de precios y renta, que son observables.
• Homogénea de grado 0 en renta y precios:
• Función continua:
• Decreciente en precios y creciente en renta: dV(P,Y)/dP_j < 0 (si sube p_j baja q_j, sube utilidad); dV(P,Y)/dY > 0 (Si sube Y, sube q, sube utilidad).
• Cuasiconvexa respecto a los precios:

Propiedades de la Función de Gasto

G = G(P,U)

• No observable:
• Homogénea de grado 1 en precios:
• Continua:
• Creciente en precios y en nivel de utilidad: dG(p,u)/dP_j > 0 (si sube P_j sube G); dG(P,U)/dU > 0 (Si sube U, sube q, sube G).
• Cóncava respecto a los precios: G(P,U) es cóncava.

Restricciones del Sistema de Funciones de Demanda

Integrabilidad

a) Cumplimiento de la restricción presupuestaria:

• Condición de agregación de Engel: 1 = (∑ⁿ_i=1) s_i E_yiq_i. Una variación en la renta debe ser absorbida totalmente por una variación en las cantidades demandadas en equilibrio.

Demostración: Y = p₁q₁ + p₂q₂ + … + p_nq_n; Y = (∑ⁿ_i=1) p_iq_i elevado a q_i(p₁₁,p₂₁,…p_n,Y). Lo derivo respecto de la renta: 1 = (∑)p_i dq_i/dy; 1 = ∑ p_i dq_i/dy * y/y * q_i/q_i; 1 = ∑ E_y,qi * (p_iq_i/y); 1 = ∑ s_i E_yiq_i.

1) Calcular función de demanda marshalliana: q₁ = q₁(p₁,p₂,y); q₂ = q₂(p₁,p₂,y). Tendría que demostrar 1 = S₁E_y1q₁ + S₂E_yq2 donde S₁ = p₁q₁/y; S₂ = p₂q₂/Y.

Variaciones en los Precios y el Bienestar

Cuando varían los precios y la renta, las cantidades de equilibrio y, por tanto, el bienestar varían. Para valorar la variación del bienestar como medida inexacta está la VEC.

Hay un tipo de función de utilidad que corresponde a preferencias cuasilineales donde esta VEC se convierte en medida exacta. U = f(q₁) + μq₂ o U = μq₁ + f(q₂).

Para determinar las medidas exactas previamente hay 2 conceptos:

• Utilidad métrica monetaria: Determina cuál es el gasto mínimo necesario para que, con el vector de precios p, se alcance una utilidad igual a la asociada a la cesta q. Utilidad métrica monetaria: m(p,q) = G(P,U(q)).
• Función indirecta de utilidad métrica monetaria: Es el gasto mínimo necesario para que, a los precios p̄, se alcance la máxima utilidad que se puede obtener a unos precios p y una renta monetaria Y. μ(p̄,p,y) = G(p̄,V(P,Y)).

Vamos a suponer que hay una situación inicial pº,yº y otra final p’,y’. La variación del bienestar que se ha producido en este individuo es: 0 >= 0 > 0 (siempre).

VE determina cuál debe ser la variación en la renta para que, a los precios iniciales, se pueda obtener la utilidad de la situación final. Si p̄ = p’, variación compensatoria.

Teorema de la Dualidad

Bajo los supuestos establecidos sobre el conjunto de elección, la relación de preferencias y la restricción presupuestaria:

a) Si q* es solución del problema primal para (P,Y), entonces q* es solución del dual para Uº = U(q*).

b) Si q* es solución del dual para (P,Uº), entonces q* es solución del primal para P, Y = G(P,Uº).

Según la demostración:

a) q* es solución del primal para (p,y), entonces es solución del dual para P, Uº = U(q*). Supongamos que q* resuelve el primal pero no el dual. En ese caso, existe un plan de consumo q̄ tal que: pq̄ > U(q̄) = U(q*). Entonces, q* no puede ser la solución del primal; existe una cesta alcanzable que es preferida a q*.

b) q* es solución del dual para (P,Uº), entonces es solución del primal para P, Y = G(P,Uº). Supongamos que q* resuelve el dual pero no el primal. En ese caso, existe un plan de consumo q̃ que verifica: y = pq̃ = pq*, U(q̃) > U(q*) = Uº. El axioma de continuidad de las preferencias nos dice que existe un λ entre 0 y 1 tal que: pλq̃ > U(q*) = Uº. Por tanto, q* no puede ser solución del problema dual (existe una combinación (λq̃) que permite obtener una utilidad mayor que q* con menor gasto).