Optimización de recursos en la producción y distribución

1. Problema del viaje en esquí

Un agente está organizando un viaje en esquí para un máximo de 10 personas. Se requiere un mínimo de 4 hombres y 3 mujeres. La ganancia es de 10 pesos por mujer y 15 pesos por hombre. ¿Cuántos hombres y mujeres maximizan la ganancia?

Variables de decisión

Variable	Descripción
X	Cantidad de hombres
Y	Cantidad de mujeres

Función objetivo

Función

Z MAX = 15X + 10Y

Restricciones

Restricción	Expresión
Hombres	X ≥ 4
Mujeres	Y ≥ 3
Total	X + Y ≤ 10
No negatividad	X, Y ≥ 0
Enteros	X, Y ∈ N

2. Problema del sastre

Un sastre tiene 16 m² de algodón, 11 m² de seda y 15 m² de lana. Un traje requiere 2 m² de algodón, 1 m² de seda y 1 m² de lana. Una túnica requiere 1 m² de algodón, 2 m² de seda y 3 m² de lana. Un traje se vende a $300 y una túnica a $500. ¿Cuántas piezas de cada tipo debe confeccionar para maximizar sus ganancias?

Variables de decisión

Variable	Descripción
X	Cantidad de trajes
Y	Cantidad de túnicas

Función objetivo

Función

Z MAX = 300X + 500Y

Restricciones

Restricción	Expresión
Algodón	2X + Y ≤ 16
Seda	X + 2Y ≤ 11
Lana	X + 3Y ≤ 15
No negatividad	X, Y ≥ 0
Enteros	X, Y ∈ N

3. Problema de la refinería

Una refinería produce gasolina Corriente ($4000/galón), Extra ($4500/galón) y ACPM ($4100/galón). Dispone de 5000 galones de petróleo crudo ($3000/galón) y 7000 galones de petróleo refinado ($3500/galón). La gasolina Corriente requiere 40% crudo y 60% refinado; la Extra, 30% crudo y 70% refinado; y el ACPM, 50% de ambos. Plantee el modelo para maximizar el beneficio.

Variables de decisión

Variable	Descripción
X	Cantidad de gasolina Corriente
Y	Cantidad de gasolina Extra
W	Cantidad de ACPM
A	Galones de petróleo crudo
B	Galones de petróleo refinado

Función objetivo

Función

Z MAX = 4000X + 4500Y + 4100W – (3000A + 3500B)

Restricciones

Restricción	Expresión
Petróleo crudo	0.4X + 0.3Y + 0.5W ≤ 5000
Petróleo refinado	0.6X + 0.7Y + 0.5W ≤ 7000
No negatividad	X, Y, W, A, B ≥ 0
Enteros positivos	X, Y, W ∈ N+

4. Problema de la fábrica de muebles

Una compañía produce bibliotecas ($9000/unidad) y escritorios ($10000/unidad). Dispone de 700 metros de madera, 800 metros de tubo y 900 pliegos de papel de lija. Una biblioteca requiere 7 metros de madera, 10 metros de tubo y 6 pliegos de papel de lija; un escritorio requiere 10 metros de madera, 8 metros de tubo y 15 pliegos de papel de lija. ¿Cuántas bibliotecas y escritorios deben fabricarse para maximizar las ganancias?

Variables de decisión

Variable	Descripción
X	Cantidad de bibliotecas
Y	Cantidad de escritorios

Función objetivo

Función

Z MAX = 9000X + 10000Y

Restricciones

Restricción	Expresión
Madera	7X + 10Y ≤ 700
Tubo	10X + 8Y ≤ 800
Papel de lija	6X + 15Y ≤ 900
No negatividad	X, Y ≥ 0
Enteros	X, Y ∈ Z+

5. Problema del agricultor

Un agricultor tiene 640 m² para cultivar naranjos, perales, manzanos y limoneros. Busca maximizar su beneficio considerando:

Espacio: Naranjo (16 m²), Peral (4 m²), Manzano (8 m²), Limonero (12 m²).
Trabajo: 900 horas disponibles. Naranjo (30 horas/año), Peral (5 horas/año), Manzano (10 horas/año), Limonero (20 horas/año).
Riego: 200 m³ de agua disponibles. Naranjo (2 m³/año), Peral (1 m³/año), Manzano (1 m³/año), Limonero (2 m³/año).
Beneficios: Naranjo (50€), Peral (25€), Manzano (20€), Limonero (30€).

Variables de decisión

Variable	Descripción
A	Cantidad de naranjos
B	Cantidad de perales
C	Cantidad de manzanos
D	Cantidad de limoneros

Función objetivo

Función

Z MAX = 50A + 25B + 20C + 30D

Restricciones

Restricción	Expresión
Metros²	16A + 4B + 8C + 12D ≤ 640
Horas de trabajo	30A + 5B + 10C + 20D ≤ 900
Riego	2A + B + C + 2D ≤ 200
No negatividad	A, B, C, D ≥ 0
Enteros	A, B, C, D ∈ Z+

6. Problema de asignación de máquinas

Una empresa debe asignar 4 máquinas a 5 candidatos. Se realizaron pruebas de tiempo en cada máquina:

Candidato	Máquina 1	Máquina 2	Máquina 3	Máquina 4
A	10	6	6	5
B	8	7	6	6
C	8	6	5	6
D	9	7	7	6
E	8	7	6	5

Determinar qué candidatos deben ser seleccionados y a qué máquina deben ser asignados.

Variables de decisión

Variable

X_ij (Candidato i a máquina j) = {1 si se asigna, 0 si no}

Función objetivo

Función

Minimizar Z = 10X_A1 + 8X_B1 + 8X_C1 + 9X_D1 + 8X_E1 + 6X_A2 + 7X_B2 + 6X_C2 + 7X_D2 + 7X_E2 + 6X_A3 + 6X_B3 + 5X_C3 + 7X_D3 + 6X_E3 + 5X_A4 + 6X_B4 + 6X_C4 + 6X_D4 + 5X_E4

Restricciones

Restricción	Expresión
Asignación de candidato	X_A1 + X_A2 + X_A3 + X_A4 ≤ 1 (Similar para B, C, D, E)
Asignación de máquina	X_1A + X_1B + X_1C + X_1D + X_1E = 1 (Similar para máquinas 2, 3, 4)

7. Problema de distribución con almacenes

Una empresa distribuye un producto en 4 poblaciones con las siguientes demandas:

Población 1	Población 2	Población 3	Población 4
3000	2000	2500	2700

El costo de transporte es de 0.02€/km/unidad. Las distancias entre poblaciones (en km) son:

	Población 1	Población 2	Población 3	Población 4
Población 1		25	35	40
Población 2	25		20	40
Población 3	35	20		30
Población 4	40	40	30

Se instalarán dos almacenes con capacidad de 6000 unidades en dos poblaciones. ¿En qué poblaciones deben instalarse para minimizar costos?

Variables de decisión

Variable	Descripción
X_ij	Cantidad transportada de i a j
Y_i	Almacén en población i (1 si se instala, 0 si no)

Función objetivo

Función

Minimizar Z = 0.02(25X₁₂ + 35X₁₃ + 40X₁₄ + 25X₂₁ + 20X₂₃ + 40X₂₄ + 35X₃₁ + 20X₃₂ + 30X₃₄ + 40X₄₁ + 40X₄₂ + 30X₄₃)

Restricciones

Restricción	Expresión
Demanda	X₂₁ + X₃₁ + X₄₁ ≥ 3000 (Similar para poblaciones 2, 3, 4)
Almacenes	Y₁ + Y₂ + Y₃ + Y₄ = 2

8. Problema de producción de zumos

Una empresa produce zumos de pera, naranja, limón, tomate y manzana, además de combinados H y G. La disponibilidad de fruta, costos y precios de venta son:

Fruta	Disponibilidad (kg)	Costo (€/kg)	Precio (€/l)
Naranja (N)	32000	94	129
Pera (P)	25000	87	125
Limón (L)	21000	73	110
Tomate (T)	18000	47	88
Manzana (M)	27000	68	97

Especificaciones y precios de los combinados:

Combinado	Especificación	Precio (€/l)
H	≤50% M, ≤20% P, ≥10% L	100
G	40% N, 35% L, 25% P	120

Se espera vender toda la producción. 1 kg de fruta produce 1 litro de zumo. Determinar la producción para maximizar beneficios.

Variables de decisión

Variable

X_ij: Cantidad de litros de zumo i con fruta j (i={N, P, L, T, M, H, G}, j={N, P, L, T, M})

Función objetivo

Función

Z MAX = 129X_NN + 125X_PP + 110X_LL + 88X_TT + 97X_MM + 100(X_HM + X_HP + X_HL) + 120(X_GN + X_GL + X_GP) – (94X_NN + 87X_PP + 73X_LL + 47X_TT + 68X_MM + 68X_HM + 87X_HP + 73X_HL + 94X_GN + 73X_GL + 87X_GP)

Restricciones

Restricción	Expresión
Combinado H	X_HM ≤ 0.5(X_HM + X_HP + X_HL), X_HP ≤ 0.2(X_HM + X_HP + X_HL), X_HL ≥ 0.1(X_HM + X_HP + X_HL)
Combinado G	X_GN = 0.4(X_GN + X_GL + X_GP), X_GL = 0.35(X_GN + X_GL + X_GP), X_GP = 0.25(X_GN + X_GL + X_GP)
Disponibilidad	X_NN + X_GN ≤ 32000, X_PP + X_HP + X_GP ≤ 25000, X_LL + X_HL + X_GL ≤ 21000, X_TT ≤ 18000, X_MM + X_HM ≤ 27000
No negatividad	X_ij ≥ 0

9. Problema de inversión en acciones

Una compañía de inversiones tiene $250,000 para invertir en acciones A, B, C y D. Datos:

Acción	A	B	C	D
Precio ($)	110	60	90	50
Rendimiento	0.13	0.09	0.07	0.11
Riesgo por dólar	0.11	0.07	0.06	0.09

El rendimiento de la cartera debe ser al menos 8%.
Ninguna inversión puede superar el 50% del total.

¿Cómo minimizar el riesgo?

Variables de decisión

Variable	Descripción
X_A	Cantidad invertida en A
X_B	Cantidad invertida en B
X_C	Cantidad invertida en C
X_D	Cantidad invertida en D

Función objetivo

Función

Minimizar Z = 0.11 * 110 * X_A + 0.07 * 60 * X_B + 0.06 * 90 * X_C + 0.09 * 50 * X_D

Restricciones

Restricción	Expresión
Fondos	110X_A + 60X_B + 90X_C + 50X_D ≤ 250000
Rendimiento	0.13 * 110 * X_A + 0.09 * 60 * X_B + 0.07 * 90 * X_C + 0.11 * 50 * X_D ≥ 0.08 * 250000
Máximo por acción	110X_A ≤ 0.5 * 250000, 60X_B ≤ 0.5 * 250000, 90X_C ≤ 0.5 * 250000, 50X_D ≤ 0.5 * 250000
No negatividad	X_A, X_B, X_C, X_D ≥ 0
Enteros	X_A, X_B, X_C, X_D ∈ Z

10. Problema de transporte

Una empresa tiene centros de distribución en Concepción (3000 unidades), Santiago (5000) y Valparaíso (6000). Los centros de venta requieren: Providencia (2500), Santiago Centro (1100), Estación Central (3000), Quilpué (2200) y Talcahuano (1500). Costos de transporte por unidad:

	Providencia	Santiago Centro	Estación Central	Quilpué	Talcahuano
Concepción	85	90	70	100	20
Santiago	30	15	25	40	90
Valparaíso	90	75	70	50	110

¿Cómo minimizar los costos de transporte?

Variables de decisión

Variable

X_ij: Unidades enviadas de i a j (i={C, S, V}, j={P, SC, E, Q, T})

Función objetivo

Función

Minimizar Z = 85X_CP + 90X_CSC + 70X_CE + 100X_CQ + 20X_CT + 30X_SP + 15X_SSC + 25X_SE + 40X_SQ + 90X_ST + 90X_VP + 75X_VSC + 70X_VE + 50X_VQ + 110X_VT

Restricciones

Restricción	Expresión
Oferta	X_CP + X_CSC + X_CE + X_CQ + X_CT ≤ 3000 (Similar para Santiago y Valparaíso)
Demanda	X_CP + X_SP + X_VP ≥ 2500 (Similar para los demás centros de venta)
No negatividad	X_ij ≥ 0
Enteros	X_ij ∈ Z

11. Problema de la mueblería

Mueblería MARY fabrica mesas y sillas. Ensamble (60 horas) y acabado (40 horas). Mesa: 4 horas ensamble, 2 horas acabado. Silla: 2 horas ensamble, 2 horas acabado. Utilidad: $80/mesa, $60/silla. ¿Cuál es la mejor combinación para maximizar la ganancia?

Variables de decisión

Variable	Descripción
X	Cantidad de mesas
Y	Cantidad de sillas

Función objetivo

Función

Z MAX = 80X + 60Y

Restricciones

Restricción	Expresión
Ensamble	4X + 2Y ≤ 60
Acabado	2X + 2Y ≤ 40
No negatividad	X, Y ≥ 0
Enteros	X, Y ∈ N

12. Problema de producción con flujo de efectivo

Una compañía fabrica volantes, juntas y ejes. Tiempo de producción: 1620 horas ($7/hora). Costo del metal: $2.20/unidad. Costos fijos: $2200. Flujo de efectivo requerido: $800. Saldo inicial: $28425. Datos técnicos:

Producto	Tiempo (horas/unidad)	Metal (unidades/unidad)	Precio ($)	Demanda
Volantes	4.5	3.25	50.65	300
Juntas	1.8	4.70	38.94	550
Ejes	3.6	5.00	50.20	320

¿Cuál es el programa de producción que maximiza las utilidades?

Variables de decisión

Variable	Descripción
X₁	Cantidad de volantes
X₂	Cantidad de juntas
X₃	Cantidad de ejes

Función objetivo

Función

Z MAX = (50.65X₁ + 38.94X₂ + 50.20X₃) – (7 * 4.5X₁ + 7 * 1.8X₂ + 7 * 3.6X₃) – (2.20 * 3.25X₁ + 2.20 * 4.70X₂ + 2.20 * 5.00X₃) – 2200

Restricciones

Restricción	Expresión
Demanda	X₁ ≥ 300, X₂ ≥ 550, X₃ ≥ 320
Tiempo de producción	4.5X₁ + 1.8X₂ + 3.6X₃ ≤ 1620
Flujo de efectivo	(50.65X₁ + 38.94X₂ + 50.20X₃) + 28425 – (7 * 4.5X₁ + 7 * 1.8X₂ + 7 * 3.6X₃) – (2.20 * 3.25X₁ + 2.20 * 4.70X₂ + 2.20 * 5.00X₃) ≥ 800
No negatividad	X₁, X₂, X₃ ≥ 0
Enteros positivos	X₁, X₂, X₃ ∈ Z+

13. Problema de asignación de obreros (Opcional)

Una fábrica tiene cuatro obreros para cuatro trabajos. El tiempo por obrero/trabajo se muestra en la imagen.

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Se busca minimizar el tiempo total.

Variables de decisión

Variable

X_ij: Obrero i para trabajo j = {1 si se asigna, 0 si no}

Función objetivo

Función

Minimizar Z = 14X₁₁ + 5X₁₂ + 8X₁₃ + 7X₁₄ + 2X₂₁ + 12X₂₂ + 6X₂₃ + 5X₂₄ + 7X₃₁ + 8X₃₂ + 3X₃₃ + 9X₃₄ + 2X₄₁ + 4X₄₂ + 6X₄₃ + 10X₄₄

Restricciones

Restricción	Expresión
Trabajadores	X₁₁ + X₁₂ + X₁₃ + X₁₄ = 1 (Similar para obreros 2, 3, 4)
Trabajos	X₁₁ + X₂₁ + X₃₁ + X₄₁ = 1 (Similar para trabajos 2, 3, 4)