Módulo 2: Probabilidades y Estadística - Guía Completa

Módulo 2: Probabilidades

Introducción al Estudio de Probabilidades

El estudio de probabilidades indica la incertidumbre con respecto a la ocurrencia de un evento. Cuando un fenómeno puede presentarse de distintas maneras, la factibilidad de ocurrencia de cada una de ellas se define como probabilidad.

Cada una de las distintas maneras en que puede presentarse el fenómeno se denomina evento.

Ejemplo: Las caras de un dado serían los eventos.

e1 = 1
e2 = 2
e3 = 3
e4 = 4
e5 = 5
e6 = 6

La probabilidad de un evento es un número real comprendido entre 0 y 1:

0 ≤ P(E) ≤ 1

Y puede representarse como un número decimal o como fracción.

Una probabilidad de valor cero indica la imposibilidad de ocurrencia; por el contrario, una probabilidad igual a 1 significa la certeza.

2.2 Eventos: Definición y Clasificación

Eventos: Simples y Compuestos

Un evento se dice que es compuesto cuando está conformado por más de un evento simple.

Ejemplo: B: que se presente un número mayor o igual a 4 (dos eventos simples en uno).

2.3 Determinación de Probabilidades

Se tienen tres planteamientos:

Planteamiento clásico
Planteamiento basado en la frecuencia relativa
Planteamiento subjetivo

2.3.1 Planteamiento Clásico

Cuando un fenómeno puede presentarse de n formas distintas, todas ellas igualmente posibles, y de esas n formas en c de ellas lo hace con una determinada característica.

P = c / n, donde c se denomina caso favorable y n, número de casos posibles.

P = Número de casos favorables / Número de casos posibles

Ejemplo: Para que salga un número par sería P = 3/6 (3 porque 2, 4, 6 son pares; y 6 porque son 6 números en total).

2.3.2 Planteamiento en Base a la Frecuencia Relativa

Dos son los eventos simples en que puede presentarse el fenómeno: que se obtenga una cara o una cruz. Luego, la probabilidad de obtener una cara, de acuerdo al planteamiento clásico, será:

P(cara) = 1/2 = 0.5

Por otra parte, si en 10 lanzamientos se obtuvieron cuatro caras y seis cruces, entonces la frecuencia relativa de obtención de caras es:

fr(cara) = 4/10 = 0.4

Ley de los Grandes Números: Cuando un fenómeno se pone en evidencia de distintas maneras, la frecuencia relativa de ocurrencia de cada una de ellas tiende a coincidir con su probabilidad de ocurrencia cuando el número de veces que se presenta el fenómeno es lo suficientemente grande.

2.3.3 Probabilidad Subjetiva

La probabilidad subjetiva queda librada al criterio de quien la determina en función de la evidencia disponible, la cual puede basarse en la frecuencia relativa de ocurrencia en eventos pasados o simplemente de acuerdo a sus supuestos.

Este tipo de probabilidad se da cuando los eventos se presentan un número reducido de veces.

Ejemplo: Cuando debemos elegir a una de cuatro personas para un trabajo.

2.4 Representación Gráfica

Para la confección de este diagrama, representamos mediante puntos cada uno de los eventos simples en que puede presentarse el fenómeno. Cada uno de ellos se denomina punto muestral, y el espacio conformado por todos los puntos muestrales se denominará espacio muestral y se lo denota como (S).

A estos puntos les debemos asignar un valor de probabilidad entre 0 y 1:

0 ≤ P(Ei) ≤ 1, donde i varía entre 1 y 6, para este caso.

La suma de las probabilidades de todos los puntos muestrales debe ser igual a 1.

Si todas las caras tienen la misma probabilidad de ocurrencia, la probabilidad que le asignaremos a cada punto muestral será de P(Ei) = 1/6.

Ejemplo: La probabilidad de que al lanzar el dado se obtenga un número par.

A: obtener un par

Este evento compuesto se cumple en el caso de obtener un dos, un cuatro o un seis.

A se cumple si se cumple E2 o E4 o E6, y por lo tanto queda verificado gráficamente.

P(A) = P(E2) + P(E4) + P(E6)

El evento compuesto A es la unión de los eventos simples E2, E4 y E6. Teniendo en cuenta el valor de la probabilidad de ocurrencia asignada a cada uno de ellos, tendremos:

P(A) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2

2.5 Regla Aditiva

Tenemos una expresión que nos entrega la probabilidad de la unión de eventos. Esta expresión toma el nombre de Regla Aditiva:

P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)

¿Cuál es la probabilidad de que, habiendo obtenido en el lanzamiento del dado un número mayor o igual a 4, este sea par? A este tipo de probabilidad se denomina condicional y se la expresa como P(A / B). Expresión que se lee como probabilidad de ocurrencia de A según B.

P(A / B) = casos favorables / casos posibles = 2/3

P(A / B) = P(A intersección B) / P(B)

2.6 Regla Multiplicativa

La expresión anterior no solo nos entrega la probabilidad condicionada de ocurrencia de A según B, sino que nos permite obtener la expresión multiplicativa:

P(A y B) = P(B) * P(A / B)

De la misma manera, llegaríamos a la expresión:

P(B y A) = P(A) * P(B / A)

Regla aditiva: P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B) (la unión está dada por una disyunción).

Regla multiplicativa: P(A y B) = P(A) * P(B / A) = P(B) * P(A / B) (conectivo lógico «y», es una conjunción).

2.7 Relación entre Eventos

Relación entre eventos: complementario, mutuamente excluyente, independiente.

2.7.1 Eventos Complementarios

Dos eventos A y B se denominan complementarios cuando la suma de sus probabilidades es igual a 1:

P(A) + P(B) = 1

Si tenemos presente el espacio muestral en donde cada uno de los eventos posee una probabilidad y la suma de todas ellas es igual a 1, nos indica que, dado el evento A, su complemento estará constituido por todos los puntos muestrales de dicho espacio que no pertenezcan a A, y se lo denomina como A (complemento).

2.7.2 Eventos Mutuamente Excluyentes

Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes cuando la ocurrencia de uno de ellos implica la no ocurrencia del otro.

Ejemplo: Podemos decir que todos los eventos simples en que puede presentarse un fenómeno son mutuamente excluyentes. Consideremos nuevamente el lanzamiento de un dado perfectamente balanceado: seis son los eventos simples posibles, y todos ellos son mutuamente excluyentes.

El no poder ocurrir simultáneamente implica que la probabilidad de ocurrencia simultánea de ellos sea igual a cero.

P(E1 y E2) = 0

Por lo tanto, en este caso, cuando los eventos son mutuamente excluyentes:

P(A o B) = P(A) + P(B)

Conclusión: Si dos eventos A y B son complementarios, este último (B = A complemento) será mutuamente excluyente, ya que no es posible obtener otro resultado para el fenómeno que no sea uno de ellos. Resumiendo, si dos eventos son complementarios, indefectiblemente son mutuamente excluyentes.

2.7.3 Eventos Independientes

Dos eventos se dicen independientes cuando la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad de ocurrencia del otro.

¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga una cara en la segunda moneda habiéndose obtenido una cara en la primera?

P(A / B) = P(A)

Si recordamos la regla multiplicativa:

P(A y B) = P(B) * P(A / B)

Cuando los eventos son independientes, P(A / B) = P(A).

Por lo tanto, la expresión matemática de la probabilidad conjunta toma la forma de:

P(A y B) = P(A) * P(B)

Cuando dos eventos son independientes, la ocurrencia simultánea de ambos es igual al producto de sus probabilidades.

Ejemplo: Supongamos que extraemos una carta de un mazo de cartas españolas de un total de cuarenta y definimos:

C1: sacar una carta de espadas en una primera extracción.
C2: extraer una carta de espadas en la segunda extracción.

La probabilidad de extraer una carta de espadas en la primera extracción será de P = 10/40 = 1/4.

Pero la probabilidad de extraer una espada en la segunda extracción queda supeditada a la forma en que se realice el proceso, es decir, con reposición o sin reposición.

Con reposición: Luego de efectuar la primera extracción, la carta se coloca nuevamente en el mazo y se mezcla.

P(C2) = 10/40 = 1/4

Pero si el proceso se realiza sin reposición:

P(espada en 2 / no espada en 1) = 10/39

P(espada en 2 / espada en 1) = 9/39 = 3/13

Se define como probabilidad marginal a la probabilidad simple correspondiente a un evento.

Los sucesos mutuamente excluyentes deben ser dependientes, pero los sucesos dependientes no tienen necesariamente que ser mutuamente excluyentes.

2.8 Probabilidades Marginales bajo Dependencia Estadística

La probabilidad marginal en condiciones de dependencia estadística se determina mediante la suma de las probabilidades de todos los eventos conjuntos en los que se presenta el evento sencillo.

Ejemplo: Supongamos tener una caja con 10 bolillas que presentan las siguientes características:

Tres son rojas con puntos.
Una es roja con franjas.
Dos son grises con puntos.
Cuatro son grises con franjas.

La probabilidad de extraer una bola gris estará dada por la suma de las probabilidades de obtener una bola gris con puntos y una bola gris con franjas:

P(gris) = P(gris y puntos) + P(gris y franjas)

Recordar que, de manera general, P(A y B) = P(A) * P(B / A).

P(gris y puntos) = P(gris) * P(puntos / gris) = 6/10 * 2/6 = 2/10 = 0.2

Además, P(gris y franjas) = P(gris) * P(franjas / gris) = 6/10 * 4/6 = 4/10 = 0.4

Por lo tanto, la probabilidad de obtener una bolilla gris será:

P(gris) = P(gris y puntos) + P(gris y franjas) = 0.2 + 0.4 = 0.6

Combinaciones y Permutaciones

En todas ellas se lee como «Combinaciones de n elementos tomados de r en r«, matemáticamente igual a:

nCr = n! / (r! * (n – r)!)

Ejemplo: Supongamos tener un conjunto de cinco elementos a los que denominaremos como: (a, b, c, d, e)

Denominaremos como n al número de elementos que conforman el conjunto, en este caso, n = 5.

Ahora bien, si con los elementos del conjunto quisiéramos formar subconjuntos de r elementos cada uno, en este caso r = 3.

Dos combinaciones son distintas cuando varían en por lo menos un elemento.

Cada una de las distintas formas en que puede expresarse un conjunto se denomina permutación, y se las expresa como:

Pr = r!

P(3) = 3 * 2 * 1 = 6

Dos permutaciones son distintas cuando varían en la ubicación de por lo menos un elemento.

Al conjunto de combinaciones y permutaciones se las denomina Variaciones o también Permutaciones de n elementos tomados de r en r, y se lo denota como:

nPr = nCr * Pr

nPr = n! / ((n – r)!)