Matemáticas Financieras: Capitalización, Descuento y Rentas

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS

1. CAPITAL FINANCIERO

Subestimación de capitales futuros: Cualquier sujeto económico racional prefiere, a igualdad de cantidad y calidad, los bienes disponibles en el momento presente a los que pueden disponer en un momento futuro. El tiempo actúa como un bien económico negativo, ya que el alejamiento de la disponibilidad de un bien debe de ser compensado con un aumento de su cuantía para que resulte indiferente.

Comparación
1. Capitales de igual cuantía y distinto vencimiento:
  - El más inmediato
2. Capitales de cuantía diferente e igual vencimiento:
  - El de más cuantía
3. Capitales de cuantía y vencimiento diferente:
  - No se puede precisar
4. OPERACIÓN FINANCIERA

Es el intercambio NO simultáneo de capitales financieros, en el que se verifica la equivalencia financiera entre los compromisos de las partes intervinientes. Conjunto de cobros y pagos de signo opuesto y distintas cuantías que se suceden en el tiempo

2. LEYES FINANCIERAS

Equivalencia financiera: entre dos capitales cuando a su propietario le resulta indiferente una situación u otra, es decir, si al valorarlos en el mismo momento del tiempo, sus proyecciones son idénticas.

Capitalización simple: Es una operación financiera cuyo objeto es la sustitución de un capital presente por otro equivalente con vencimiento posterior, mediante la aplicación de la ley financiera en régimen simple. Es propio de las operaciones a corto plazo. Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital inicial. Los intereses no se acumulan al capital, se abonan al final de la operación.

Capitalización compuesta: Las operaciones en capitalización compuesta se caracterizan por acumular los intereses generados en cada período al capital, y producen a su vez intereses en períodos siguientes.

Los intereses generados en cada período se calculan sobre capitales distintos (cada vez mayores ya que incorporan los intereses de períodos anteriores).
Se utiliza, generalmente, en operaciones a largo plazo, operaciones de mercados de capitales con duración que excede de los límites marcados para las operaciones de corto plazo.

Fraccionamiento de intereses: tipo de interés y pago de los interés diferentes, necesarios en misma unidad de medida. Tantos equivalentes: dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo período de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final o montante. Relación entre tantos: Si tengo el nominal y quiero obtener un efectivo periodal puedo dividir el nominal entre el número de periodos. Si tengo el efectivo anual y quiero obtener el efectivo periodal NO puedo dividir el efectivo anual entre el número de periodos.

Descuento simple racional: Es la operación inversa de la capitalización simple. Las operaciones de descuento se expresarán en función de la tasa de interés, en lugar de en función de la tasa de descuento. Es necesario que el tiempo y el rédito vengan dados en la misma unidad temporal y de no ser así deben ser trasladados.

Descuento bancario: Una entidad financiera adelanta la disponibilidad de un capital en un horizonte económico a corto plazo. Es una alternativa de financiación empresarial a corto plazo, para la cual se usa como garantía derechos de cobro futuros (ventas a plazo). Al igual que en la Capitalización simple, el sistema de Descuento simple comercial se usa principalmente en operaciones con duraciones menores a un año, es decir, a corto plazo. Si en las Leyes de capitalización teníamos un tipo de interés o tasa de capitalización, en función de Co, en las Leyes de descuento tendremos una tasa de descuento en función de Cn. USO: Cuando pretendemos establecer una equivalencia financiera en un momento del tiempo, habrá que aplicar descuento racional (actualización). Cuando interviene una entidad financiera que nos anticipa el importe de una letra (o pagaré) habrá que aplicar descuento comercial.

Descuento compuesto: La ley financiera de descuento compuesto que se utiliza en los mercados financieros es idéntica que la correspondiente a la capitalización compuesta. Debe considerarse, no obstante, que dado que se están calculando cuantías correspondientes a períodos anteriores en el tiempo, el exponente de la expresión viene expresado con valor negativo.

Método retrospectivo: mediante el cual se capitalizan las cuantías de los capitales financieros que ya han sucedido hasta el momento en el que se pretende calcular el saldo de la operación.
Método prospectivo: mediante el cual se descuentan los capitales financieros que restan por suceder desde el momento en el que se calcula el saldo de la operación hasta su finalización.
Método recurrente: que consiste en calcular el saldo de la operación en un determinado momento a partir del saldo de la misma en otro momento. En este caso, para calcular correctamente el nuevo saldo deben incorporarse los valores capitalizados o descontados de los capitales financieros que tienen lugar entre los dos momentos del tiempo.

3. MÉTODOS DE CÁLCULO DEL SALDO DE UNA OPERACIÓN

Método retrospectivo: mediante el cual se capitalizan las cuantías de los capitales financieros que ya han sucedido hasta el momento en el que se pretende calcular el saldo de la operación.

Método prospectivo: mediante el cual se descuentan los capitales financieros que restan por suceder desde el momento en el que se calcula el saldo de la operación hasta su finalización.

Método recurrente: que consiste en calcular el saldo de la operación en un determinado momento a partir del saldo de la misma en otro momento. En este caso, para calcular correctamente el nuevo saldo deben incorporarse los valores capitalizados o descontados de los capitales financieros que tienen lugar entre los dos momentos del tiempo.

EQUIVALENCIA FINANCIERA Y OPERACIONES DE DESCUENTO

1. EQUIVALENCIA FINANCIERA

Dos capitales que tienen la misma cuantía y el mismo vencimiento son IGUALES y los efectivos de las dos situaciones son equivalentes. Dos capitales que tienen distinta cuantía y distinto vencimiento son DIFERENTES pero pueden ser EQUIVALENTES. La equivalencia financiera determina la igualdad de valor de dos o más capitales con fechas de vencimiento distintas, en un plazo establecido.

2. CAPITAL UNIFICADO Y VENCIMIENTO MEDIO

El vencimiento común es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, … ,Cn, con vencimientos en t1, t2,… , tn, respectivamente, todos ellos conocidos. Se tiene que cumplir: C = C1 + C2 + … + Cn. El vencimiento medio es el momento de tiempo t en que vence un capital único C, conocido, que sustituye a varios capitales C1, C2, … ,Cn, con vencimientos en t1, t2, … , tn, respectivamente, todos ellos conocidos. Se tiene que cumplir: C = C1 + C2 + … + Cn.

3. DESCUENTO COMERCIAL

En las empresas es frecuente realizar operaciones comerciales en las cuales el pago de los bienes o servicios objeto de la transacción se aplace en el tiempo. Para formalizar la operación de pago por parte del cliente se suelen utilizar las Letras de Cambio, que son un compromiso de pago en un momento futuro. La operación de descuento de efectos está destinada a proporcionar liquidez a las empresas, ya que transforma en dinero efectivo los créditos comerciales concedidos por los proveedores a sus clientes. En función del tipo de empresas y de su capacidad de negociación, el aplazamiento del pago será mayor o menor, suelen variar desde 30 días hasta un máximo de 120 días. También pueden descontarse otros títulos de crédito, como pagarés, cheques, certificaciones de obra, etc.

4. LETRA DE CAMBIO

Letra de cambio: es un documento mercantil por el que una persona, librador, ordena a otra, librado, el pago de una determinada cantidad de dinero, en una fecha determinada o de vencimiento.

Personas que intervienen:

El librador: Es la persona acreedora de la deuda y quien emite la letra de cambio para que el deudor o librado la acepte y se haga cargo del pago del importe de la misma.
El librado: Es el deudor, quien debe pagar la letra de cambio cuando llegue la fecha indicada o de vencimiento. El librado puede aceptar o no la orden de pago dada por el librador y en caso de que la acepte, quedará obligado a efectuarlo.
El tomador, portador, tenedor o beneficiario: Es la persona que tiene en su poder la letra de cambio y a quien se le debe abonar.

Es un documento negociable, ya que el vendedor puede intentar cobrarlo antes de su vencimiento negociando con la entidad financiera el DESCUENTO.

5. PAGARÉ

Pagaré: es un documento que procede del banco que consiste en la promesa pura y simple de pagar una determinada cantidad de dinero en un futuro a su legítimo tenedor.
Es un documento negociable, ya que el vendedor puede intentar cobrarlo antes de su vencimiento negociando con la entidad financiera el DESCUENTO.
El tanto efectivo del coste es el tipo de interés real que paga el cliente, teniendo en cuenta tanto las características comerciales.
El tanto efectivo de rendimiento es el que percibe el banco y se tiene en cuenta únicamente las características comerciales que le afectan.
Para su cálculo utilizaremos la ley de capitalización compuesta, y lo que estaremos buscando en cada caso es el tanto efectivo procedente de dicha ley que iguale lo realmente recibido con lo realmente aportado por cada una de las partes.
En el descuento bancario de letras el efectivo que recibimos es el nominal menos el descuento comercial, menos las comisiones, menos los gastos.

6. FACTURA DE DESCUENTO

Normalmente no se lleva a descontar un único efecto sino un conjunto de ellos. Así se puede plantear el caso más general en el que, contra el pago de una factura, se libran una serie de efectos de diferentes nominales y vencimientos. Posteriormente, la empresa libradora se puede plantear la posibilidad de llevar al descuento todos ellos con objeto de obtener en efectivo su valor actual. Para el cálculo del tanto anual de coste en capitalización simple es necesaria la utilización de la solución media, según la cual todas las letras que componen la factura de descuento son financieramente equivalentes a una única letra cuyo nominal será la suma de nominales y cuyo vencimiento será el vencimiento medio de todas las letras llevadas a descontar.

7. FACTORING

Factoring: es un contrato en virtud del cual una de las partes (cedente) cede a la otra (factor) sus créditos comerciales o facturas frente a un tercero, con el fin de que la sociedad de factoring realice todos o alguno de los siguientes servicios:
- Gestión de cobro.
- Administración de cuentas a cobrar.
- Cobertura de riesgo de impagados.
- Financiación. El cliente puede disponer de anticipos sobre los créditos cedidos.
MODALIDADES:
- Factoring sin anticipo: la empresa de factoring realiza en nombre del cedente la gestión de cobro.
- Factoring con anticipo: además de la gestión de cobro, el cedente obtiene financiación sobre las facturas cedidas:
  - Factoring con recurso: las insolvencias de los deudores son asumidas por la empresa cedente.
  - Factoring sin recurso: las insolvencias son asumidas por la empresa de factoring, lo que supone una venta o cesión de la cartera de créditos comerciales a la entidad de factoring, con la consiguiente transmisión del riesgo, lo que conlleva una mejora en el balance de la sociedad que traspasa sus créditos, en la medida en que, contablemente, desaparece su partida de créditos comerciales y, como contrapartida, se produce un aumento en la tesorería.
PROCESO:
1. Selección: Un factor selecciona las cuentas que está dispuesto a comprar, optando únicamente por aquellas cuentas que crea que son riesgos de crédito aceptables.
2. Notificación: El factoring se hace normalmente con base a una notificación, debido a que los pagos se le hacen directamente al factor.
3. Falta del recurso: Esto significa que el factor conviene en aceptar todos los riesgos de crédito, de modo que si las cuentas que ha comprado resultan incobrables, el factor debe asumir las pérdidas.
4. Reservas del factor: Después de que un factor selecciona las cuentas que se vayan a incluir en un arreglo de factorización, se separa cierto porcentaje de las cuentas totales para cubrir cualquier eventualidad.
5. Fechas de pago: El arreglo entre factor y empresa también indica las fechas de pago de las cuentas dentro del factoring. Normalmente al factor no se le exige que pague a la empresa hasta que la cuenta se haya cobrado o hasta que llegue el último día del periodo de crédito.
6. Adelantos y excedentes: El factor establece una cuenta similar a una cuenta de depósito bancaria para cada uno de sus clientes. A medida que se recibe el pago o que llega la fecha de vencimiento, deposita el dinero en la cuenta de la empresa.
VENTAJAS Y DESVENTAJAS:
- Ventajas del factoring:
  - Disponibilidad inmediata de efectivo.
  - Reducción de gastos indirectos, (ya que la compañía no necesita mantener un área o departamento de riesgo).
  - Posibilita la eliminación de clientes morosos.
  - Fortalecimiento de la posición del balance.
  - Reducción del período medio de maduración de clientes (sólo factoring sin recurso).
  - Recepción de adelantos según las necesidades estaciónales.
- Desventajas del factoring:
  - Coste elevado, puesto que el tipo de interés aplicado es mayor que el descuento comercial convencional.
  - Posibilidad de que el factor no acepte alguno de los documentos de su cliente.
  - Exclusión de operaciones a más de 180 días.

MERCADOS MONETARIOS Y LETRAS DEL TESORO

1. MERCADOS MONETARIOS

Mercados monetarios: mercados financieros caracterizados porque en ellos se negocian activos a corto plazo.

Características:

Mercados al por mayor.
Activos de bajo riesgo.
Elevada liquidez.
Los mercados monetarios son muy ágiles y flexibles.
Desde el punto de vista matemático-financiero, este tipo de mercados se regulan normalmente por leyes financieras simples ya que se trata de activos financieros a corto plazo negociados «al descuento».
Para los cálculos de rentabilidad de las operaciones se utilizan, según los casos, leyes financieras de capitalización simple y de capitalización compuesta.

TIPOS:

Mercado interbancario: Mercado en el que concurren los Bancos y Cajas de Ahorro sobrados o faltos de liquidez, ofreciendo o demandando dinero, para de esta forma corregir sus desequilibrios de tesorería y cumplir con el coeficiente de caja.
Mercado AIAF de renta fija: Mercado en el que se negocian pagarés de empresa (de tipo industrial, las entidades financieras,…) que son activos a corto plazo emitidos al descuento por grandes empresas, con vencimientos a 6 meses o 1 año, con la finalidad de obtener financiación.
Mercado de Deuda Pública Anotada: La creación oficial de un mercado de deuda pública anotada se produce en España en 1987 con el objetivo de crear un mercado ágil y líquido con el que poder atender las necesidades financieras del Estado. Se negocian valores de renta fija, (letras del tesoro, bonos, obligaciones,…) representados mediante anotaciones en cuenta, y emitidos por el Estado, las Comunidades Autónomas, ciertos organismos públicos y otras instituciones nacionales o internacionales autorizadas por el Ministerio de Economía.

2. LETRAS DEL TESORO

Instrumento de deuda pública perteneciente a los mercados monetarios cuya finalidad es doble: en primer lugar, sirve como instrumento de control de la política monetaria y, en segundo lugar, actúa como instrumento de financiación del déficit público.

Características de las Letras del Tesoro:

Se trata de activos emitidos al descuento, fundamentalmente a 3, 6, 9, 12 y 18 meses, por el procedimiento de subasta.
Materializados en forma de anotaciones en cuenta, es decir, sin un soporte físico tangible.
Rendimiento implícito en la diferencia entre precio de adquisición y precio de venta.
Nominal de 1000€ pero su precio efectivo es siempre inferior ya que se emiten al descuento, (cuando decimos que una Letra se emite al 95%, queremos decir que el precio de compra de la Letra, de nominal 1.000€ es de 950€).
El importe mínimo de cada petición es de 1.000€ o múltiplos de 1.000.

RESOLUCIÓN DE LA SUBASTA:

Ordenación de las peticiones competitivas de mayor a menor precio ofertado (PO), fijando cual es el precio mínimo (Pmin) al cual se aceptan ofertas.
Fijación del volumen nominal que se desea emitir.
Las peticiones cuyo precio ofrecido fuese igual o mayor que el mínimo aceptado quedarán automáticamente adjudicadas.
Las ofertas por debajo de (Pmin) quedan fuera de la adjudicación.
Se aceptan las peticiones según la ordenación efectuada hasta completar el volumen nominal que se desea emitir y considerando que las peticiones no competitivas se aceptarán en su totalidad.
Con las ofertas competitivas se procederá a determinar el precio medio ponderado (PMP) resultante como una media aritmética ponderada de precios y nominales de las ofertas competitivas aceptadas.

PRECIOS FINALES:

Para peticiones con precio ofertado inferior al medio: En este caso se conceden al PO, obteniendo el inversor una rentabilidad superior a la media.
Para peticiones con precio ofertado superior al medio y para peticiones no competitivas: Se conceden todas al precio medio.

RENTABILIDAD LETRA DEL TESORO: La rentabilidad de la L.T. vendrá dada por el tanto de interés que satisfaga la ecuación de equivalencia financiera entre la prestación y la contraprestación. Calcularemos la rentabilidad cómo se realiza en la práctica: utilizaremos la ley simple en operaciones que no superen el año, y ley compuesta para las que superan el año.

3. MERCADO SECUNDARIO

Es una parte del mercado financiero de capitales dedicado a la compraventa de valores que ya han sido emitidos en una primera oferta pública o privada, en el mercado primario.
En el caso de las L. T. analizaremos como puede fluctuar la rentabilidad de una Letra que en principio, si es mantenida hasta vencimiento ofrecería una determinada rentabilidad asegurada.
Si se vende la letra se realizará la transacción al precio que en ese momento marque el mercado, y por tanto no existe ningún tipo de rentabilidad asegurada.

4. OPERACIONES REPO

Estas operaciones, también conocidas como Cesión Temporal de Activos, consisten en un acuerdo por el que una parte compra a la otra una determinada cantidad de un activo (en este caso, Letras del Tesoro) pagando por ello un determinado precio y comprometiéndose a la reventa de esos activos a su propietario original en el plazo que se establezca y a un precio fijado también en el momento del acuerdo.
Las ventajas que se derivan de este tipo de operatoria se observan directamente de su propia definición: tanto cedente como cesionario conocen de antemano el precio de compra y de recompra y como consecuencia la rentabilidad/coste es conocida de antemano.
El cálculo de la rentabilidad se obtendría de forma similar que para la suscripción a vencimiento de Letras, puesto que aquí también se van a conocer tanto el tiempo interno de la operación como los precios de compra y de venta de la Letra del Tesoro.

RENTAS

1. ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE LAS RENTAS

Según la periodicidad de sus términos:

Periódicas: Todos los vencimientos están igualmente espaciados (1 año).
No periódicas: Los vencimientos no están igualmente espaciados.

Según la cuantía de sus términos:

Constantes: Todos los términos son de igual nominal.
Variables:
- Rentas que crecen en progresión aritmética (sucesión de números reales en la que cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija).
- Rentas que crecen en progresión geométrica (sucesión de números reales en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija).

Según el número de términos:

Finitas: Tienen fijado el número de términos en el momento de la constitución.
Perpetuas: Se desconoce el número de términos en el momento de la constitución.

Según la posición de los términos respecto al período:

Pospagables: Si el capital vence al final de cada periodo.
Prepagables: Si el capital vence al principio de cada periodo.

Según el momento del primer término:

Diferidas: Si el primer capital vence unos periodos después del momento de valoración de la renta.
Anticipadas: Si el último capital vence unos periodos antes del momento de valoración de la renta.

2. RENTAS FRACCIONADAS

Las rentas fraccionadas son aquellas en las que la periodicidad con que se hacen efectivos los sucesivos capitales es distinta al año, ya sea superior o inferior al año, (ejemplo: la renta formada por las nóminas de un individuo que cobra mensualmente y tiene subidas salariales anuales calculadas sobre el sueldo del año anterior, en este caso los sueldos varían anualmente pero se mantienen constantes dentro del año). Las fórmulas de las rentas en geométrica y aritmética sólo se pueden aplicar cuando los términos, el tanto de valoración y la razón de la renta están expresados en la misma unidad. Por tanto, el ejemplo anterior indicado no se podría resolver aplicando directamente las fórmulas de las rentas en progresión geométrica sin más. Deberemos trabajar obligatoriamente en la unidad de tiempo en la que se produce la variación de los capitales. Por lo que se refiere a los capitales, éstos se mantienen constantes a nivel de subperíodo, dentro de cada período, y sólo varían de un período a otro (en el caso del ejemplo anterior, los sueldos se mantienen constantes dentro del año y varían de un año para otro).