Matemáticas: Conceptos Claves de Álgebra y Cálculo

Intervalos y Valor Absoluto

Intervalos en R

Dado a ∈ R y b ∈ R, con a > b, se definen los siguientes intervalos:

Abierto: (a; b) = {x ∈ R / a < x < b}
Cerrado: [a; b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}
Semiabierto a derecha: [a; b) = {x ∈ R / a ≤ x < b}
Semiabierto a izquierda: (a; b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}

La amplitud de todos estos intervalos es b – a.

Entorno

El entorno E(c; a), donde c es un punto cualquiera de Rⁿ y a un número positivo, se define como el intervalo abierto (c – a; c + a). Es decir:

E(c; a) = {x / c – a < x < c + a}

Entorno Reducido

El entorno reducido E'(c; a) excluye al punto c del entorno. Se define como:

E'(c; a) = {x / x ≠ c y c – a < x < c + a}

Valor Absoluto

El valor absoluto de un número real es la distancia que tiene a cero, siendo el mismo si es positivo y su opuesto si es negativo:

|a| = { a, si a > 0; –a, si a < 0.

Propiedades del Valor Absoluto

∀ a ∈ R, a ≠ 0 → |a| > 0
∀ a ∈ R, |a| = |-a|
∀ a > 0; ∀ x: |x| < a ↔ –a < x < a ↔ x ∈ [-a; a]
∀ a > 0; ∀ x: |x| > a ↔ x < –a o x > a ↔ x ∈ (-∞; –a) U (a; ∞)
∀ a ∈ R y ∀ b ∈ R:
- |a.b| = |a|.|b|
- |a : b| = |a| : |b|
- -|a + b| ≤ |a| + |b|
- |a – b| ≥ |a| – |b|

Funciones y Programación Lineal

Funciones

Una función f es una relación de un conjunto A en un conjunto B que cumple con dos condiciones: existencia y unicidad.

Existencia: ∀ x ∈ A, ∃ y ∈ B / y = f(x).
Unicidad: Si el par (x; y) ∈ f y (x; z) ∈ f → y = z.

Todos los elementos del conjunto de partida (dominio) deben tener una única imagen en el conjunto de llegada (codominio).

Dominio: Subconjunto del conjunto de partida conformado por todos los elementos que tienen imagen en el conjunto de llegada.
Imagen: Subconjunto del conjunto de llegada conformado por los elementos que son imagen de algún elemento del dominio.

Tipos de Funciones

Inyectiva: Cada valor de x en el dominio tiene una imagen diferente en el codominio.
Sobreyectiva: Todo elemento del codominio es imagen de al menos un elemento del dominio.
Biyectiva: Una función es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Programación Lineal

La programación lineal es una técnica de modelado que se utiliza para determinar la asignación óptima de recursos, con el objetivo de maximizar beneficios o minimizar pérdidas. Esta técnica es la aplicación práctica más importante de los sistemas de desigualdades lineales y la herramienta más importante dentro del campo de la investigación operativa (IO).

Características de un Problema de Programación Lineal

Un problema de programación lineal tiene cuatro propiedades comunes:

Variables no negativas.
Restricciones lineales de las variables.
Existencia de una función lineal de las variables cuyo valor se desea optimizar (función objetivo).
El problema debe plantear distintas alternativas posibles.

En un problema de programación lineal en dos variables, se trata de optimizar una función objetivo de la forma:

f_o = z = c₁x₁ + c₂x₂

sujeta a una serie de condiciones o restricciones dadas por las situaciones que describen el problema y se expresan en un sistema de inecuaciones lineales.

Funciones Lineales y Cuadráticas

Función Lineal

Una función lineal es una función polinómica de primer grado. Su representación gráfica es una recta. La forma explícita de una función lineal es:

y = mx + b

donde:

m es la pendiente de la recta.
b es la ordenada al origen (punto donde la recta corta al eje y).

La forma general o implícita de una función lineal es:

Ax + By + C = 0

Casos Particulares de la Pendiente

m > 0: La recta es creciente.
m < 0: La recta es decreciente.
m = 0: La recta es horizontal.

Ecuación de la Recta que Pasa por un Punto

Si una recta pasa por un punto P₁(x₁; y₁), su ecuación se puede obtener como:

y – y₁ = m(x – x₁)

Ecuación de la Recta que Pasa por Dos Puntos

Para obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos P₁(x₁; y₁) y P₂(x₂; y₂), primero se calcula la pendiente:

m = (y₂ – y₁) / (x₂ – x₁)

Luego, se utiliza la ecuación de la recta que pasa por un punto, utilizando cualquiera de los dos puntos dados.

Ángulo entre Dos Rectas

El ángulo θ entre dos rectas con pendientes m₁ y m₂ se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

tan(θ) = (m₂ – m₁) / (1 + m₁m₂)

Paralelismo y Perpendicularidad

Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente (m₁ = m₂).
Dos rectas son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es igual a -1 (m₁m₂ = -1).

Función Cuadrática

Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado. Su representación gráfica es una parábola. La forma general de una función cuadrática es:

y = ax² + bx + c

donde:

a, b y c son constantes reales (a ≠ 0).
a determina la concavidad de la parábola (hacia arriba si a > 0, hacia abajo si a < 0).
El vértice de la parábola se encuentra en el punto V(x_v; y_v), donde x_v = –b / 2a e y_v se obtiene sustituyendo x_v en la ecuación de la función.

Raíces de una Función Cuadrática

Las raíces o ceros de una función cuadrática son los valores de x para los cuales y = 0. Se pueden obtener utilizando la fórmula general:

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

El discriminante (Δ = b² – 4ac) determina la naturaleza de las raíces:

Δ > 0: Dos raíces reales distintas.
Δ = 0: Dos raíces reales iguales (raíz doble).
Δ < 0: Dos raíces complejas conjugadas.

Otras Funciones

Función Homográfica

Una función homográfica es un caso particular de función racional. Su forma general es:

y = (ax + b) / (cx + d)

donde c ≠ 0.

Dominio: R – {-d / c}
Imagen: R – {a / c}

Función Exponencial

Una función exponencial tiene la variable en el exponente y la base es un número positivo diferente de 1. Su forma general es:

y = a^x

donde a ∈ R⁺ y a ≠ 1.

Dominio: R
Imagen: R⁺
Es inyectiva.
No es sobreyectiva.
Creciente si a > 1.
Decreciente si 0 < a < 1.

Función Logarítmica

La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial. Su forma general es:

y = log_a(x)

donde:

a es la base del logaritmo (a > 0 y a ≠ 1).
x es el argumento del logaritmo (x > 0).

Es inyectiva.
Creciente si a > 1.
Decreciente si 0 < a < 1.
El logaritmo de 1 en cualquier base es 0 (log_a(1) = 0).

Propiedades de los Logaritmos

log_a(x ⋅ y) = log_a(x) + log_a(y)
log_a(x / y) = log_a(x) – log_a(y)
log_a(xⁿ) = n ⋅ log_a(x)

Combinatoria

Permutaciones Simples

Una permutación simple de m elementos es una disposición ordenada de esos elementos. El número de permutaciones simples de m elementos se calcula como:

P_m = m!

Arreglos Simples

Un arreglo simple de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) es un conjunto ordenado de n elementos elegidos de un conjunto de m elementos. El número de arreglos simples se calcula como:

A_m,n = m! / (m – n)!

Combinaciones Simples

Una combinación simple de m elementos tomados de n en n (m ≥ n) es un conjunto no ordenado de n elementos elegidos de un conjunto de m elementos. El número de combinaciones simples se calcula como:

C_m,n = m! / (n! ⋅ (m – n)!)

Números Combinatorios

El número combinatorio m sobre n (m ≥ n) se representa como (^m_n) y se calcula como:

(^m_n) = m! / (n! ⋅ (m – n)!)

Casos Particulares

(⁰₀) = 1
(^m₀) = 1
(^m₁) = m
(^m_m-1) = m

Números Combinatorios Complementarios

Dos números combinatorios (^m_n) y (^m_m–n) son complementarios. Se cumple que:

(^m_n) = (^m_m–n)

Teorema de Stifel

La suma de dos números combinatorios con igual numerador y denominadores consecutivos es igual a otro número combinatorio:

(^m-1_n-1) + (^m-1_n) = (^m_n)

Vectores

Definición Geométrica

Un vector geométrico es un segmento orientado en el espacio. Queda determinado por:

Dirección: Determinada por la recta que lo contiene.
Sentido: Indicado por la flecha del vector, que va del origen al extremo.
Módulo: Longitud del vector.

Componentes de un Vector

Un vector en R³ se puede representar por sus componentes: v = (v_x, v_y, v_z).

Módulo de un Vector

El módulo de un vector v = (v_x, v_y, v_z) se calcula como:

|v| = √(v_x² + v_y² + v_z²)

Vectores Especiales

Vector nulo: Vector con módulo 0. Se representa como 0 = (0, 0, 0).
Vector unitario: Vector con módulo 1.

Combinación Lineal de Vectores

Una combinación lineal de vectores es una expresión de la forma:

v = k₁v₁ + k₂v₂ + … + k_nv_n

donde:

v₁, v₂, …, v_n son vectores.
k₁, k₂, …, k_n son escalares.

Dependencia e Independencia Lineal

Vectores linealmente dependientes (LD): Un conjunto de vectores es LD si al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.
Vectores linealmente independientes (LI): Un conjunto de vectores es LI si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

Expresión Canónica de un Vector

La expresión canónica de un vector v = (v_x, v_y, v_z) en R³ es:

v = v_xi + v_yj + v_zk

donde i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) y k = (0, 0, 1) son los vectores unitarios en la dirección de los ejes coordenados.

Ángulos Directores y Cosenos Directores

Ángulos directores: Son los ángulos que forma un vector no nulo con los semiejes positivos x, y y z.
Cosenos directores: Son los cosenos de los ángulos directores. Se calculan como:

cos(α) = v_x / |v|, cos(β) = v_y / |v|, cos(γ) = v_z / |v|

Producto Escalar

El producto escalar de dos vectores a = (a_x, a_y, a_z) y b = (b_x, b_y, b_z) se define como:

a ⋅ b = |a| |b| cos(θ)

donde θ es el ángulo entre los vectores.

También se puede calcular como:

a ⋅ b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z

Propiedades del Producto Escalar

Dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es 0.
El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado de su módulo (a ⋅ a = |a|²).

Ángulo entre Dos Vectores

El ángulo θ entre dos vectores no nulos a y b se puede calcular como:

cos(θ) = (a ⋅ b) / (|a| |b|)

Matrices

Definición

Una matriz es un arreglo rectangular de números reales (o complejos) ordenados en filas y columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz de orden m × n.

Tipos de Matrices

Matriz cuadrada: Matriz con el mismo número de filas y columnas (m = n).
Matriz rectangular: Matriz con diferente número de filas y columnas (m ≠ n).
Matriz fila: Matriz con una sola fila (m = 1).
Matriz columna: Matriz con una sola columna (n = 1).
Matriz escalonada: Matriz donde las filas no nulas preceden a las filas nulas, y en cada fila no nula, la cantidad de ceros que precede al elemento no nulo es mayor que la cantidad de ceros que precede al elemento no nulo de la fila anterior.
Matriz nula: Matriz donde todos sus elementos son 0.

Operaciones con Matrices

Suma de Matrices

La suma de dos matrices del mismo orden se realiza sumando los elementos correspondientes de cada matriz.

Producto de un Escalar por una Matriz

El producto de un escalar k por una matriz A se realiza multiplicando cada elemento de la matriz por k.

Producto de Matrices

El producto de dos matrices A (de orden m × p) y B (de orden p × n) es una matriz C (de orden m × n) donde cada elemento c_ij se calcula como:

c_ij = ∑_k=1^p a_ikb_kj

Propiedades del Producto de Matrices

No es conmutativo en general (AB ≠ BA).
Es asociativo ((AB)C = A(BC)).
Es distributivo respecto a la suma (A(B + C) = AB + AC).

Matriz Traspuesta

La matriz traspuesta de una matriz A (de orden m × n), denotada como A^T, es la matriz de orden n × m que se obtiene intercambiando las filas por las columnas de A.

Matriz Identidad

La matriz identidad de orden n, denotada como I_n, es la matriz cuadrada donde todos los elementos de la diagonal principal son 1 y los demás elementos son 0.

Matriz Inversa

La matriz inversa de una matriz cuadrada A (de orden n × n), denotada como A^-1, es la matriz que cumple:

AA^-1 = A^-1A = I_n

Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es diferente de 0.

Determinante de una Matriz

El determinante de una matriz cuadrada A, denotado como det(A) o |A|, es un número real (o complejo) que se puede calcular a partir de los elementos de la matriz. El determinante tiene propiedades importantes que se utilizan en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y en otras áreas del álgebra lineal.

Matriz Adjunta

La matriz adjunta de una matriz cuadrada A, denotada como adj(A), es la matriz traspuesta de la matriz de cofactores de A.

Propiedades de la Matriz Adjunta

A ⋅ adj(A) = adj(A) ⋅ A = det(A)I_n

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Definición

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales con una o más incógnitas. Un sistema con m ecuaciones y n incógnitas se puede representar en forma matricial como:

Ax = b

donde:

A es la matriz de coeficientes (de orden m × n).
x es el vector de incógnitas (de orden n × 1).
b es el vector de términos independientes (de orden m × 1).

Clasificación de los Sistemas de Ecuaciones Lineales

Según el Número de Soluciones

Sistema compatible: Tiene al menos una solución.
Sistema incompatible: No tiene solución.

Un sistema compatible puede ser:

Determinado: Tiene una única solución.
Indeterminado: Tiene infinitas soluciones.

Según la Matriz de Coeficientes

Sistema homogéneo: El vector de términos independientes es el vector nulo (b = 0).
Sistema no homogéneo: El vector de términos independientes no es el vector nulo (b ≠ 0).

Teorema de Cramer

: Permite resolver sistemas normales o cuadrados, donde el determinante de la matriz de los coeficientes sea distinto de cero, lo que garantiza la eixstencia de la inversa de dicha matriz. Estos sistemas se denominan sistemas cramerianos y siempre son scd. Sea a.x=b un sistema normal, A e K nxn/ |a| distinto de 0. Existe A-1 E Knxn. Premultiplicamos ambos miembros por a-1 A-1. Ax= A.1B sabiendo que a-1.a = I. Ix= a-1B. finalmente obtenemos X= A-1.B como la matriz a-1 es unica, la matriz puesta al lado es la unica solucion del sistema, es importante pre multiplicar a la inversa de a ya que si lo post multiplicamos queda B.a-1 y este producto no es conforme.
Teorema de roche frobenius: Se aplica para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Este teorema lo único q hace es verificar si tiene solución o no, en el caso de que tenga si la misma es única o son finitas. Se basa en el cálculo de comparación de 2 matrices, la matriz de los coeficientes A y la matriz ampliada formada por la matriz de los coeficientes ampliados con la columna de los términos independientes. M ecuaciones N incógnitas. Aca va el grafico. Expresión matricial: A.X = B . Amxn. Xnx1 = Bmx1
El sistema matricial es compatible R(A) = R (A’)
Si es esa igualdad, = R Compatible
R = N Determinadl
R rA ≠ rA’ es incompatible no tiene solución.