Límites y Continuidad de Funciones: Conceptos y Propiedades

Definición de Límite Finito

Una función f(x) tiene un límite finito L cuando x tiende al valor “a” si y solo si la diferencia entre la función y el límite, en valor absoluto, se puede hacer tan pequeña como se desee, tomando valores de x suficientemente próximos al valor “a”.

El número L es el límite de los valores de la función f en el punto a si y solo si:

1. a es un punto de acumulación del dominio de f.
2. Para cualquier número positivo ε, existe un número positivo δ.

Simbólicamente:

lim_x→a f(x) = L ↔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 / ∀x ∈ Dom(f) ∧ 0 < |x – a| < δ → |f(x) – L| < ε

Interpretación Geométrica

Propiedades de los Límites

1. Unicidad del Límite

Si una función tiene límite finito cuando x tiende al valor “a”, ese límite es único.

2. Propiedad de la Conservación del Signo

Si el límite de una función es finito y mayor que cero (positivo), existirá al menos un punto en el entorno reducido del punto x = a donde la función sea mayor que cero. De manera similar, si el límite de la función es finito y menor que cero, existirá al menos un punto en el entorno reducido del punto x = a tal que la función sea menor que cero.

Si la función tiene límite finito y este es igual a cero, no se puede afirmar nada sobre el signo de la función en el entorno reducido del punto “a”.

Infinitésimos

Se dice que una función f(x) es un infinitésimo en x = a cuando el límite de la función f(x), cuando x tiende al valor a, es igual a cero.

En símbolos:

f(x) es un infinitésimo en x = a → lim_x→a f(x) = 0

También se puede decir que la función se puede hacer tan pequeña como se quiera con solo tomar valores de x próximos al valor “a”.

lim_x→a f(x) = 0 → |f(x)| < ε

Operaciones con Infinitésimos

1. La suma de dos infinitésimos en un punto da como resultado otro infinitésimo en el mismo punto.
   lim_x→a f(x) = 0 ∧ lim_x→a g(x) = 0 → lim_x→a [f(x) + g(x)] = 0
2. El producto de un escalar por un infinitésimo en un punto da otro infinitésimo en el mismo punto. Si K=0, queda probado de inmediato.
   lim_x→a f(x) = 0 → lim_x→a K ⋅ f(x) = 0
3. El cociente de dos infinitésimos en un punto tiene tres posibles resultados:
   lim_x→a f(x) = 0 ∧ lim_x→a g(x) = 0 → lim_x→a f(x)/g(x) = a, b, c
   1. Será 0 (cero) cuando el infinitésimo del numerador sea de mayor orden que el denominador.
   2. Será ∞ (infinito) cuando el infinitésimo del denominador sea de mayor orden que el numerador.
   3. Será una constante K si ambos infinitésimos son del mismo orden. Si K = 1, se denominan infinitésimos equivalentes.

Es importante destacar que el «mayor orden infinitesimal» se refiere a la velocidad con que el infinitésimo tiende a cero. Por esta razón, se utiliza el cociente de infinitésimos para compararlos entre sí.

Continuidad

Función Continua en un Punto

Si existe un límite finito en el punto de acumulación “a”, existe el valor f(a), y ambos números son iguales, entonces decimos que la función f(x) es continua en el punto “a”.

Definición: Sea f(x) una función y “a” un punto de acumulación de su dominio. f(x) es una función continua si y solo si:

1. La función está definida en el punto de abscisa x = a.
2. El límite de f(x) con x tendiendo al valor a existe, vale L y es finito.
3. La función en el punto y el límite son iguales.

Discontinuidades

Si no se verifica la definición de continuidad en un punto “a”, la función considerada es discontinua en “a”. Esto puede suceder si no se cumple cualquiera de las tres condiciones dadas por definición. Existen dos clases de discontinuidades:

1. Discontinuidad Evitable

Se pueden presentar dos casos:

1. La función tiene límite finito en x = a, pero la función no está definida en dicho punto.
   lim_x→a f(x) = L → ∄f(a)
2. La función está definida en el punto, existe límite finito con x tendiendo al valor a, pero ambos son distintos.
   lim_x→a f(x) = L → ∃f(a) → f(a) ≠ L

2. Discontinuidad Esencial o No Evitable

También en este caso se pueden presentar dos situaciones:

1. La función f(x) no tiene límite con x tendiendo al valor “a” porque los límites laterales son distintos, es decir, la función presenta un salto finito en el punto de abscisa x = a.
   lim_x→a^– f(x) ≠ lim_x→a⁺ f(x) → L₁ ≠ L₂ → ∄L
2. La función f(x) tiene límite con x tendiendo al valor “a”, pero este se encuentra en el infinito, es decir, la función presenta una asíntota vertical en dicho punto. Se dice que la función presenta un salto infinito en el punto de abscisa x = a.
   lim_x→a f(x) = ∞