La Importancia de las Matemáticas: Conceptos Fundamentales y Técnicas de Conteo

¿Por qué enseñar matemáticas?

Porque son necesarias tanto para la vida diaria como para aplicarlas a otros estudios posteriores.

Conjuntos

¿Por qué son importantes los conjuntos?

Son un soporte concreto para construir el concepto de número.

Definición:

  • Conjunto: Cualquier colección de objetos reunidos en nuestra percepción o pensamiento.
  • Elementos: Objetos que forman el conjunto.

Tipos:

  • Bien definido: Cuando dado un objeto cualquiera, se puede determinar sin duda si pertenece o no al conjunto.
  • Finito
  • Infinito (por comprensión)

Formas de definir un conjunto:

  • Extensión: Se nombran todos los elementos (A = (a, b, c…))
  • Comprensión: Se enuncia la propiedad que cumplen todos (A = (x / x cumple la propiedad p))

Conjuntos especiales:

  • Unitario: Un solo elemento
  • Vacío: Ningún elemento
  • Universal: Todos los elementos del discurso

Subconjuntos:

A ⊂ B (contenido)

Operaciones:

  • Unión (U): Conmutativa, asociativa, inclusión (si A ⊂ B entonces (A ∪ B = B)), neutro (Ø), absorbente (U)
  • Intersección (∩): Conmutativa, asociativa, inclusión, neutro (U), absorbente (Ø)

Propiedades conjuntas de unión e intersección:

  • Distributivas: Producto respecto a suma (3x(4+5) = 3×4…), unión respecto a intersección (A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)) e intersección respecto a unión (inversa)
  • Simplificativas: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Complementario: Elementos de U que no están en A

Diferencia: Elementos de A que no están en B. Comprobación (A – B = A ∩ B) Propiedades: (-(Acomp) = A), si A ⊂ B ~ Acomp ∩ B, Morgan: -(A ∪ B) = A ∩ B – (A ∩ B) = A ∪ B

Disyuntos: Su intersección es el conjunto vacío, no tienen elementos comunes.

Cardinal:

  • De la unión: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B), si A ∩ B = 0 ~ n(A) + n(B); tres n(A ∪ B ∪ C) = a + b + c + d + e + f + g
  • De la diferencia: n(A – B) = n(A) – n(A ∩ B)
  • Del complementario: n(Acomp) = n(U) – n(A)

Producto cartesiano: Conjunto formado por todos los pares ordenados de elementos (sistema de coordenadas o diagrama de árbol).

Número natural

Es una propiedad de los conjuntos, una abstracción, un concepto reflexivo:

  • Primarios: Ligados a contextos, percepciones
  • Reflexivos: Trascienden del contexto, requieren una tarea intelectual superior

N = Todos los números que podemos decir que existen.

Construcción matemática:

Se define una relación de coordinabilidad en el conjunto de todos los conjuntos posibles. A y B son conjuntos coordinables si existe una aplicación biyectiva entre sus elementos. El número es la propiedad común que tienen todos los conjuntos de cada clase formada por la relación de coordinabilidad.

Usos:

  • Contar: Cardinal
  • Ordenar: Ordinal (primer contacto niños)
  • Identificar: Nominal

Técnicas de conteo:

Surgen para comunicar información sobre el tamaño de los conjuntos o sobre el lugar que ocupa un elemento dentro.

Principios:

  • Abstracción: Cualquier conjunto de objetos que es contable.
  • Orden estable: Los nombres de los números deben ser recitados siempre con el mismo nombre.
  • Irrelevancia en el orden: No influye el orden de contar
  • Biyunivocidad: Cada objeto, solo con un número
  • Cardinalidad: Dejar de contar no más objetos, el último contado es el cardinal.

Etapas:

  • Repetición memorística de sonidos sin sentido
  • Contar objetos y cantidad de objetos de un número

Aprendizaje efectivo:

Cuando se interioriza:

  • Inclusión de clases: Distinguir en el conjunto las partes del todo
  • Conservación: La propiedad cardinal no cambia en el conjunto.

Sistemas de numeración:**

Para representar de forma efectiva los números, conjunto de reglas y convenios que permiten expresar verbal y gráficamente todos los números mediante palabras y símbolos. (Primitivos, romano, chino e indo-arábigo).

Bases 10, 2, 6 y 12.

Operaciones:**

Suma:

Asociativa, conmutativa, 0, simplificativa.

Resta:

Ligada al concepto de orden dentro del sistema de números naturales. 3 tipos de definiciones:

  • Conjuntista: Tenemos dos conjuntos de forma que A ⊂ B, el cardinal del conjunto diferencia: a – b = n(A – B)
  • Aritmética: Dos términos, a y b, que pertenecen a N. Lo que falta a a para ser b. a – b = x
  • Por comparación: De corte conjuntista, no es restar directamente. An(A) = a Bn(B) = b a – b = elementos que debería tener B para tener tantos como A. No asociativa, no conmutativa, 0, adición y sustracción de cantidad: sumar o restar a ambos la misma cantidad resultado =., toda suma asociada a dos restas.

Multiplicación:

Suma repetida o producto cartesiano de conjuntos. Asociativa, conmutativa, 1, distributiva producto respecto a suma y resta, simplificación.

División:

  • Conjuntista: Referida a hacer grupos. Se puede interpretar como resta repetida siempre que sea repartir algo.
  • Aritmética: La división puede ser de dos tipos, exacta y entera. No divisible 0, no, no, multiplicación o división = resultado.

Bloques multibase:**

Material que consta de unidades (dados), decenas (barras), centenas (placas) y unidades de millar (cubo).

Algoritmos de las operaciones:**

Un algoritmo es un método sistemático de cálculo autorrepetitivo ya que en el momento que conozco los pasos, el resto se repite. Es una serie finita de reglas a aplicar en un determinado orden a un número finito de datos para llegar con certeza en un número finito de etapas a cierto resultado, independientemente de los datos

  • De la suma: Sumar unidades con unidades…, simplificar cálculos, perfeccionar y estandarización.
  • De la resta: Pedir prestado, pedir y pagar.
  • De la multiplicación: Basado en la descomposición de factores según la expresión multiplicativa del número en el sistema de numeración decimal, combinada con la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma.
  • De la división: De izquierda a derecha, búsqueda de dos resultados, algoritmo semiautomático y necesita de otros algoritmos.

Conocimientos matemáticos. Suma y resta

  • Estado, estado, estado: Ep1 + Ep2 = Et Juan tiene 4 caramelos en la mano izquierda y 7 en la derecha ¿cuántos tiene en total?
  • Estado, transformación estado: Ef = Ei + t Juan tiene 7 caramelos, regala 3 a su hermana ¿cuántos le quedan?
  • Estado comparación estado: E1 = E2 + C 8 caramelos, tiene 5 más que ¿cuántos tiene x?
  • T T T: Tp1 + Tp2 = Tt A María le dan 2€ por la mañana. Pierde 9€ por la tarde ¿Cuánto ha ganado o perdido?
  • C T C: Ci + t = Cf Pedro tiene 5 caramelos menos que Juan. A Juan le dan dos ¿quién tiene ahora menos caramelos?
  • C C C: Cp1 + Cp2 = Ct Pedro tiene 8 caramelos más que María. María tiene 3 más que Juan ¿Quién tiene más, Pedro o Juan?.

Variables que intervienen en situaciones aditivas:

>Significado numeros: cardinales, ordinales o medias >Papel numeros: estados, trans, comparaciones.>Posicion incognita: total o una sus partes >Sentido termino medio: indicar aumento o disminucion termino inicial.