Fundamentos Didácticos para la Enseñanza de las Matemáticas

MKT:

1. Conocimiento del horizonte del contenido (“¿Cuándo?”): hay que saber cuándo hay que explicar ciertos conocimientos matemáticos, y saber qué hay antes y después de esos conocimientos.
2. Conocimiento común del contenido (“¿Qué?”): la capacidad de reconocer cuándo un estudiante proporciona una respuesta incorrecta, cuándo un libro de texto proporciona una definición imprecisa. Podríamos decir que este tipo de conocimiento es el que el docente necesita para ser capaz de realizar el trabajo que está encargando a sus propios estudiantes.
3. Conocimiento especializado del contenido (“¿Por qué?”): La tarea de un maestro requiere recursos matemáticos significativos y saber dar respuesta a los “¿por qué?” ocurren las cosas. Debe identificar patrones en las respuestas erróneas de los estudiantes, comprender el funcionamiento de ciertos algoritmos o reconocer una propuesta como generalizable.
4. Conocimiento del contenido y de los estudiantes (“¿Quién?”): conocer los contenidos y a los estudiantes. Anticipar qué dificultades presentan.
5. Conocimiento de la docencia y el contenido (“¿Cómo?”): Es un conocimiento que combina conocimiento sobre cómo enseñar y sobre matemáticas.
6. Conocimiento del currículo “¿Dónde?”: dónde dar esos contenidos y a qué nivel.

COMPETENCIA MATEMÁTICA

Ser capaz de:

• Realizar determinadas tareas matemáticas
• Comprender por qué pueden ser utilizadas algunas nociones y procesos para resolverlas, así como la posibilidad de argumentar la conveniencia de su uso.

Componentes de la Competencia Matemática:

1. Comprensión conceptual: Representar mentalmente y relacionar las diferentes partes del contenido para usarlo en la resolución de problemas.
2. Destrezas procedimentales: Conocer los procedimientos matemáticos, conocer cómo y cuándo usarlos apropiadamente y, ser flexibles ante la posibilidad de adaptarlos a diferentes tareas propuestas.
3. Actitudes positivas: hacia las matemáticas y a sus propias capacidades (confianza en uno mismo). Ser capaz de resolver y aprender considerando útil el contenido.
4. Pensamiento estratégico: capacidad de formular, representar y resolver problemas.
5. Comunicar, explicar y argumentar: ser capaz de proporcionar suficientes razones de “por qué han hecho lo que han hecho” y comunicárselo a sus compañeros y profesor.

Subcompetencias:

Razonar, argumentar, comunicar, resolver problemas, lenguaje simbólico.

Bloques de Contenido

1. Bloque 1: Procesos, métodos y actitudes en matemáticas. Es un bloque común. Planificación del proceso de resolución de problemas, análisis y comprensión del enunciado.
2. Bloque 2: Números. Números naturales, enteros, decimales y fracciones, operaciones y cálculo.
3. Bloque 3: Medida: medida de magnitudes, medida de ángulos.
4. Bloque 4: Geometría: La situación en el plano y en el espacio, formas planas y espaciales.
5. Bloque 5: Estadística y probabilidad: gráficos y parámetros estadísticos, probabilidad.

Teoría de las Situaciones Didácticas (o aprendizaje por adaptación al medio)

1. Situaciones de acción: el alumno debe percibir informaciones a partir de ensayos con la situación (que refuercen o sancionen sus estrategias) para llegar a su resolución.
2. Situaciones de validación: el alumno debe argumentar y justificar la validez de la estrategia para la resolución de una situación, y los demás pueden presentar su conformidad o disconformidad con lo que el compañero ha argumentado.
3. Situaciones de institucionalización: el docente da el estatus de conocimiento a las producciones de sus alumnos, llegando a un conocimiento matemático general que forma parte de la cultura.
4. Situaciones de formalización: un alumno comunica al resto su solución, además del proceso por el que ha llegado a ella. Puede ser oral o escrita, usando un lenguaje matemático adecuado.

Niveles de Van Hiele

1. Nivel 0: Visualización o reconocimiento

   • Percepción visual en torno a la forma (u otras propiedades básicas)
   • Términos de uso común o cotidianos
   • Nivel de Educación Infantil y principio de Educación Primaria

2. Nivel 1: Análisis

   • Empiezan a verse características de las figuras.
   • Reconocimiento de las partes de una figura a partir de las cuales pueden percibirla.
   • Se comprueban los conocimientos de forma inductiva (materiales manipulativos)
   • Nivel de segundo y tercer ciclo de educación primaria.

3. Nivel 2: Deducción informal

   • Distinguen las relaciones que existen entre diferentes figuras geométricas.
   • Se abstraen las propiedades necesarias y suficientes de una figura para poder definirla.
   • Se pueden hacer clasificaciones geométricas
   • Seguir y comprender los pasos de una demostración, e incluso realizarlas si son cortas y sencillas.

4. Nivel 3: Deducción formal

   • Relaciones existentes de propiedades geométricas
   • Alto nivel de desarrollo lógico.
   • Saben aplicar definiciones o teoremas en diferentes contextos y situaciones
   • Nivel de Bachillerato y primeros cursos universitarios

5. Nivel 4: Rigor

   • Visión abstracta de la geometría, propia de profesionales de esta materia.

Modelo de Aprendizaje de Van Hiele

1. Fase 1: Diagnóstico/Preguntas: plantea dos objetivos: primero que los alumnos conozcan el propósito y la estructura de la secuencia planteada y el objeto de estudio, y segundo que el profesor sepa qué conocimientos tienen sus alumnos sobre el tema a tratar.
2. Fase 2: Orientación dirigida: el docente hace de guía aportando una serie de actividades adecuadas que los alumnos trabajan con los materiales proporcionados por el docente.
3. Fase 3: Explicación: los alumnos expresan o intercambian sus hallazgos, con el objetivo de que estos ordenen y analicen sus ideas, y la exprese de un modo comprensible usando un buen lenguaje geométrico.
4. Fase 4: Orientación libre: en esta fase el profesor propone tareas más complejas o abiertas en las que se puede diversificar el aprendizaje.
5. Fase 5: Integración: realización de una síntesis y un esquema sobre lo aprendido, con la ayuda del docente.

Errores, Obstáculos y Concepciones

1. Obstáculos epistemológicos: relacionado con el contenido, permite dar respuestas correctas en algunos casos pero no en todos.
2. Obstáculos ontogénicos: ligados a las limitaciones de las etapas de desarrollo del individuo.
3. Obstáculos didácticos: producidos por las decisiones del profesor o del propio sistema en relación con ciertos conocimientos matemáticos.

Ángulo inscrito: a = b/2

Ángulo semiinscrito: a (tangente) = b/2

Ángulo interior: a = b + e/2 ; Ángulo exterior: a = b – e (cercano al a)/2

Tales: b/B = a/A           Altura: n/h = h/m

Cateto= c/b = b/n ; c/a = a/m                             

TABLA DE ÁREAS Y VOLÚMENES
	Cuadrado A = a2	Triángulo A = B · h / 2
	Rectángulo A = B · h	Romboide A = B · h
	Rombo A = D · d / 2	Trapecio A = (B + b) · h / 2
	Polígono regular A = P · a / 2 (1)	Círculo A = π · R2 P = 2 · π · R
	Corona circular A = π · (R2 – r2)	Sector circular A = π · R2 · n / 360
	Cubo A = 6 · a2 V = a3	Cilindro AL cilindro: 2π r h;  AB = π r”; At= 2πr” + 2π r h V = π · R2 · h
	Ortoedro A = 2 · (a · b + a · c + b · c) V = a · b · c	Cono Al cono= π · r · g At: π · r · (g+r) V = π · R2 · h / 3
	Prisma recto A prisma: AL(p · h) + 2 · AB V = AB · h    (3)	Tronco de cono A = π · [g · (r+R)+r2+R2] V = π · h · (R2+r2+R·r) / 3
	Tetraedro regular A = a2 · √3 V = a2 · √2 / 12	Esfera A = 4 · π · R2 V = 4 · π · R3 / 3
	Octaedro regular A = 2 · a2 · √3 V = a3 · √2 / 3	Huso. Cuña esférica A = 4 · π · R2 · n / 360 V = VEsf · n / 360
	Pirámide recta Al = Pb · a’ / 2   AT= Al + Ab V = AB · h / 3	Casquete esférico A = 2 · π · R · h V = π · h2 · (3 · R – h) / 3
	Tronco de pirámide A=½(P+P’)·a+AB+AB’ V = (AB+AB’+√AB·√AB’) · h/3	Zona esférica A = 2 · π · R · h V = π · h · (h2+3 · r2+3 · r’2) / 6
(1) P es el perímetro (suma de la longitud de los lados); a es la apotema (2) g es la generatriz ; √ es la raíz cuadrada del número