Fundamentos del Álgebra Lineal: Espacios Vectoriales, Aplicaciones Lineales y Geometría Euclídea

Un subconjunto V de E es un subespacio vectorial de E si es cerrado para combinaciones lineales, es decir, si λv+μv∈V.

Una familia de vectores forman un sistema de generadores de E si E=<e1… en>, es decir, si todo vector de E se expresa como combinación lineal de e1…en.

Los vectores {e1…en} de E son linealmente independientes si ninguno de ellos es combinación lineal de los restantes o si existe una combinación lineal de ellos = al vector 0.

Los vectores {e1…en} forman una base de E si generan E y son linealmente independientes. El vector cero es combinación lineal de cualesquiera vectores, y por tanto nunca forma parte de una base.

Un k-espacio vectorial E se dice que es de dimensión finita si tiene algún sistema de generadores.

(Caracterización) Los vectores {e1…en} forman una base de E si y solo si cualquier vector de E se puede expresar de modo único como combinación lineal de ellos.

Teorema de Steinitz: Sean {v1…vr} vectores LI y {e1…en} una base, de un k-espacio vectorial de dimensión finita E, de manera que r<=n. Se pueden sustituir r vectores de la base {e1…en} por los vectores {v1…vr} de manera que se obtenga una nueva base de E.

Teorema de la base: todas las bases de un k-espacio vectorial tienen el mismo número de elementos.

Se llama dimensión de un k-espacio vectorial E, de dimensión finita, al número de elementos de cualquier base y se representa por dim_k E. La dimensión de un espacio vectorial coincide con el número máximo de vectores LI y con el número mínimo de generadores.

Sean E1 y E2 subespacios vectoriales de E. Se definen la suma E1 + E2 y la intersección E1∩E2 por:

E1+E2={e∈E : e=u+v, donde u∈E1 y v∈E2}. E1∩E2={e∈E : e∈E1 y e∈E2}

La suma directa de los subespacios E1 y E2 es la suma, E1 + E2, cuando la intersección es 0. Se representa por E1⊕E2. En particular, dim_k(E1⊕E2) = dim_k E1 + dim_k E2.

Los subespacios E1 y E2 de E son suplementarios si E1+E2=E y E1∩E2 = {0}, esto es, si E = E1⊕E2.

Una aplicación E→E’ es lineal (sobre k) si es compatible con la suma y producto por escalares, es decir si T(e + v)=T(e)+T(v) y T(λe)=λT(e)

Sea E→E’ una aplicación lineal, se definen su núcleo, kerT, y su imagen, ImT, por:

kerT={e∈E : T(e)=0} y ImT = {e’∈E’ : e’=T(e), para algún e∈E}

T es inyectiva si siempre que T(e)=T(v) se deduce que e=v, cualesquiera que sean e,v∈E. T es epiyectiva si ImT=E’ . T es biyectiva si es a la vez inyectiva y epiyectiva. Las aplicaciones lineales biyectivas se llaman isomorfismos.

Llamaremos subvariedad afín de vector de posición e0 y subespacio director V al conjunto de vectores de E H=e0+V={e0+e con e∈V}

Dada una aplicación lineal E→E’ y bases {e1…en} de E y {e’1…e’m} de E’, existe una única matriz A=(aij)∈M(m x n,k) determinada por T(ej)=∑aije’i, para j=1,..,n. Diremos que A es la matriz asociada a T respecto de las bases.

Una métrica en E es una aplicación g : ExE→k bilineal sobre k, es decir k-lineal sobre cada factor, esto es:

g(e+e’,e)=g(e,e)+g(e’,e)
g(λe, e’)=λg(e,e’)
g(e,e’+e)=g(e,e’)+g(e,e)
g(e, λe’)=λg(e, e’)

Si V⊆E es un subespacio vectorial de E y g: ExE→k es una métrica en E, llamemos ortogonal a V respecto de g a:

V^⊥={e∈E / g(e, v)=0 ∀ v∈V }

Una métrica g : ExE→R es euclídea si:

Es simétrica, es decir, g(e, e’)=g(e’, e) para todo e, e’∈E.
Es definido positiva, es decir, g(e, e)≥0 y g(e, e)= 0 si y solo si e=0.

Si (E,g) es un espacio euclídeo y e∈E, llamaremos módulo de e∈E, respecto de la métrica euclídea g, al escalar ||e|| =+√g(e, e)

Bases ortonormales. Sea (E,g) un espacio euclídeo. Diremos que dos vectores e,e’∈E son ortogonales, respecto de g, si e · e’=0. Diremos que son ortonormales si son ortogonales y además ||e||=||e’||=1. Una base {e1..en} de E es ortonormal si sus vectores son ortogonales dos a dos, esto es ei · ej=0 para todo i≠j, y ||ei||=1, para todo i.

Distancia en el espacio euclídeo. Sea (E,g) un espacio euclídeo. Se define la distancia, respecto de g, entre dos vectores e, e’∈E como el módulo del vector diferencia e-e’ : d(e, e’)=||e-e’||

Sea H = e0+V una subvariedad afín en E. Llamaremos subvariedad afín que pasa por el punto P∈E y es perpendicular a H a aquella cuyo vector de posición es P y cuyo subespacio director es V^⊥, es decir, H^⊥p=P+V^⊥. Se deduce que las subvariedades H y H^⊥p se cortan en un único punto Q=H∩H^⊥p llamado proyección ortogonal de P en H.