Fundamentos de Probabilidad: Experimentos Aleatorios, Espacio Muestral y Distribuciones

Experimentos o Fenómenos o Procesos Aleatorios

Es todo proceso o fenómeno que presenta las 3 características siguientes:

Son susceptibles de repetirse o reiterarse un gran número de veces bajo las mismas condiciones de partida.
A pesar de ello, el resultado de cada repetición del proceso, en general, no es siempre el mismo sino que varía de una manera irregular que no se puede prever o predecir.
Si después de repetir el proceso un gran número “n” de veces, se registra el número “f” de veces que se presenta uno cualquiera pero bien determinado de los resultados posibles, se observa que el cociente f/n llamado frecuencia relativa del resultado considerado, queda sensiblemente constante cuando se reitera la secuencia n de observaciones del fenómeno. El hecho empírico descrito se llama estabilidad estadística.

Espacio Muestral

Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico y se lo representa con el símbolo «S». Los elementos del Espacio Muestral que representan los posibles resultados del experimento se indican con «s» y se los llama simplemente puntos muestrales.

Sucesos o Eventos

A cada suceso se le asigna una colección de puntos muestrales, que constituyen un subconjunto del espacio muestral. Si S={ s1,s2, …, sn }, los sucesos { s1 } { s2 }, … (subconjuntos unitarios de S) se llaman sucesos elementales (o eventos simples).

Definición: Un suceso elemental (eventos simples) es un resultado básico de un experimento, no se puede descomponer en resultados más simples. El espacio muestral de un experimento es la colección de todos sus eventos simples. Es posible que un suceso sea un subconjunto que incluya al espacio muestral en su totalidad, o que sea el subconjunto vacío.

Diremos que se ha presentado el suceso A si y solo si el resultado s obtenido al efectuar el experimento pertenece al conjunto A. Si en cambio s no pertenece a A se dice que no se ha presentado o no ha ocurrido el suceso A. La no presentación de A equivale a la presentación de A^c llamado suceso complementario.

Consecuencias de la Definición

Igualdad de Sucesos: 2 sucesos A y B se dicen iguales si la presentación de uno cualquiera de ellos trae como consecuencia la presentación automática del otro.
Por lo menos 1 de 2 Sucesos A y B se ha presentado: Realizado el experimento el resultado s obtenido pertenece al conjunto A, al B o a ambos a la vez; esto es s pertenece al conjunto unión A U B.
Los 2 Sucesos A y B se han presentado simultáneamente: Suceso intersección y se representa por A ∩ B.
Los Sucesos A y B son incompatibles o mutuamente excluyentes: A∩B = θ.
Se ha presentado A pero no B: Al efectuar la experiencia, el resultado s logrado pertenece a A pero no a B o lo que es lo mismo pertenece simultáneamente a A y B^c por consiguiente el suceso es A∩B^c y se denomina suceso diferencia A – B=A∩B^c.
La presentación de A implica la presentación de B: A ⊂ B.

Conteo de Puntos Muestrales

En muchos casos debe tenerse la capacidad de resolver un problema de probabilidad mediante el conteo del número de puntos en el espacio muestral sin necesidad de especificar cada uno de sus elementos. Para ello usamos la Regla de la Multiplicación.

La probabilidad de la ocurrencia de un evento que resulta de un experimento estadístico se evalúa por medio de un conjunto de números reales llamados pesos o probabilidades que van de 0 a 1. Para todo punto en el espacio muestral asignamos una probabilidad tal que la suma de todas las probabilidades es 1. A cada uno de los eventos elementales {si} asignamos un número pi= P{si }, llamado la probabilidad de {si } que satisface las condiciones siguientes:

pi ≥0, i = 1, 2, …, n
p1 + p2 + … + pn = 1

Para encontrar la probabilidad de un evento A se suman todas las probabilidades asignadas a los puntos muestrales de A.

Definición Clásica de Probabilidad (Laplace)

Sea ε un experimento aleatorio con un espacio muestral S finito, esto es S = {s1 , s2 , s3 , … , sn } Admitamos que todos los resultados posibles del experimento son “igualmente posibles”. Sea finalmente A un suceso con un número m de puntos muestrales. Bajo estas hipótesis precedentes, definimos como probabilidad P(A) del suceso A al cociente m/n. Esto es P(A) = m/n → N° DE CASOS FAVORABLES ϵ A / N° DE CASOS POSIBLES ϵ S EXPERIMENTO ALEATORIO s

Definición Empírica de Probabilidad

Para cada experimento aleatorio ε y para cada suceso A vinculado con él, postulamos la existencia de un número P(A), dependiente en su valor de ε y de A, que llamamos la probabilidad empírica de A. Interpretamos las frecuencias relativas f 1 /n1 , f 2 /n2 , … obtenidas en secuencias prolongadas de repeticiones de ε, como los valores experimentales aproximados de P(A). P(A) ≈ f/n

Regla: Aproximación de la probabilidad por frecuencia relativa. Realice (u observe) un experimento un gran número de veces y cuente las veces que ocurre el suceso A entonces, P(A) se estima de la siguiente forma: P(A) = N° DE VECES QUE OCURRIÓ A / N° DE VECES QUE SE REALIZÓ EL EXPERIMENTO

Definición Axiomática de Probabilidad

Sea S el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio ε y sean A, B, C, … , A1 , A2 , A3 , …sucesos asociados a S. Llamamos probabilidad a toda función P que asocia a cada suceso A de S un número real y que cumple los siguientes axiomas:

Axioma 1. P(A)≥0 para todo suceso A de S
Axioma 2. P(S) = 1
Axioma 3. Si A1 , A2 , A3,… son sucesos de S disjuntos 2 a 2 (mutuamente excluyentes), Ai ∩Aj = 0 , ∀i≠j , entonces P(U i=1 ∞ Ai )= i=1 ∞∑ P(Ai) [esto es P (A1U A2 UA3) = P(A1 ) + P(A2 ) + P(A3 ) +] se llama Propiedad de Aditividad de la probabilidad cuando los sucesos son disjuntos 2 a 2.

Consecuencias Principales de los Axiomas

Teorema 1: P(0) = 0
Teorema 2: Si A∩B = 0 entonces P (AUB) = P(A)+ P(B)
Teorema 3: Si A, B, C son sucesos disjuntos 2 a 2, A∩B=0 , A∩C=0 y B∩C=0 puede demostrarse que P(AUBUC) = P(A)+P(B)+P(C)
Teorema 4: Si A1 , A2 , A3 , An es una sucesión finita de sucesos disjuntos 2 a 2 Ai ∩Aj = 0, ∀i≠j , i , j = 1, 2, …,n, entonces P (A1UA2UAn ) = P(A1) + P(A2) + …+ P(An).
Teorema 5: Para cualquier suceso A del espacio muestral S, P(A^C) = 1 – P(A)
Teorema 6: Si A y B son sucesos tales que A ⊂ B entonces P(A)≤P(B)
Teorema 7: Si A y B son sucesos cualesquiera, entonces P (AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
Teorema 8: Si A, B y C son 3 sucesos cualesquiera, entonces P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C) – P(A∩B) – P(A∩C) – P(B∩C) + P(A∩B∩C)

Probabilidad Condicional

Vamos a estudiar ahora la forma en que cambia la probabilidad de un suceso A cuando se sabe que otro suceso B ha ocurrido. Esta nueva probabilidad se llama la probabilidad condicional del suceso A dado que ha ocurrido el suceso B y se denota por P(A/B). Por conveniencia, esta notación se lee simplemente como la probabilidad de A dado B. Si se sabe que ha ocurrido el suceso B, entonces se sabe que el resultado del experimento es uno de los incluidos en B, luego B se llama espacio muestral reducido. Por tanto, para evaluar la probabilidad de que ocurra A, se debe considerar el conjunto de los resultados incluidos en B que también implican la ocurrencia de A.

Si A y B son 2 sucesos cualesquiera tales que P(B)>0, entonces P(A/B) = P(A∩B)/P(B) La P(A/B) no está definida si P(B)=0.

Independencia Estadística

2 sucesos A y B son independientes si y solo si P(A/B)=P(A) y P(B/A) = P(B) De otra forma se dice que son dependientes. La condición P(A/B) = P(A) implica que P(B/A) = P(B) y viceversa.

Teorema: 2 sucesos A y B son independientes si y solo si P(A∩ B) = P(A) P(B) .

Teorema: Si A y B son sucesos independientes, entonces A y B^C también lo son. A^C y B también lo son. A^C y B^C también lo son.

Reglas Multiplicativas

P(A/B) = P(A∩B) / P(B) luego P(A⋂B) = P(A/B) * P(B)

Teorema de la Probabilidad Total

Supóngase que los sucesos A1 , A2 , A3 ,Ak de S forman una partición del espacio muestral S.y que P(Aj )>0 para j = 1, 2, k. Entonces para cualquier suceso B de S: P(B) = Σ j=1 k P(Aj )P(B/Aj )

Teorema de Bayes

Supóngase que los sucesos A1 , A2 , A3 ,An constituyen una partición del espacio muestral S tal que P(Aj ) > 0 con j = 1, 2, k y sea B cualquier suceso de S tal que P(B)>0. Entonces para todo i= 1, 2, …, k P(Ai /B) = P(Ai) ∗P(B /Ai) / Σ j=1 k P(Aj) ∗P(B Aj) Demost: P(Ai/B) = P(Ai B)/ P(B)

Variables Aleatorias

Definición: Sea un experimento aleatorio cuyo espacio muestral es S. Una función que asigna un número real X(s) a cada resultado posible s ∈ S, recibe el nombre de variable aleatoria. El conjunto de valores posibles de una variable aleatoria X, recibe el nombre de Recorrido de la v.a. X.

Variables Aleatorias Discretas

X es una variable aleatoria discreta si puede tomar k valores distintos x1 , x2 , … ,xk o a lo sumo una sucesión infinita de valores distintos x1 , x2 , …. Sea X una variable aleatoria discreta, con cada resultado posible xi asociamos un número pX (xi ) = P(X= xi ), llamado probabilidad de xi

Definición: El conjunto de pares ordenados ( xi , pX (xi )) es una función de probabilidad, una función de masa o una distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X, si para cada resultado posible x, X . Los números pX (xi ) , i = 1, 2, … deben satisfacer las condiciones siguientes:

pX (xi ) >= 0 para toda i
∞ Σ i=1 pX(xi)=1
P (X=xi )=pX(xi)

Función de Distribución Acumulada (FDA) de una Variable Aleatoria

FX (a) = P( X ≤ a) para todo a ϵ R Si X es una variable aleatoria discreta con función de masa pX (xi ), FX (a) = P( X ≤ a) = Σ xi≤a px(xi)

Experimentos Dicotómicos

Sea S un espacio muestral y sean A y A^C “particiones” de S Al realizar el experimento sϵA o sϵA^C estamos frente a una experimento dicotómico. Llamamos ÉXITO a la ocurrencia de A y FRACASO a la ocurrencia de A^C. Se dice que X tiene una DISTRIBUCIÓN BERNOULLI o que X es una VARIABLE BERNOULLÍ con parámetro p.

El Valor Esperado de una Variable Aleatoria

Sea X una variable aleatoria discreta con valores posibles x1 , x2 , …xn , … y sea pX (xi ) = P( X=xi ), i = 1, 2, …,n. El Valor Esperado de X (o media de X o esperanza matemática de X), se define como E(X)=Σxi*px(xi) el valor esperado E(X) representa el centro de masa (respecto al origen).

V(X)=Σxi^2*px(xi)-[E(x)]^2

Proceso de Bernoulli

El experimento consiste en n pruebas repetidas.
Cada prueba tiene 2 resultados posibles (ÉXITO y FRACASO).
La probabilidad de ÉXITO “p” se mantiene constante para todas las pruebas.
El resultado de cualquier prueba es independiente del resultado de cualquier otra prueba, ó Las pruebas son independientes.

Distribución Binomial: se aplica a poblaciones finitas o poblaciones conceptualmente infinitas siempre que el proceso generado sea estable y sin memoria.

Proceso de Poisson

Proceso físico que satisface tres condiciones:

CONDICIÓN: El número de ocurrencias en un intervalo de tiempo (o región) específico es independiente del Nº de ocurrencias en cualquier otro intervalo disjunto de tiempo (ó región disjunta del espacio). De esta forma vemos que el proceso de Poisson no tiene memoria.
CONDICIÓN: La probabilidad de una ocurrencia durante cualquier intervalo de tiempo muy corto (ó en cualquier región muy pequeña) debe ser aproximadamente proporcional a la longitud de ese intervalo (ó al tamaño de la región) y no depende del Nº de ocurrencias fuera de ese intervalo (ó región).
CONDICIÓN: La probabilidad de que haya 2 ó + ocurrencias en cualquier intervalo de tiempo muy pequeño (ó región muy pequeña) debe ser despreciable en comparación de la probabilidad de una ocurrencia.

Definición: La función f (x) es una función de densidad de probabilidad (fdp) para la variable aleatoria continua X, definida en el conjunto de números reales, si :

f (x ) ≥ 0, para toda x ∈ R.
−∞ ∫ ∞ f (x)dx =1.
P (a< x<>

Distribución Normal Estándar: Características

La curva presenta un máximo, en x = μ. (Moda)
Es simétrica respecto al eje vertical x = μ.
La curva tiene puntos de inflexión en x = μ ±σ, Es cóncava hacia abajo si μ – σ < x < μ + σ y es cóncava hacia arriba en otro caso: si x < μ – σ o si x > μ + σ
El área bajo la curva es 1.