Fundamentos de Distribuciones Estadísticas Clave: Chi-Cuadrado, F, t-Student y Normal

Distribución Chi-Cuadrado (χ²)

Usos Principales

Determinar si una muestra se ajusta o no a una distribución teórica (prueba de bondad de ajuste).
Evaluar si dos poblaciones son similares o no.
Determinar la relación e independencia entre variables categóricas (prueba de independencia).

Características

La forma de la distribución es asimétrica positiva. Se aproxima a la distribución Normal a medida que aumentan los grados de libertad (g.l.).
Los valores de Chi-Cuadrado (puntuaciones) no pueden ser negativos.
Su función de distribución está tabulada para valores de interés en Estadística Inferencial.

Aplicaciones Adicionales

La distribución χ² tiene muchas aplicaciones en inferencia estadística. Además de las pruebas de independencia y bondad de ajuste, se utiliza en la estimación de varianzas. También está involucrada en la estimación de la media de una población normalmente distribuida y en la estimación de la pendiente de una recta de regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student. Aparece también en todos los problemas de análisis de varianza por su relación con la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de dos variables aleatorias independientes con distribución χ².

Distribución F (Fisher-Snedecor)

Características

Existe una «familia» de distribuciones F. Un miembro específico se determina por dos parámetros: los grados de libertad en el numerador y los grados de libertad en el denominador.
Es una distribución continua.
Tiene un sesgo positivo.
Los valores de F no pueden ser negativos.
A medida que aumentan los valores de F, la curva se aproxima al eje X, pero nunca lo toca (es asintótica).
Está relacionada con el cociente de varianzas de dos muestras provenientes de poblaciones normales.

Distribución t de Student

Características

Es una distribución continua.
Es simétrica respecto a su media.
Tiene una media igual a 0.
Su desviación estándar depende del tamaño de la muestra (grados de libertad) y es mayor que 1 (a diferencia de la normal estándar Z).
Depende del tamaño de la muestra (n) o, más precisamente, de los grados de libertad (n-1). A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t se aproxima a la distribución normal estándar.
Es similar a la distribución Z (normal estándar), ya que ambas son simétricas alrededor de una media de cero.

Comparación con la Distribución Normal (Z)

La distribución t difiere de la Z en que la varianza de t depende del tamaño de la muestra (n) y siempre es mayor a uno. Únicamente cuando n tiende a infinito, las dos distribuciones son iguales. Aunque ambas son simétricas y unimodales con media μ=0, la distribución t presenta mayor variabilidad (dispersión), especialmente para tamaños de muestra pequeños (n pequeño). Comparada con la distribución normal, la distribución t es más baja en el centro y más alta en las colas. Esto refleja que las medias calculadas a partir de muestras pequeñas varían más entre sí que las obtenidas de muestras grandes.

Aplicaciones

Determinar el intervalo de confianza para la media de una población cuando la muestra es pequeña (generalmente n < 30) y la desviación estándar poblacional es desconocida.
Realizar pruebas de hipótesis sobre la media poblacional en las mismas condiciones (muestra pequeña, desviación estándar poblacional desconocida).

Distribución Normal (Gaussiana)

Ejemplos de Aplicación del Modelo Normal

Características morfológicas de individuos (ej. estatura, peso).
Características fisiológicas (ej. efecto de un fármaco, presión arterial).
Características sociológicas (ej. consumo de cierto producto por un grupo homogéneo).
Características psicológicas (ej. cociente intelectual).
Nivel de ruido en telecomunicaciones.
Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.

Características

Está completamente determinada por dos parámetros: la media (μ) y la desviación típica (σ).
La curva normal adopta un número infinito de formas, según los valores de μ y σ.
Tiene una característica forma de campana.
Es asintótica al eje de las abscisas (la curva se acerca al eje X cuando x tiende a ±∞, pero nunca lo toca).
Es simétrica con respecto a la media (μ).
En una distribución normal, la media, la mediana (Mn) y la moda (Mo) coinciden en el centro de la distribución (μ).
Los puntos de inflexión de la curva se encuentran en μ ± σ.