Funciones Matemáticas: Guía Práctica

Funciones Matemáticas: Conceptos Clave

Función Par

• f: A → R es par si f(-x) = f(x) para todo valor de X y -X en A.

Función Impar

• f: A → R es impar si f(-x) = -f(x) para todo valor de X y -X en A.

Función Suryectiva (Sobreyectiva)

• f: A → B es suryectiva si y solo si:

Función Inyectiva

• f: A → R es inyectiva si y solo si:

Función Biyectiva

• f: A → B si y solo si, su inversa existe.

Función Inversa: f^-1(x)

(1) Aislar la X | (2) Cambiar X por Y

Si se realiza (f ∘ f^-1) y (f^–1 ∘ f), ambas deben dar como resultado X.

Hallar Ecuaciones

1) Raíces, cortes en X = a . (x – x₁) . (x – x₂)

2) f(0) = Número (corte en Y)

3) Hacer, a . (x – x₁) . (x – x₂) = f(0), para hallar a

si a => V | si -a => Λ

4) Sustituir a en el punto 1, y esa es la fórmula analítica.

5) Ver límites de X → +-∞ (AH), Límite de X → K = ∞ (A.V)

Casos de Factorización

Factor Común

3x⁴ – 6x² + 3x 3x / (3x⁴ – 6x² + 3x) = x³ – 2x + 1

Diferencia de Cuadrados

(a² – b²) = (a + b) . (a – b)

Trinomio Cuadrado Perfecto

(a + b)² = a² + 2 . a . b + b²

(a – b)² = a² – 2 . a . b + b²

Cuatrinomio Cubo Perfecto

(a + b)³ = a³ + 3 . a² . b + 3 . a . b² + b³

Baskara

-b ⁺_– √(-b . a . c) / 2 . a

Otro Ejemplo

ej: (x³ – 27) = (x³ – 3³)

Leyes de Exponentes

a^-n = 1/aⁿ | a^m . aⁿ = a^m+n | a^m/aⁿ = a^m-n |

(a . b)ⁿ = aⁿ . bⁿ | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | (aⁿ)^m = a^n.m | (-a)ⁿ = -aⁿ

ⁿ√a^m = a^m/n | ⁿ√a . b = ⁿ√a . ⁿ√b | ⁿ√a/b = ⁿ√a / ⁿ√b |

Operaciones entre Funciones

Suma – (f + g)(x) = f(x) + g(x)

Diferencia – (f – g)(x) = f(x) – g(x)

Cociente – (f/g)(x) = f(x) / g(x)

Producto – (f . g)(x) = f(x) . g(x)

Compuesta – (f ∘ g)(x) = f[g(x)]

Funciones

Definir Función

Dom | Codom | ^{F Analítica} F: A -> B

Función a Trazos (Por Partes)

1) Indicar el Dominio 2) Hacer tabla de X|Y 3) Graficar 4) Indicar Imagen

Valor Absoluto

1) Ver signo delante de v.a 2) Sacar el vértice igualando |v.a| = 0 3) Ver las raíces igualando f(x) = 0 4) Dom, Img, Definirla

Función Exponencial

f(x) = a^x a > 1 – Creciente 0 < a < 1 – Decreciente

1) Ver si a es > 0 < 1 (2) A. Horizontal (es el término independiente) (3) Raíces, igualando f(x) = 0 (4) Ordenada al origen, reemplazando la X por 0 en la función (5) Dom = ℝ | Img: (desde la asíntota horizontal)

(Se puede aplicar logaritmo en ambos términos si tenemos la X)

Funciones Logarítmicas

f(x) = Log_b x b > 1 creciente | 0 < b < 1 decreciente

1) Definir el Dom X > 0 (2) Asíntota Vertical, X = 0 (3) Raíces Y = 0, (propiedades) (4) Hacer tabla de valores (5) Definir: Dom = (desde la asíntota vertical) | Img: ℝ

— Función Logarítmica y Función Exponencial son Inversas entre sí —

–Propiedades Logaritmos

Log_a 1 = 0 | Log_a a = 1 | Log_a b = X → a^x = b

Log^b√a → Log a / b | Log_a (a ⁺_– b) → Log_a a + Log_a b

Log_a(a/b) → Log_a a – Log_a b | Log_a a^b → b . Log_a a

Ln 1 = 0 | Ln e = 1 | Ln e^x = X | e^{Ln x} = X

Límites

Límite Finito: Lim _{x→ Xo} f(x) = L

Límite Infinito: Lim _{x→ Xo} f(x) = ⁺_– ∞ – (A Vertical)

Límite para: Lim _{x→ +-∞} f(x) = L – (A Horizontal)

Continuidad

3 condiciones:

(1) ∃ f(a) (2) ∃ Lim x→a f(x) (3) Lim _{x→ a} f(x) = f(a)

Discontinuidad

Si solo se cumple la condición 2), = Discontinuidad Evitable | Sino es Discontinuidad No evitable

Indeterminación

(1) Dividir el denominador y numerador entre la mayor potencia que hay en el denominador (2) Separar límites

Cuando tengo 0/0, agarro las X de mayor grado en el numerador y denominador y hacemos el límite de esos términos

Cuando el grado del Numerador es uno más que el grado del denominador, HAY ASÍNTOTA OBLICUA

Derivadas

Δy / Δx : f(x₂) – f(x₁) / x₂ – x₁

Lim _H→0 (f(x₂) – f(x₁) / H –> (H = X₂ – X₁)

f(x) = 3X² + 3 —> f'(x) = (2) . 3X + 0 = 6X

El exponente lo multiplico por el número de la base (2) . 3 = 6 y al exponente le bajo uno X^X-1 = X^2-1 = X

f(x) = 5X -> f'(x) = 5