Funciones Matemáticas: Guía Práctica
Funciones Matemáticas: Conceptos Clave
Función Par
• f: A → R es par si f(-x) = f(x) para todo valor de X y -X en A.
Función Impar
• f: A → R es impar si f(-x) = -f(x) para todo valor de X y -X en A.
Función Suryectiva (Sobreyectiva)
• f: A → B es suryectiva si y solo si:
Función Inyectiva
• f: A → R es inyectiva si y solo si:
Función Biyectiva
• f: A → B si y solo si, su inversa existe.
Función Inversa: f-1(x)
(1) Aislar la X | (2) Cambiar X por Y
Si se realiza (f ∘ f-1) y (f–1 ∘ f), ambas deben dar como resultado X.
Hallar Ecuaciones
1) Raíces, cortes en X = a . (x – x1) . (x – x2)
2) f(0) = Número (corte en Y)
3) Hacer, a . (x – x1) . (x – x2) = f(0), para hallar a
si a => V | si -a => Λ
4) Sustituir a en el punto 1, y esa es la fórmula analítica.
5) Ver límites de X → +-∞ (AH), Límite de X → K = ∞ (A.V)
Casos de Factorización
Factor Común
3x4 – 6x2 + 3x 3x / (3x4 – 6x2 + 3x) = x3 – 2x + 1
Diferencia de Cuadrados
(a2 – b2) = (a + b) . (a – b)
Trinomio Cuadrado Perfecto
(a + b)2 = a2 + 2 . a . b + b2
(a – b)2 = a2 – 2 . a . b + b2
Cuatrinomio Cubo Perfecto
(a + b)3 = a3 + 3 . a2 . b + 3 . a . b2 + b3
Baskara
-b +– √(-b . a . c) / 2 . a
Otro Ejemplo
ej: (x3 – 27) = (x3 – 33)
Leyes de Exponentes
a-n = 1/an | am . an = am+n | am/an = am-n |
(a . b)n = an . bn | (a/b)n = an/bn | (an)m = an.m | (-a)n = -an
n√am = am/n | n√a . b = n√a . n√b | n√a/b = n√a / n√b |
Operaciones entre Funciones
Suma – (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Diferencia – (f – g)(x) = f(x) – g(x)
Cociente – (f/g)(x) = f(x) / g(x)
Producto – (f . g)(x) = f(x) . g(x)
Compuesta – (f ∘ g)(x) = f[g(x)]
Funciones
Definir Función
Dom | Codom | F Analítica F: A -> B
Función a Trazos (Por Partes)
1) Indicar el Dominio 2) Hacer tabla de X|Y 3) Graficar 4) Indicar Imagen
Valor Absoluto
1) Ver signo delante de v.a 2) Sacar el vértice igualando |v.a| = 0 3) Ver las raíces igualando f(x) = 0 4) Dom, Img, Definirla
Función Exponencial
f(x) = ax a > 1 – Creciente 0 < a < 1 – Decreciente
1) Ver si a es > 0 < 1 (2) A. Horizontal (es el término independiente) (3) Raíces, igualando f(x) = 0 (4) Ordenada al origen, reemplazando la X por 0 en la función (5) Dom = ℝ | Img: (desde la asíntota horizontal)
(Se puede aplicar logaritmo en ambos términos si tenemos la X)
Funciones Logarítmicas
f(x) = Logb x b > 1 creciente | 0 < b < 1 decreciente
1) Definir el Dom X > 0 (2) Asíntota Vertical, X = 0 (3) Raíces Y = 0, (propiedades) (4) Hacer tabla de valores (5) Definir: Dom = (desde la asíntota vertical) | Img: ℝ
— Función Logarítmica y Función Exponencial son Inversas entre sí —
–Propiedades Logaritmos
Loga 1 = 0 | Loga a = 1 | Loga b = X → ax = b
Logb√a → Log a / b | Loga (a +– b) → Loga a + Loga b
Loga(a/b) → Loga a – Loga b | Loga ab → b . Loga a
Ln 1 = 0 | Ln e = 1 | Ln ex = X | eLn x = X
Límites
Límite Finito: Lim x→ Xo f(x) = L
Límite Infinito: Lim x→ Xo f(x) = +– ∞ – (A Vertical)
Límite para: Lim x→ +-∞ f(x) = L – (A Horizontal)
Continuidad
3 condiciones:
(1) ∃ f(a) (2) ∃ Lim x→a f(x) (3) Lim x→ a f(x) = f(a)
Discontinuidad
Si solo se cumple la condición 2), = Discontinuidad Evitable | Sino es Discontinuidad No evitable
Indeterminación
(1) Dividir el denominador y numerador entre la mayor potencia que hay en el denominador (2) Separar límites
Cuando tengo 0/0, agarro las X de mayor grado en el numerador y denominador y hacemos el límite de esos términos
Cuando el grado del Numerador es uno más que el grado del denominador, HAY ASÍNTOTA OBLICUA
Derivadas
Δy / Δx : f(x2) – f(x1) / x2 – x1
Lim H→0 (f(x2) – f(x1) / H –> (H = X2 – X1)
f(x) = 3X2 + 3 —> f'(x) = (2) . 3X + 0 = 6X
El exponente lo multiplico por el número de la base (2) . 3 = 6 y al exponente le bajo uno XX-1 = X2-1 = X
f(x) = 5X -> f'(x) = 5