Fuerzas en el espacio estática

TEMA 1

Tipos de sólidos

 Rígidos: sólido ante cualquier esfuerzo a qué es sometido la distancia entre dos puntos cualesquiera permanece invariable. Al realizar esta suposición, no es posible deformar ni alcanzar la rotura del cuerpo, en contra de lo que realmente sucede.

Elásticos: sólidos que ante un esfuerzo exterior se deforma y recupera su forma primitiva al cesar la causa anterior. Se les supone las carácterísticas de: Isotropía: propiedades físicas no dependen de la dirección Homogeneidad: todas las partes del cuerpo tienen idénticas composición y carácterísticas. Continuidad: no existen huecos entre partículas.

Real: sólido deformable ante los esfuerzos pero falto de las carácterísticas de isotropía, homogeneidad y continuidad.

Prisma mecánico: sólido engendrado por una sección plana Σ de área Ω cuyo centro de gravedad G describe una curva c llamada línea media siendo el plano que contiene a Σ normal a la curva.

Equilibrio estático: Suma de todas las fuerzas que actúan sobre el sólido es igual a cero. Momento resultante de todas las fuerzas respecto a cualquier punto es igual a cero.

Equilibrio elástico:
Además de las condiciones de equilibrio estático, es necesario que exista equilibrio entre las fuerzas exteriores y las fuerzas internas en cada una de las infinitas secciones.

TEMA 2

Vector tensión.
Componentes intrínsecas  

 Al realizar un corte ideal en un prisma mecánico por un plano π y suponer eliminada una de las partes, el equilibrio elástico de la parte que queda exige la existencia de una distribución continua de esfuerzos df en todos los interiores de la sección Σ.

Hemos definido el vector σ como la fuerza de esta distribución continua por unidad de superficie. La dirección de este vector siempre es colineal con df, que depende del sistema de fuerzas exteriores.

 Para cada orientación del plano π que pase por P se pueden considerar dos direcciones particulares como son la normal n y la que se obtiene al proyectar σ sobre el π. Las componentes de σ según estas dos direcciones se llaman componente intrínsecas del vector tensión.

Las componentes intrínsecas se denominan: σn: tensión normal  τ: tensión tangencial  El módulo del vector tensión y sus componentes intrínsecas se relaciones a través de: σ2= σn2+ τ2  El vector tensión por definición siempre se asocia a una superficie con una dirección determinada.

Vector tensión en un punto. Fijando el plano π en el punto P, queda determinado el vector tensión y por tanto sus componentes normal y tangencial. Se nos plantean las siguientes cuestiones:  Si consideramos dos planos distintos π1, π2 que pasan por P, los vectores tensión correspondientes ¿serán iguales o distintos?  En caso de ser distintos ¿cómo se puede calcular σ en función de la orientación del plano así como la variación de sus componentes intrínsecas?  Obtención de los valores máximos de esta magnitud y la orientación a la que se dan.  Es evidente que la contestación a la primera pregunta es afirmativa, ya que al variar π cambia la distribución continua de fuerza así como el área de sección. Df varía en módulo y dirección por lo que también serán distintos los vectores tensión.

Círculos de Mohr. Casos particulares

En el caso particular del haz de planos que contienen al primer eje principal x

En el caso particular del haz de planos que contienen al segundo eje principal y.

En el caso particular del haz de planos que contienen al tercer eje principal z.

Si representamos los círculos de Mohr para los tres haces de planos que contienen a los tres ejes principales, obtenemos: Se observa que la tensión tangencial máxima en valor absoluto es τ2: σ1 – σ3/2

Estado cilíndrico se da cuando σ1=σ2 o σ2=σ3. En el caso σ1=σ2 la circunferencia C3 queda reducida a un punto y C1 coincide con C2. El área de los posibles estados de tensiones queda reducido a la circunferencia C1≡C2. Habrá una dirección principal asociada a la tensión principal simple y cualquier dirección contenida en su plano perpendicular será principal.

Estado esférico se da cuando σ1=σ2=σ3, las 3 circunferencias tienen radio nulo y todas las direcciones son principales, las tensiones cortantes son nulas. Por tanto, los círculos de Mohr quedan representados por un punto. Se cumple que cualquier dirección es principal. 2.5. Círculos de Mohr.

TEMA 3

Efectos en el entorno de un punto.  Los cuerpos sufren deformaciones debidas a la acción de las fuerzas aplicadas.  Para conocer el estado de deformación de un cuerpo se analiza primero la formación de un cubo elemental o diferencial. La deformación se puede descomponer en:  Traslación  Rotación  Deformación propiamente dicha o deformación pura las dos primeras originan el movimiento del cubo elemental sin modificar su forma primitiva, mientras que en la deformación pura cambia la forma del cubo.  La deformación pura es la suma de: Dilatación: las aristas aumentan o disminuyen su longitud  Distorsión: ángulos inicialmente rectos cambian de valor.

Tema 5

Modelo de prisma Mecánico Tipos de sólidos:  Rígido: no se deforma con independencia del valor de la carga, cumple la estabilidad (ΣF=0, ΣM=0)  Elástico: ante una acción exterior se deforma, cuando cesa la acción, recupera la forma primitiva. Tiene las cualidades Isotropía: iguales carácterísticas en todas las direcciones Homogéneo: cualquier parte del sólido tiene la misma composición y carácterísticas Continuidad: no existen huecos entre las partículas  Verdadero: deformable, falto de isotropía, homogeneidad y continuidad  Modelo de sólido: sólido elástico deformable que puede romperse, no nos bastan las ecuaciones de equilibrio del sólido rígido ΣF=0, ΣM=0 ➨ no vuelco y no deslizamiento Sabemos que para estados intermedios, se deforma pero no se rompe

Tipos de elementos resistentes:  Unidimensionales: hilo o cable, viga, pilar, arco ➨ se considera toda la masa en la línea media  Bidimensionales: placa, membrana, lámina, cáscara, viga de gran canto (L≤4H) ➨ se considera toda la masa en la superficie media  Tridimensionales

Equilibrio elástico 12  Tipos de equilibrio:  Estático ➨ en sólidos rígidos (ΣF=0, ΣM=0)  Elástico ➨ en sólidos elásticos deformables Método de las secciones: segregando cualquier parte del sólido debe existir un equilibrio estático entre Fext y Fint en la parte segregada Fint = esfuerzos generados por las tensiones a lo largo de la sección recta donde se realiza el corte, proviene de las fuerzas de cohesión de material

Principios generales de la Resistencia de Materiales   Vamos a usar postulados que sirven de base para la solución de la mayoría de los problemas de Resistencia de Materiales.  Rigidez relativa  Superposición de efectos  Saint-Venant

 Rigidez relativa: al aplicar Fext, la forma del sólido no varía de forma significativa se puede establecer las ecuaciones de equilibrio en el estado indeformado. No es aplicable el principio de rigidez relativa cuando las posiciones del sólido deformado y sin deformar sean sustancialmente distintas  Grandes desplazamientos  Fenómenos de inestabilidad: pandeo  Equilibrios que exigen un cambio geométrico

Superposición de efectos: en un estado de equilibrio la solución se corresponde con la superposición o suma de las soluciones de cada uno de los estados de equilibrio correspondiente a la actuación independiente de cada una de las acciones exteriores  No es aplicable cuando:  No hay proporcionalidad entre Fext y los desplazamientos (no se cumple la Ley de Hooke)  No se cumple el principio de rigidez relativa  Los efectos no sean independientes de las deformaciones, cambia la solución según el orden de aplicación

Saint-Venant(*): establece que a partir de una distancia suficiente de los puntos de la superficie de un sólido elástico en los que está aplicado un determinado sistema de fuerzas, las tensiones y deformaciones son prácticamente iguales para todos los sistemas de fuerzas que sean estáticamente equivalentes al dado.

Acciones

 Estados límite:  Estado límite de servicio (ELS): estado límite que al ser rebasado se produce una perdida de funcionalidad para uso, pero no un riesgo inminente a corto plazo  Estado límite último (ELU): estado límite tal que de ser rebasado la estructura completa o una parte de la misma puede colapsar al superar su capacidad resistente  Situación: son unas circunstancias muy concretas de carga por las que pasa la estructura, pueden ser de tres tipos:  Persistente: las habituales  Transitorias: contrucción y reparación  Accidentales: no habituales  Combinaciones de carga: conjunto de acciones que representa una situación cuya suma provoca un efecto sobre la estructura

Coeficientes de seguridad  Para resolver el dimensionamiento de un elemento resistente tenemos que conocer el estado tensional debido a fuerzas exteriores  Existen las siguientes limitaciones para dimensionar correctamente:  Conocer con exactitud las fuerzas exteriores  Acciones exteriores imprevistas o accidentales (choques, acopios….)  Material es un sólido verdadero, no completamente elástico  Para dimensionar desde el punto de vista de la seguridad y de la economía, se establecen factores de seguridad respecto al comportamiento ideal.  Coeficientes de seguridad:  Material: se minoran su límite resistente de tensiones n depende de situaciones, uniones, estabilidad, pandeo  Acciones: se mayoran sus valores γ depende del tipo de acción: G, G*, Q, A  El código técnico de edificación (CTE) establece:  Coeficientes parciales de seguridad para ELS, ELU: γ  Coeficientes de simultaneidad en una combinación de acciones: ψ  Se verifica una situación estudiando el efecto en el elemento resistente de una combinación de cargas considerando los coeficientes γ,ψ adecuados

Sustentación (ligaduras) 24  Las condiciones de sustentación o ligaduras producen fuerzas de reacción, que es la consecuencia de una coacción a la deformación (restricción al desplazamiento y/o giro)  Vamos a considerar sistemas planos, con plano de simetría y cargas contenidas en el plano de simetría  Tipos de apoyo:  Articulado móvil:  Articulado fijo:  Empotrado:  Elástico.

Sistemas isostáticos e hiperestáticos   Las acciones que actúan sobre elementos resistentes son acciones exteriores más reacciones  Las reacciones son incógnitas que debemos hallar y las ecuaciones de que disponemos son las ecuaciones de la estática (3 ecuaciones en sistemas planos y 6 ecuaciones en sistemas tridimensionales)  Tipos de sistemas:  Sistemas isostáticos: son suficientes las ecuaciones de la estática para determinar las reacciones o incógnitas  Sistemas hiperestáticos: no son suficientes las ecuaciones de la estática, el número de reacciones o incógnitas es mayor a 3 en un sistema plano, las ecuaciones necesarias se obtienen de condiciones de deformación que nos dan condiciones de compatibilidad. Grado de hiperestaticidad: diferencia entre incógnitas y ecuaciones.

Energía de deformación   Las energías que intervienen en el proceso de carga son:  Trabajo de las fuerzas exteriores: ξe  Trabajo de las fuerzas interiores: ξi  Trabajo de las fuerzas de rozamiento, se desprecia ya que se consideran apoyos ideales ξroz ≃0  Incremento de Energía cinética, ya que el proceso de deformación es lento v≃0 ➨ ΔEc =0.  Relación entre Fuerzas exteriores con las deformaciones, se cumplen las hipótesis:  Principio de rigidez  Proporcionalidad F-δ  Principio de superposición.

Criterios de resistencia. Tensión equivalente 59  Vamos a buscar cuando empiezan deformaciones no elásticas en un elemento resistente, a partir de las componentes de tensión que generan las acciones exteriores encontraremos combinaciones de tensión axial y tangencial que agoten elásticamente el material  En un estado uniaxial serán aplicables los resultados del ensayo de tracción y tomaremos como límite la tensión límite elástica (σe)  Sin embargo en un estado tridimensional buscamos un valor crítico (c), que se sea una función de las componentes de la matriz de de tensiones [T] y por tanto de las tensiones principales. En un estado tridimensional las 6 magnitudes anteriores no se producen de forma simultánea, por tanto se pueden establecer diferentes criterios en función de que magnitud usemos como límite  Buscamos una tensión equivalente función de las componentes de tensión de un estado triaxial que podemos comparar con los resultados de un ensayo de tracción

 Tensión equivalente: tensión que tendríamos en un estado de tracción uniaxial (ensayo tracción) con el mismo coeficiente de seguridad frente a una tensión límite que el estado triaxial estudiado

Tema 6 Estructuras hiperestáticas   Estructura hiperestática es aquella en que las ecuaciones de equilibrio no son suficientes para resolver las incógnitas de la estructura.  Tipos de ecuaciones:  Ecuaciones de equilibrio ➨ A partir de fuerzas exteriores y esfuerzos internos: ΣF=0 y ΣM=0  Ecuaciones de compatibilidad ➨ Relaciones entre deformaciones y desplazamientos que salvaguardan la continuidad del campo de desplazamientos en el interior del sólido. Compatibilidad de los desplazamientos del contorno con los impuestos por los vínculos exteriores (sustentación)  Relaciones de comportamiento ➨ Relaciones las tensiones con las deformaciones en el interior del dominio, campo elástico lineal. Definen el comportamiento del material, dependiendo de las propiedades intrínsecas de este y del nivel de carga alcanzado.

Métodos de cálculo:  Método de compatibilidad o de Beltrami (flexibilidades)  Se introducen las ecuaciones de equilibrio y las leyes de comportamiento en las relaciones de compatibilidad de deformaciones, con lo que quedan estas en función de las solicitaciones.  Incógnitas hiperestáticas son Fuerzas.  Método de equilibrio o de Navier (rigidez)  Las relaciones de compatibilidad de desplazamientos y de comportamiento se utilizan para conseguir las ecuaciones de equilibrio en función de los desplazamientos Incógnitas hiperestáticas son Desplazamientos.