Fórmulas y Casos Prácticos de Finanzas: Interés Simple, Compuesto, Operaciones de Reporto y Más

Fórmulas de Interés Simple y Compuesto

Interés Simple: P = N / (1 + n/360 * i)

Interés Compuesto: P = N / (1 + i)^(n/360)

Operaciones de Reporto (Venta con Pacto de Recompra)

Cálculo de E1: E1 = N / (1 + n/360 * i), donde n = días que restan a vencimiento.

Cálculo de E2: E2 = E1 * (1 + n/360 * i), donde n = días desde E1 a E2.

Si i lleva diferencial, sería entonces (0,065 – 0,000X).

Rentabilidad o Coste Financiero: E1 = E2 / (1 + R)^(n/12). Hallar R.

Si tuviéramos que sacar el Precio inicial (P): P = N / (1 + n/360 * i).

n = días desde Eo al vencimiento, desde la subasta al vencimiento.

Compra-Venta de Letras del Tesoro (Mercado Abierto)

Un señor tiene un dinero a plazo fijo, n tiempo, interés compuesto de X%. Se dan 2 alternativas para mejorar:

a) Comprar Letras al contado

Comprar Letras al contado el x/x con vencimiento x/x+x del mismo año a un precio de 96,25% (962,5). El banco será mediador y cobrará una comisión del 2 por mil sobre el Nominal (en la adquisición de las Letras). Calcular i y R. (La comisión no influye para el interés).

P = N / (1 + n * i/360), donde n = días que van desde la compra al vencimiento.

962,5 = 1000 / (1 + 177 * i/360). Despejar i = ((1000/962,5) – 1/177) * 360 o hacer (N – E/E) * (360/n).

Rentabilidad: Leyes compuestas, 365 días. Se incluyen comisiones.

P + comisión (2 por mil) = 962,5 + 2 = 964,5

P = 1000 / (1 + R)^(n/365) –> 964,5 = 1000 / (1 + R)^(177/365)

R = {(1000/964,5)^(365/177)} – 1

b) Contratar a plazo Letras

Contratar (adquiere pero no paga) a plazo Letras de la misma emisión y vencimiento el 4/1 a 96,10% (961) y liquida 5/2 (cuando paga). El banco cobra una comisión del 2 por mil sobre el Nominal. Calcular i y R. La comisión no influye para el interés.

P = N / (1 + n * i/360) –> 961 = 1000 / (1 + 145 * i/360), donde

i = (1000/961) – 1/145 o de otra forma (N – E/E) * (360/n)

R = se toman 365 días y se incluye comisión. 961 + 2 por mil

P = N / (1 + R)^(n/365) –> 963 = 1000 / (1 + R)^(145/365)

R = {(1000/963)^(365/145)} – 1

Tener en cuenta que faltan 32 días respecto al apartado a), ya que en este tiempo el dinero estaba a plazo fijo a un interés. Hay que calcular la rentabilidad asociada al día 4/1. Al comprar a 963 hay que saber el importe si contrata el 4/1 –> 963 / (1 + 0,065)^(32/365) = 957,697. Ahora se calcula la rentabilidad para compararla con el apartado a).

P = N / (1 + R)^(n/365) –> 957,697 = 1000 / (1 + R)^(177/365)

R = {(1000/957,695)^(365/177)} – 1. La R se compara con la R del apartado a) para saber cuál es mejor.

Pagarés

Una empresa acude al mercado secundario para comprar pagarés por un efectivo total de 53.822,63. Vencimiento dentro de 90 días, interés 8,75% implícito (al descuento). Pasados 30 días, y ante la proximidad de pagos, decide venderlos consiguiendo en el mercado un interés del 8,65%. Retención de IS o IRPF 25%. Si no se da en el examen, el apartado b) sería el Nominal.

a) Nominal de Pagarés

E1 = N / (1 + n/360 * i). Despejar N.

53.822,63 = N / (1 + (90/360) * 0,0875). N = 55.000

b) Cantidad recibida en caso de esperar a la Amortización de los títulos

N’ = N – retención fiscal –> N’ = 55.000 – (55.000 – 53.822,63) * 0,25 –> N’ = 54.705,66

c) Efectivo obtenido en la operación de venta de pagarés a los 30 días

E2 = N / (1 + (n/360) * i) –> E2 = 55.000 / (1 + (60/360) * 0,0865)

E2 = 54.218,35 –> E2′ = E2 – retención fiscal

54.218,35 – (54.218,35 – 53.822,63) * 0,25 –> E2′ = 54.119,42

d) Rentabilidad conseguida por la empresa en la segunda operación

P = N / (1 + R)^(n/365). 53.822,63 = 54.119,42 / (1 + R)^(30/365). R = {(54.119,42/53.822,63)^(365/30)} – 1

Valoración de Obligaciones

Las obligaciones de una SA tienen un valor nominal de 1.000, cupón anual de 50 pospagable y plazo de amortización de 5 años. Calcular:

a) Valor de la obligación en la fecha de emisión, tipo de mercado 5%

50 * A(n)i% + N / (1 + i)^n –> 50 * A(10)5% + N / (1 + i)^n

50 * (1 – (1 + 0,05)^(-10)) / 0,05 + 1000 / (1,05)^10

50 * 7,7218 + 613,9132 –> P = 1.000

b) Valor de la obligación pasado 1 año si el tipo de interés es igual al 5%

P = 50 * A(9)5% + N / (1 + i)^n –> 50 * (1 – (1 + 0,05)^(-9)) / 0,05 + 1000 / (1,05)^9 –> P = 1.000

El precio es el mismo si se mantiene el tipo de interés.

Si cambia el tipo de interés, el precio cambiará también.

c) Valor de la obligación si el tipo de mercado cambia al 4%

P1 = 50 * A(9)4% + 1000 / (1 + i)^9

50 * (1 – (1 + 0,04)^(-9)) / 0,04 + 1000 / (1,04)^9 = 1.074,353

P2 = 50 * A(8)4% + 1000 / (1 + i)^8

50 * (1 – (1 + 0,04)^(-8)) / 0,04 + 1000 / (1,04)^8 = 1.067,327

Así hasta llegar a P10 = 1.000 si R(N) y al revés.

d) Rentabilidad por interés y plusvalía si se ha adquirido la obligación a final del 1º año y se vende a final del 2º, manteniendo el tipo de mercado en 4%

R(int.) = C / P1 –> 50 / 1.074,353 –> R(int.) = 0,046539

R(plus.) = (P2 – P1) / P1 –> (1.067,328 – 1.074,353) / 1.074,353 –> R(plus.) = -0,006539

Rent. Total = R(int.) + R(plus.) –> 0,046539 – 0,006539

Rent. Total = 0,04

Precio de Cotización

El precio de la obligación es el precio excupón más el cupón corrido (intereses que corresponden al vendedor por los días que han pasado desde que se pagó el último cupón).

El 01/12/11 se quiere saber el precio excupón que se pagará por una obligación con cupón anual del 3% y vencimiento 15/06/14 si el mercado descuenta a 3,25%. Valor Nominal obligación 1.000.

P = Σ cupones / (1 + r)^i + N / (1 + r)^n. PT = P(excup) + CC

PT = 30 / (1,0325)^(197/365) + 30 / (1,0325)^(562/365) + 1030 / (1,0325)^(927/365) = 29,49 + 28,56 + 949,64

CC = (i * VN / días por el que se paga el cupón) * días transcurridos desde el último pago = (30/365) * 169 = 13,89

El 05/06/11 invierte ahorros en bonos del estado con vencimiento 15/15/14, cupón 4%, pagos anuales y nominal 1.000. Precio excupón 103%. ¿Rentabilidad si mantiene la inversión hasta el vencimiento?

PT = P(EXCUPON) + CC –> P.EXCUP 103% = 1000 * 103% = 1.030. CC = (40/365) * 21 = 2,30. PT = 1.030 + 2,30

TIR o R –> PT = Σ cupones / (1 + r)^i + N / (1 + r)^n

1.032,30 = 40 / (1 + R)^(345/365) + 40 / (1 + R)^(710/365) + 1040 / (1 + R)^(1075/365)

Operaciones con Cédulas Hipotecarias

Una caja lanza el 20/01 una emisión de cédulas hipotecarias:

a) Interés efectivo anual 8%, cupón semestral.
b) Vencimiento 5 años.
c) Emisión a la par.
d) Nominal 5.000.000.
e) Nominal unitario 5.000.
f) Posibilidad de amortizar el Valor Nominal.

Un banco suscribe 900 títulos y el resto es distribuido a clientes.

Pasados 30 días de la emisión, el banco vende 500 títulos en el mercado al 102% cotización excupón. Dos días más tarde cede a vencimiento 200 títulos obteniendo un rendimiento del 14%.

Dos años después de la emisión, la caja decide amortizar anticipadamente el 50% de títulos, 100 son del banco. En este momento el tipo de interés de títulos similares es el 6%. El banco quiere saber la rentabilidad que le ha proporcionado la venta de los 500 títulos y el precio al que se cedieron los 200 segundos.

a) Rentabilidad de la venta de 500 títulos

1,02 * 5000 = 5.100 título. CC = 5000 * (30/183) * 0,04

Total = 5100 + CC (32,787) = 5132,787 * 500 títulos = 2.566.393,44. Precio Suscripción = 5000 * 500 = 2.500.000

Interés: C(n) = C(o) * (1 + i)^n –> 2.566.393,44 = 2.500.000 * (1 + i)^(30/183)

i = {(2.566.393,44/2.500.000)^(183/30)} – 1. i = 17,34% semestral.

Cálculo anual: {(2.566.393,44/2.500.000)^(365/30)} – 1

b) Precio al que se cedieron las cédulas (200 títulos con rentabilidad del 14%)

E = títulos * nominal * (1 + i)^n = 200 * 5000 * (1 + 0,14)^(32/365)

E = 1.011.553,643

Para saber el precio por cédula se divide E entre 200.

Ampliación de Capital

Valor acciones antiguas + Valor acciones nuevas = Valor total acciones

N(a) * P(a) + N(e) * P(e) = (N(a) + N(e)) * P(n)

Ratio de emisión: r = N(a) / N(e)

La diferencia entre P(a) y P(n) es el derecho de suscripción preferente: d = P(a) – P(e), surge por la pérdida de valor de las acciones. También d = (N(e) * P(n) – N(e) * P(e)) / N(a) = N(e)/N(a) * (P(n) – P(e)). d = {1 / (1 + r)} * (P(a) – P(e))