Factorización, Exponentes, Funciones y Límites: Conceptos y Ejemplos

Casos de Factorización

Factor Común

Ejemplo: 3x4 – 6x2 + 3x <=> 3x / (3x4 – 6x2 + 3x) = x3 – 2x + 1

Diferencia de Cuadrados

(a2 – b2) = (a + b)(a – b)

Trinomio Cuadrado Perfecto

  • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
  • (a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Cuatrinomio Cubo Perfecto

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Bhaskara

x = (-b ± √(b2 – 4ac)) / 2a

Otro Caso

Ejemplo: (x3 – 27) = (x3 – 33)

Leyes de Exponentes

a-n = 1/an | am * an = am+n | am/an = am-n | (a * b)n = an * bn | (a/b)n = an/bn | (an)m = an*m | (-a)n = -an (si n es impar) | (-a)n = an (si n es par)

n√am = am/n | n√(a*b) = n√a * n√b | n√(a/b) = n√a / n√b |

Funciones

Definición de Función

Dominio | Codominio | F Analítica F: A -> B

Función a Trozos

  1. Indicar el Dominio.
  2. Hacer tabla de valores X|Y.
  3. Graficar.
  4. Indicar la Imagen.

Valor Absoluto

  1. Ver el signo delante del valor absoluto (v.a.).
  2. Sacar el vértice igualando |v.a.| = 0.
  3. Ver las raíces igualando f(x) = 0.
  4. Determinar Dominio, Imagen y definirla.

Función Exponencial

f(x) = ax

  • Si a > 1: Creciente
  • Si 0 < a < 1: Decreciente
  1. Verificar si ‘a’ es mayor que 1 o está entre 0 y 1.
  2. Asíntota Horizontal: es el término independiente.
  3. Raíces: igualar f(x) = 0.
  4. Ordenada al origen: reemplazar X por 0 en la función.
  5. Dominio = ℝ | Imagen: (desde la asíntota horizontal hasta ∞ o -∞).

(Se puede aplicar logaritmo en ambos términos si tenemos la X como exponente).

Funciones Logarítmicas

f(x) = logb(x)

  • Si b > 1: Creciente
  • Si 0 < b < 1: Decreciente

«¿A qué se tiene que elevar ‘b’ para obtener ‘x’?»

  1. Definir el Dominio: X > 0.
  2. Asíntota Vertical: X = 0.
  3. Raíces: Y = 0 (aplicar propiedades de logaritmos).
  4. Hacer tabla de valores.
  5. Definir: Dominio = (desde la asíntota vertical hasta ∞) | Imagen: ℝ

— La Función Logarítmica y la Función Exponencial son inversas entre sí. —

Propiedades de los Logaritmos

  • loga(1) = 0
  • loga(a) = 1
  • loga(b) = x → ax = b
  • log(b√a) = (log a) / b
  • loga(a * b) = loga(a) + loga(b)
  • loga(a/b) = loga(a) – loga(b)
  • loga(ab) = b * loga(a)
  • ln(1) = 0
  • ln(e) = 1
  • ln(ex) = x
  • eln(x) = x

Análisis de Funciones

Función Par

Simetría respecto al eje y.

f(-x) = f(x)

Función Impar

Simetría respecto al origen de coordenadas.

f(-x) = -f(x)

  1. Calcular f(-x).
  2. Evaluar el resultado f(-x): si es igual a f(x), es par; si es igual a -f(x), es impar; si no cumple ninguna de las dos, no es ni par ni impar.

Inyectividad

Cada elemento de la imagen está asociado a un solo elemento del dominio (no puede haber imágenes repetidas). Si se traza una recta horizontal, intersecta a la gráfica en un solo punto.

Suryectividad

Codominio = Imagen

Biyectividad

f: A → B ↔ f-1: B → A

Para hallar la función inversa, se intercambian X e Y.

Operaciones entre Funciones

  • Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
  • Cociente: (f/g)(x) = f(x)/g(x)
  • Diferencia: (f – g)(x) = f(x) – g(x)
  • Producto: (f * g)(x) = f(x) * g(x)
  • Compuesta: (g ∘ f)(x) = g[f(x)]

Función Inversa

Tiene que ser biyectiva.

f-1(x)

  1. Despejar la variable X.
  2. Intercambiar X por Y.

Si se realiza (f ∘ f-1) y (f-1 ∘ f), ambas operaciones deben dar como resultado X.

Límites

  • Límite Finito: Limx→Xo f(x) = L
  • Límite Infinito: Limx→Xo f(x) = +–∞
  • Límite para x tendiendo a infinito: Limx→±∞ f(x) = L

Continuidad

3 condiciones:

  1. a ∈ A
  2. Existe y es finito el límite de f(x) cuando x tiende a ‘a’.
  3. Limx→a f(x) = f(a)

Discontinuidad

Si solo se cumple la condición 2, la discontinuidad es evitable. Si no se cumple ninguna o solo la primera, es una discontinuidad no evitable.

Indeterminación

Cuando se tiene una indeterminación del tipo 0/0:

  1. Se toman las X de mayor grado en el numerador y el denominador, y se calcula el límite de esos términos.

Cuando el grado del numerador es uno más que el grado del denominador, hay asíntota oblicua.

Asíntotas

  • Asíntota Vertical: Limx→k f(x) = ∞
  • Asíntota Horizontal: Limx→∞ f(x) = k (límite lateral por izquierda y derecha)
  • Asíntota Oblicua: y = mx + b
    • m = Limx→±∞ (f(x) / x)
    • b = Limx→±∞ (f(x) – mx)

Si f(x) tiene Asíntota Horizontal, no tiene Asíntota Oblicua.