Estructura de un numero decimal
TEMA 6
1.- ¿Por qué los números racionales suponen una ruptura esencial con relación al conocimiento que los alumnos tienen de los números naturales?
- Porque para representar un número racional, se utilizan dos números naturales.
- La multiplicación no puede ,salvo cuando se multiplica un número natural por una fracción, ser interpretada como una adición reiterada
- En muchos casos el producto de dos números racionales es menor que cada uno de los factores,
- El resultado de una división puede ser mayor que el dividendo
- Los números racionales no tienen siguiente…
2.- El número racional como resultado de una medida: representaciones que se apoyan en el modelo «área»
Se trata en este caso de un todo continuo.
- Pedro se ha comido 3/5 de una pizza. Si consideramos el rectángulo grande como una unidad, la parte sombreada representa los 3/5, es decir la relación entre la parte sombreada y el rectángulo grande.
2/5 es la relación entre el rectángulo sin sombra y el rectángulo grande.
- Podemos verlo desde otro punto de vista: si consideramos la parte sombreada como la unidad (quitamos las líneas de separación), la totalidad de la figura representa los 5/3 de la parte sombreada.
3.- El número racional como resultado de una medida: representaciones que se apoyan en el modelo «conjunto»
Se trata en este caso de un todo que es magnitud discreta:
3/5 de las fichas que tengo son azules
Esta representación también admite diferentes lecturas:
- Representa 3/5 si consideramos como unidad el conjunto total de fichas y cada dos fichas representa la quinta parte, es decir la fracción unitaria: 1/5(1/n).
- Representa 6/10 si consideramos la unidad el conjunto total de fichas y cada ficha la decima parte, es decir la fracción unitaria: 1/10.
- Representa 5/3 si consideramos la unidad el conjunto de fichas sombreadas, la parte el conjunto total de fichas y fracción unitaria 1/3 formada por dos fichas.
- Representa 10/6 si consideramos cada fracción unitaria formada por una ficha.
4.- El número racional como resultado de una medida: representaciones para alcanzar la noción de parte equivalente
- La parte puede estar subdividida en otras partes.
- El tamaño ( la cantidad) de una subparte (subgrupo) depende del número de partes que se realicen.
- La manera en la que pensemos sobre la unidad y la parte nos proporcionara representaciones simbólicas diferentes.
- Esta idea está en relación con la conceptualización de la fracción unitaria 1/n como unidad con la que contar.
5.- El número racional como resultado de un reparto
El número racional puede ser el resultado de un reparto y, en consecuencia quedar ligado al cociente entre números naturales.
Recordemos que cuando hemos tratado la división decíamos que las divisiones no exactas, es decir las que nos dejaban un resto nos colocaban frente al estudio de las fracciones. Decíamos que el resto no era simplemente un número molesto. Cuando hemos resuelto un problema con esta característica debemos llevar a los alumnos a analizar si “lo que sobra” en cada caso puede o no seguir repartiéndose. Hemos de trabajar enfrentando a los alumnos con el hecho de que, aunque la cuenta de dividir “termina”, el reparto, en algunos casos, no termina porque el resto podría seguir repartiéndose. Es muy posible que los alumnos no reparen en esto de manera espontánea.
6.- El número racional como operador. Significado de la preposición “de”
La interpretación del número racional como operador se apoya en el significado de función. Un número racional actúa sobre una parte, un grupo o un número modificándolo.
Por ejemplo “2/5 de” es visto como una sucesión de multiplicar 2 y dividir por 5. O bien una sucesión de dividir 5 y multiplicar por 2.
Es decir 2/5 de significa:
- 2 veces 1/5 de la unidad.
- 1/5 de 2 veces la unidad.
Esta manera de utilizar la fracción es útil para resolver situaciones donde las fracciones no hacen referencia a una parte de un objeto sino a una parte de una colección formada por más de un objeto. Da lugar a que se pueda pensar el problema en función de dos unidades de medida: puede considerarse como una unidad cada objeto o como el total de objetos de la colección.
7.- El número racional como razón
El número racional puede ser la manera de indicar la relación entre las partes que forman un todo. Una razón es una comparación de dos cantidades (de igual o diferente magnitud). Es una comparación por división de dos números o de las medidas de dos cantidades.
Se puede definir razón: es la relación entre dos números positivos.
Por ejemplo: si tenemos los números a y b dividimos entre b, obtenemos la razón a/b. el término “a” se nombra antecedente y el termino “b” se nombra consecuente.
8.- La razón como comparación parte-parte y parte-todo
La razón como comparación parte-parte con un ejemplo:
Tenemos en la finca 9 caballos y 6 cerdos. Si se compara la cantidad de caballos entre la cantidad de cerdos, se obtiene que por cada 3 caballos hay 2 cerdos. (9/6=3/2).
La razón entre la cantidad de caballos y la cantidad de cerdos que tenemos es 3 caballos/2 cerdos y esta indica que por cada 3 caballos hay 2 cerdos.
La razón contiene la relación de los tamaños entre dos cantidades, pero pierde la información sobre las magnitudes originales de las cantidades.
La razón como operación parte-todo:
La generalidad de la interpretación como razón consiste en que nos permite comparar cantidades de magnitudes diferentes, mientras que en la interpretación parte-todo en un contexto de medida solo nos permite comparar cantidades del mismo tipo.
9.- Proporcionalidad directa e inversa
Proporcionalidad directa:
Se dice que dos cantidades a y b varían en razón directa, cuando el multiplicar o dividir a por un numero n, también se debe multiplicar b por n, para mantener la proporción a/b=an/bn. Como por ejemplo: el precio y la longitud, el trabajo realizado y el tiempo, el peso y el valor de la mercancía.
Proporcionalidad inversa
Se dice que dos cantidades a y b varían en razón inversa cuando al multiplicar a por un numero n se debe dividir b por n o cuando al dividir a por un numero n se debe multiplicar b por n, para mantener la proporción.
a/bxn= a:n/b
10.- Porcentajes: tipos de problemas de porcentajes
Tipo A. si se da el porcentaje, el total y se pide una parte del total.
El 20% de los estudiantes no viven en los alrededores del pueblo, si son 1.500 estudiantes, ¿Cuántos estudiantes no viven en los alrededores del pueblo?
20/100x 1.500= 20/100x 1500/1=20/100×15/1×100/100=20/1×15/1×1= 300.
Tipo B. se da el porcentaje, una parte del total y se pide el total.
Si el 50%de los estudiantes son hijos de padres extranjeros, si son 500 estudiantes hijos de padres extranjeros ¿Cuántos estudiantes son?
50/100 por X=500 50%(500) 50%(500) el total son 1000 estudiantes.
Tipo c. se da la parte y la razón y se pide el total.
Si 2/5 son 200 alumnos, ¿ cuantos alumnos son en total?
Lo expresamos en porcentaje: 2/5=2×20/5×20=40/100= 40%.
Tipo D. se da el total, la parte y se pide el porcentaje
Si son 500 estudiantes y a 4/5 de ellos les gusta el chocolate, ¿ a que porcentaje de alumnos les gusta comer chocolate?.
Nos basta la razón 4/5=0,8=0,80=80/100=80%
Tipo E. si se da el total, la parte y se pide el porcentaje.
De un embarque de 200 quintales de mercancía se devolvieron 80 quintales. ¿Qué porcentaje de mercancía se devolvió?
80/200=40/100=40%
11.- Fracciones decimales: Expresión decimal exacta. Todo el contenido de este apartado
Son aquellas en las que el resto llega a ser 0.
Como ejemplo: 2/8=0,25 580/250= 2,32. Podemos verificar estos resultados realizando las divisiones.
De estas fracciones podemos verificar que tienen como equivalente una fracción cuyo denominador es una potencia de 10.
2/8=0,25=25/100 580/250=2,32=232/100.
Puedes verificar que son equivalentes las fracciones:
2/8=25/100 580/250=232/100
Todas las expresiones exactas se pueden expresar como una fracción que tiene como denominador una potencia de 10, es decir, la unidad seguida de ceros y que llamamos fracción decimal.
Como se escribe una fracción decimal en forma de numero decimal:
se escribe solo el numerador y se separan con una coma, a partir de la de derecha, tantas cifras decimales como ceros tenga el denominador:
1/100=0.01.
Como se escribe un número decimal en forma de fracción decimal:
se escribe en el numerador el número sin coma, y por denominador se pone la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el número decimal.
0,58=58/100.
- Como se reconoce si una fracción irreducible da lugar a una expresión decimal exacta, es decir que tenga un número finito de cifras decimales: si el denominador contiene solo dos factores 2 o 5 y sus potencias.
12.- Fracciones decimales: Expresión decimal periódica pura. Todo el contenido de este apartado
Una expresión decimal es periódica pura cuando el periodo, es decir las cifras que se repiten indefinidamente, comienza en la primera cifra decimal.
Así que 6/9 es una fracción decimal periódica pura. Se conviene en indicar el periodo para no repetirnos innecesariamente, 6/9=0,6.
Como se escribe una fracción decimal periodica pura en forma de número decimal:
no hay mas que calcular el cociente con aproximaciones hasta econtra el primer resto que se repite, como hemos hecho en el ejemplo anterior.Reconocer si una fracción irreducible da lugar a una expresión decimal exacta
Si el denominador no contiene factores 2 o 5.Escribir una expresión decimal periódica pura en forma de fracción:
encontrar una fracción tal que al dividir el numerador entre el denominador se obtenga como cociente el número decimal dado. A esta acción la conocemos por: encontrar la fracción generatriz de una expresión decimal periódica pura. Algoritmo: cuando la expresión decimal es periódica pura, se escribe una fracción cuyo numerador es el número decimal sin la coma, menos la parte entera y cuyo denominador es un número formado por tantos nueves como cifras tiene el período.Como se reconoce si una fracción irreducible da luga a una expresión decimal periodica pura:
si el denominador no contiene solo los factores 2 y 5 y sus potencias.
13.- Fracciones decimales: Expresión decimal periódica mixta. Todo el contenido de este apartado
Las cifras que se repiten indefinidamente, comienza en cualquier orden decimal excepto el primero. En este caso los números que anteceden al periodo se denominan ante periodo.
Ejemplos: para 0,31454545… 0,3145: 0 es la parte entera, 31 el ante periodo y 45 el periodo.
Escribir una fracción decimal periódica mixta en forma de numero decimal:
No hay más que calcular el cociente con aproximaciones hasta encontrar el primer resto que se repite, como hemos hecho en los casos anteriores ejemplos anteriores.Reconocer si una fracción irreducible da lugar a una expresión decimal periódica mixta
Si el denominador no contiene además de los factores 2 ó 5 otros factores.Como se escribe una expresión decimal periódica mixta en forma de fracción:
encontrar una fracción tal que al dividir el numerador entre el denominador se obtenga como cociente el número decimal dado.
Algoritmo: cuando la expresión decimal es periódica mixta, la fracción generatriz tiene como numerador el número dado sin la coma, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no periódicas, y por denominador, un número formado por tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no periódica.
TEMA 7
1.- Múltiplos y divisores de un número natural
Múltiplos de un numero natural:
dados dos números naturales a y b se dice que a es múltiplo de b, y se representa a=b. si existe un numero natural n tal que a=bxn. Ejemplo: 12=6…12=6×2.
Divisores de un numero natural:
dados nos números naturales a y b se dice que b es divisor de a, y lo representamos b a, si existe un numero natural n tal que a=bxn.
Si” b” es divisible de” a” también puede decirse que:” b” divide a “a”, “a”es divisible por “b”, “a” es múltiplo de “b”.
2.- propiedades de los múltiplos
- El cero es múltiplo de cualquier número. 0=n
- Todo número es múltiplo de 1. 1xn=n
- Todo número es múltiplo de sí mismo. nx1=n
- Si dos números a y b son múltiplos de m, su suma a+b es múltiplo de m.
- Si dos números a y b (a mayor b) son múltiplos de m, su diferencia a-b es múltiplo de m.
- Si dos números a y b son múltiplos de m, su producto axb es múltiplo de m.
- Propiedad transitiva: dados tres números naturales a,b y c, si a es múltiplo de b y b es múltiplo de c, entonces, a es múltiplo de c.
3.- Propiedades de los divisores
- El uno es divisor de cualquier numero natural.
- Todo numero es divisor de si mismo.
- Si un numero natural m divide a dos números naturales a y b, también es divisor de su suma.
- Si un numero natural m es divisor de dos números naturales a y b (a mayor b), también es divisor de su diferencia.
- Si un numero natural m es divisor de dos números a y b, también es divisor de su producto.
- Propiedad transitiva: dados res números naturales a, b y ce , si a es divisor de b y b es divisor de c, entonces, a es divisor de c.
- Todo numero natural a tiene, al menos dos divisores, 1 y a. los restantes dvisores de a forman parejas cuyo producto es a, salvo si a es cuadrado perfecto, en cuyo caso, uno de los divisores es raíz de a que se empareja consigo mismo.
4.- Criterio de divisibilidad por 2 y su justificación
El criterio de divisibilidad por 2 : un numero es divisible por 2 cuando lo es la cifra de las unidades o cuando termina en 0 o cifra par.( 0 es múltiplo de todos los números).
5.- Criterio de divisibilidad por 3 y su justificación
Un numero es divisible por 3 cuando lo es la suma de los valores absolutos de sus cifras o bien si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
6.- Criterio de divisibilidad por 4 y su justificación
Un numero es divisible por 4 cuando lo es el numero formado por sus dos ultimas cifras.
7.- Criterio de divisibilidad por 5 y su justificación
Un numero es divisible por 2 cuando lo es la cifra de las unidades o termina en 0 o 5 ( 0 es múltiplo de todos los números y 5 es el único numero de una cifra, distinto a 0, que es múltiplo de 5.)
8.- Criterio de divisibilidad por 9 y su justificación
Un numero es divisible por cuando lo es la suma de los valores absolutos de sus cifras o si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
9.- Descomposición de un número en factores primos: Propiedades de la factorización
Todo numero compuesto puede expresarse cono producto de factores primos, siendo esta descomposición única.
Propiedades de la factorización:
- La descomposición en factores primos de un numero es única.
- La descomposición factorial de un numero nos indica cuales son los divisores primos de ese numero.
- Para descomponer en factores primos un numero compuesto podemos expresarlo como producto de factores mas simples y factorizar cada uno de esos factores.
10.- Divisores comunes. Máximo común divisor de varios números
Decimos que k es un divisor común de los números a1,a2….an si divide a todos ellos. al mayor de los divisores comunes de dichos números se le llama máximo como un divisor de a1,a2…an. Se denota por m.c.d (a1,a2…an). Por ejemplo:
m.c.d ( 45,60)
D(45)=(1,3,5,9,15,45) D(60)=(1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60) m.c.d(45,60)=15.
Dos numero a y b se dice que son primos entre si si no tienen divisores comunes, esto es, si m.c.d(a,b)=1.
11.- Múltiplos comunes: Mínimo común múltiplo de varios números
Decimos que k es un múltiplo común de los números a1,a2…an si k es un múltiplo de todos ellos. si tenemos en cuenta solo los múltiplos comunes distintos de cero, al menor de los múltiplos comunos a dichos números se le llama minimo común múltiplo de a1,a2…an. Se denota por mcm ( a1,a2….an)
Ejemplo: mcm(6,9) M(6)=6,12,18,24,30,36… M(9)=9,28,27,36,45,54… M(6,9)= 18,36… mcm(6,9)= 18