Errores, Obstáculos y Resolución de Problemas en el Aprendizaje de las Matemáticas

Errores en el Aprendizaje

Tipos de Errores

ERROR:

Errores de conocimiento: No se conoce una definición, una regla, etc.
Errores de saber hacer: No se usa correctamente una técnica, por ejemplo.
Errores debidos a la utilización no pertinente de conocimiento o técnicas: No reconoce situaciones en las que hay que utilizar una operación.
Errores de lógica o razonamiento:

Obstáculos

OBSTÁCULOS: Conocimiento anterior que era válido y ahora ya no.

Se trata de un conocimiento, no la falta de él.
Este conocimiento nos da soluciones correctas en ALGUNAS situaciones.
Es insuficiente y da lugar a errores.
Son persistentes y resistentes a la corrección.
Su rechazo puede provocar el aprendizaje de otro nuevo conocimiento.

Tipos de Obstáculos

Ontogénicos: Relacionados con el desarrollo psicogenético, se resuelven con la edad.
Culturales: Fruto de la cultura. Ej. escribir de izquierda a derecha.
Didácticos: Debidos a las decisiones del docente.
Epistemológicos: Propios de la construcción del conocimiento.

Resolución de Problemas

La resolución de problemas se trata de una importante actividad cognitiva que tiene 3 valores principales:

Valores de la Resolución de Problemas

Valor instrumental: Sirve como herramienta que permite la aplicación de conceptos, procesos y técnicas adquiridas previamente, y por otro lado sirve como estrategia y recurso para la enseñanza de contenidos.
Valor funcional: Sirve como elemento útil en la vida y en el quehacer diario, facilitando la comprensión de todo lo que nos rodea.
Valor formativo: Pieza fundamental en el desarrollo de capacidades y habilidades como: razonamiento, análisis y síntesis, establecer relación entre conocimientos, fluidez y audacia, creatividad, etc.

Etapas de Resolución de Problemas

Comprensión del problema.
Concepción de un plan.
Ejecución del plan.
Mirar hacia atrás.

Tipos de Problemas

Problemas Estructurados

Se especifica la incógnita, se ofrece toda la información, hay una única solución y hallarla depende de un número de pasos determinado.

Según orden y datos:

Consistentes: Datos en orden de operación. Preguntas al final del texto.
Inconsistentes: Datos en orden inverso a la operación. Preguntas pueden aparecer al final o no.

Según estructura semántica:

Estructura Aditiva

Cambio: Creciente (sumar) o decreciente (restar), con final desconocido, con comienzo desconocido o con cambio desconocido.
Combinación: Con total desconocido, con una de las partes desconocidas.
Comparación: Con cantidad final (diferencia) desconocida, con cantidad de referencia (referente) desconocida, con cantidad comparada (comparado) desconocida. Se usa más que…
Igualación: De aumento o disminución, con cantidad inicial desconocida, con cantidad de referencia desconocida o con cantidad final desconocida. Se usa igual que…

Estructura Multiplicativa

Situaciones de proporcionalidad simple:
- Grupos iguales: Tenemos unos grupos con un número de elementos en ellos que es igual para todos. Ej. 2 paquetes de galletas con 3 en cada uno, 3×2=6. Puede ser con el total de elementos desconocidos, con el número de elementos por grupo desconocido o con el número de grupos desconocido.
- Problemas de tasa: Proporcionalidad entre dos cantidades de magnitudes (longitud, masa, kilómetros, etc.).
  - Problema de multiplicación: ¿Cuántos km hace una bici en 3h a 25km/h?
  - Problemas de división partitiva: Una bici ha hecho 75km en 3h, ¿cuántos km/h ha hecho?
  - Problemas de división medida o cuotitiva: 75km a 25km/h, ¿cuántas horas?
Situaciones de comparación: De aumento o de disminución. Aparecen estos elementos:
- Referente: Es la cantidad con respecto a la cual hacemos la comparación.
- Comparada: Es la cantidad que se compara (con el referente).
- Escalar: Factor de comparación.
Situaciones de producto cartesiano:
- Situaciones de combinación: Combinan parejas. Ej. 3 chicos y 2 chicas, ¿cuántas parejas? Las incógnitas pueden ser el producto (ejemplo anterior) o el factor. Ej. 12 combinaciones de corbata con 3 camisas, ¿cuántas corbatas? 12/3=4.
- Situaciones de producto de medidas: Longitudes, superficies y volúmenes. Incógnita = producto o factor.

Problemas No Estructurados

La incógnita puede estar no especificada, información de más o insuficiente, múltiples formas de resolver, no hay algoritmo, puede haber varias soluciones.

Manipulativos: Material didáctico necesario para encontrar solución.
Ligados a juegos: Favorecen la aplicación de conocimientos, la búsqueda de estrategias y el desarrollo de la creatividad e imaginación.
Modelización: Situaciones del mundo real.

Dimensión afectiva: Creencias, actitudes, emociones.

El Juego en el Aprendizaje de las Matemáticas

Una actividad lúdica, entretenida y recreativa cuya finalidad es divertirse. Puede ser una actividad tanto física como mental. Actividad que debe tener un conjunto de reglas claras que rigen el juego, dejando claros los objetivos y que deben determinar cuándo acaba el juego.

Juego funcional: 0-2 años, explorar el mundo que le rodea de manera individual.
Juego simbólico: 2-4 años, representar objetos. Ej. una espada con un palo.
Juego de reglas: A partir de 4 años. Implica socialización porque necesita más jugadores y competición al establecerse normas que determinan el final del juego.

Ventajas del Juego en el Aprendizaje

La elección adecuada de un juego ayuda a descubrir, comprender y afianzar conceptos y procesos matemáticos por parte del alumno desde un enfoque constructivista y dinámico.
Genera entusiasmo, diversión, interés, desbloqueo y gusto por estudiar matemáticas.
Permite atender las necesidades individuales de cada alumno, mediante la modificación de las reglas y objetivos.
Refuerza la autonomía del estudiante, sirviendo de preparación para hacer frente a posibles situaciones problemáticas.
Estimula el desarrollo de la autoestima de los niños y niñas.

El juego reúne características de la teoría de situaciones didácticas de Brousseau:

El alumno debe disponer de algún procedimiento inicial.
El procedimiento de base debe revelarse rápidamente como insuficiente o ineficaz para el alumno.
Existe un medio para la validación.
Que exista incertidumbre en el alumno en cuanto a las decisiones a tomar.
Que el medio permita retroacciones.
Que el juego sea repetible.
Que el conocimiento buscado deba necesitarse como requisito, de forma lógica, para pasar de la estrategia de base a la estrategia óptima.

Fines del Juego

Favorecer el desarrollo de contenidos matemáticos en general y del pensamiento lógico, geométrico y numérico en particular.
Desarrollar estrategias a la hora de enfrentarse a situaciones problemáticas y desafíos.
Introducir, reforzar o consolidar algún contenido concreto del currículo.
Diversificar las propuestas didácticas y atender a la diversidad de los alumnos.
Despertar en los alumnos el interés por la matemática a partir del factor motivacional de los juegos.
Conectar lo matemático con la realidad que rodea al alumno y los posibles contextos y situaciones que se encuentra en su día a día.

Dificultades de Aprendizaje en Matemáticas (DAM)

DAM: Dificultades de aprendizaje en matemáticas.

Dificultades de naturaleza extrínseca: Causadas por trastornos o lesiones.
Dificultades de naturaleza intrínseca: Causadas por el entorno o la situación de aprendizaje.

Discalculia

DISCALCULIA: Dificultad del alumno para comprender el número y dominar las combinaciones numéricas básicas y la solución de problemas. 3 posibles casos de discalculia:

Verbal: Incapacidad para comprender conceptos matemáticos presentados verbalmente.
Pratognóstica: Trastorno en la manipulación de objetos (comparación de tamaños, cantidades, etc.).
Léxica: Falta de habilidad para entender símbolos matemáticos o números.

El Número Natural y sus Aplicaciones

NÚMERO NATURAL, aplicaciones: Secuencia numérica, conteo, cardinal, medida, ordinal, etiquetas.

Principios del Conteo

Correspondencia uno a uno: Señalar objeto y decir palabras. El principio se refiere a la coordinación de este hecho. Ej. contar con los dedos. Dos procedimientos: Partición y etiquetación.
Principio del orden estable: Proceso de etiquetación, el niño debe haber memorizado unas etiquetas (1-15) y unas reglas (16-+). En la elaboración destacan 5 niveles: 1. Nivel de hilera (no hay reflexión sobre los números, 1-10 «vomitado»). 2. Nivel de lista irrompible (reflexión 2, 3, 4). 3. Nivel de cadena fragmentable (A-B, B-A). 4. Nivel de cadena numerable (5+3= 5, 6, 7, 8). 5. Nivel de cadena bidireccional (dominio).
Principio de cardinalidad: 8 = octavo.
Principio de abstracción: Determina que los tres primeros principios pueden ser aplicables a cualquier muestra o conjunto.
Principio de irrelevancia del orden: Boli azul y boli rojo.

Sistema de Numeración

Evolución:

Representación simple: Un palito por número.
Principio de agrupamiento: III = 3 (1-10).
Agrupamiento múltiple: Agrupamiento según la base.
Principio aditivo: Un número es la suma de los anteriores.
Principio multiplicativo: Nuevos signos para indicar las veces que se repite.
Principio de posición: El valor de una cifra es relativo, depende del lugar que ocupe en la escritura. Valor posicional.

Estrategias para la Estructura Aditiva

Estrategias de modelización directa: Juntar todo, quitar, añadir hasta, quitar hasta, correspondencia uno a uno, ensayo y error.
Estrategias de conteo: Contar a partir del primer número o del mayor, contar a partir del número que hay que sustraer.
Hechos numéricos: Combinaciones más fáciles de aprender y usar. 3+4 = 3+3+1.

Estrategias para la Estructura Multiplicativa

Estrategias de modelización de agrupamiento y reparto: Agrupamiento: agrupar y contar. Reparto: repartir.
Estrategias de conteo para la multiplicación y división: Saltos: contar de dos en dos. Estructura matricial: columnas y filas y contar. Diagrama de árbol: diferenciar y contar.

Fracciones

Dos interpretaciones:

Porción: Incluimos relación parte-todo (3/8 = tres partes de ocho), medida (colocable en la recta numérica), fracciones como cociente (son divisiones), fracción como operador (una fracción actúa sobre una cantidad, ej. damos 2/3 a la clase de sexto).
Fracción como razón: Se usan como un índice comparativo entre dos cantidades de una magnitud. Ej. 3 bolas rojas y 4 azules, 3/4 bolas rojas sobre las azules, o al revés.

Progresión Didáctica de las Fracciones

Unidad: Las primeras actividades van enfocadas a identificar el número de unidades, si son mayores o menores a la unidad, qué es el todo.
Partes de la unidad, partes congruentes: Con materiales manipulativos, podemos trabajar las partes de la unidad, 2/4: dos trozos de cuatro.
Nombres orales para partes de la unidad: Tres cuartos.
Escribir fracciones para representar partes de la unidad: 3/4.
Representar fracciones con dibujos.
Ampliar la noción de fracción: Impropias (más grandes que la unidad, 5/4). Números mixtos: número entero y fracción (1 1/3). Comparar fracciones, equivalentes.

Medida: Etapas

Percepción: Inicio, saber el significado y comprender. 1kg no es lo mismo que 1g. La altura es longitud, no peso.
Comparación: Que se midan, se pesen. Más altos que su padre.
Búsqueda de un referente: Un paso es un metro aprox.
Medición como sistema: Aprender el sistema para relacionarse con su entorno. Ej. padre 160cm, hijo 140cm. SI: Sistema Internacional de Unidades.

Niveles de Conocimiento en Geometría (Van Hiele)

Reconocimiento de figuras.
Análisis de las partes y propiedades.
Se relacionan y clasifican.
Se realizan deducciones y demostraciones lógicas (sistemas axiomáticos).
Aprecian las distinciones y relaciones entre diferentes sistemas axiomáticos.

Resolución de Problemas Estadísticos

Formular preguntas.
Recoger datos.
Analizar datos.
Interpretar resultados.