Enseñanza y errores en matemáticas

Enseñanza transmisiva

Para muchos profesores, transmitir un saber consiste en verter en la cabeza del alumno, cabeza que se supone vacía y que se trata de rellenar. Uno de los medios empleados es el aprendizaje de las lecciones de memoria. Se conocen los límites de esta concepción: entre el sentido del mensaje que pensamos comunicar y el sentido que el alumno le da, hay a menudo una enorme diferencia. Es evidente que la cabeza de un alumno está lejos de estar vacía cuando se trata de abordar conocimientos nuevos por primera vez.

Enseñanza por descubrimiento

Se basa en que para hacer pasar a un alumno de un nivel de conocimiento a otro, es suficiente con superar un cierto número de etapas intermedias. Cada una de estas etapas ofrece una pequeña dificultad que el alumno debe poder superar. Límites:

No porque el alumno sepa las tareas intermedias sabrá la tarea global.
Aunque un alumno pueda llegar a combinar adecuadamente las tareas intermedias, tiene mucha dificultad en transferir esos conocimientos para resolver nuevos problemas

Enseñanza constructivista

a) La nueva noción a aprender está ya presente en la estructura mental del alumno que la aplica en situaciones prácticas.

b) La noción está descompuesta en pequeñas unidades cada vez más complejas y la adquisición de la noción se hace de manera progresiva y continua. Plantea que el alumno en su aprendizaje tiene un régimen discontinuo encontrándose situaciones que le crean desequilibrios. El aprendizaje no está limitado a una simple memorización sino que se produce por la adaptación del individuo a través de la asimilación y la acomodación, a la realidad del entorno.

Principios en matemáticas

Principio del orden estable. Las palabras numéricas uno, dos, tres, …deben recitarse siempre en el mismo orden, sin saltarse ninguna.

Principio de la correspondencia uno a uno. A cada elemento del conjunto sometido a recuento se le debe asignar una palabra numérica distinta y sólo una.

Principio de irrelevancia del orden. El orden en que se cuentan los elementos del conjunto es irrelevante para obtener el cardinal del conjunto.

Principio cardinal. La palabra adjudicada al último elemento contado del conjunto representa, no sólo el ordinal de ese elemento, sino también el cardinal del conjunto.

Principio de abstracción. Todos los principios anteriores pueden ser aplicados a cualquier conjunto de entidades.

Niveles en matemáticas

Nivel cuerda. El alumno es capaz de recitar un trozo de la sucesión numérica por evocación sin separar el niño una palabra de otra.
Nivel cadena irrompible. El niño sólo es capaz de recitar la sucesión numérica si empieza por el uno, pero ahora ya diferencia las distintas palabras numéricas. Se pueden asumir tareas de recuento.
Nivel cadena rompible. Aquí el alumno es capaz de “romper” la cadena comenzando a recitar a partir de un número distinto del uno.
Nivel cadena numerable. El niño es capaz, comenzando desde cualquier número, de contar un número determinado de palabras, deteniéndose en la que corresponda. Realización de las operaciones básicas del cálculo.
Nivel cadena bidireccional. Es el máximo dominio al que se puede llegar. Supone las destrezas del nivel anterior aplicadas al recitado de la sucesión numérica hacia delante o hacia atrás.

En el caso de la suma:

Recuento de todos. El niño representa las dos colecciones de objetos de las que habla la situación mediante algún tipo de material, las junta y lo vuelve a contar todo de nuevo.
Recuento de todos haciendo énfasis en el primer sumando. El niño recita los números hasta llegar al primer sumando y continúa contando la colección de objetos que representa al segundo sumando.
Recuento de todos haciendo énfasis en el sumando mayor. Lo mismo que en el caso anterior, pero eligiendo como primer sumando el sumando mayor.
Recuento a partir del sumando mayor. El niño construye una colección de objetos que representa el sumando menor y la cuenta partiendo del sumando mayor.

En el caso de la resta:

Recuento de lo que queda. Se utiliza en situaciones de cambio en las que al conjunto inicial se le quitan elementos. Consiste en representar mediante objetos el conjunto inicial, quitar los elementos que indica la transformación y volver a contar lo que queda.
Recuento hacia atrás. Se utiliza en las mismas situaciones que el caso anterior y consiste en contar hacia atrás desde el minuendo tantas veces como indica el sustraendo. Esta técnica se utiliza poco por la dificultad que supone para los niños contar hacia atrás.
Recuento de la diferencia. En las situaciones de comparación en las que la incógnita es el término de comparación, se construyen los dos conjuntos, se emparejan y se cuentan los objetos que quedan sin pareja.
Recuento desde el sustraendo hasta el minuendo. Se usa en las mismas situaciones que el caso anterior y consiste en contar desde el sustraendo hasta el minuendo llevando la cuenta con una colección de objetos de las palabras que se dicen.

Errores en matemáticas

De colocación de los números. Justifican los números a derecha en vez de hacerlo a izquierda o no hacen coincidir las columnas de las cifras del primer número con las columnas del segundo.
De orden de obtención de los hechos numéricos básicos. Empiezan a sumar o restar por la columna de la izquierda y avanzan hacia la derecha. Este error viene favorecido por la tradición de enseñar primero el algoritmo sin llevadas, dejando la introducción de las llevadas para una segunda fase.
De obtención de los hechos numéricos básicos. Se equivocan en los resultados de la tabla de sumar o restar.
De resta de la cifra menor de la mayor. Restan la cifra menor de la mayor sin fijarse si corresponde al minuendo o al sustraendo.
De colocación de un cero. Cuando la cifra del minuendo es menor que la cifra del sustraendo pone como resultado el número cero.
De lugar vacío. Ante un lugar vacío, no completan la operación u olvidan la llevada.
De olvido de la llevada. No incorporan la llevada a la columna siguiente.
De escritura del resultado completo. Cuando al operar una columna obtienen un número de dos cifras lo escriben completo en el resultado.

Errores de fracciones

Un entero se confunde con su inverso: 1/7 se confunde con 7/1, o bien, 1/7 y 7/1 se consideran como dos escrituras equivalentes.
Una fracción como 1/2 se considera menor que la fracción 13, argumentando que 2 < 3.
El conocimiento de los naturales puede ser un obstáculo para el dominio de los números racionales; por ejemplo, algunos niños pueden afirmar que 1/3 < 1/5 explicando que 3 < 5.
La mitad de la fracción 1/6 se designa frecuentemente por la fracción 1/3 (que es en realidad el doble de 1/6), argumentando que la mitad de 6 es 3.
Para multiplicar entre sí dos fracciones, se les reduce a un común denominador, después se multiplican los numeradores olvidando de multiplicar entre sí los denominadores.
Se trata de una confusión entre las reglas de la adición de fracciones y las de la multiplicación.
Fracción propia → El numerador es menor que el denominador. 2/3
Fracción impropia → El numerador es mayor al denominador. 4/3