El Error y el Aprendizaje en Matemáticas: Una Perspectiva Epistemológica y Didáctica

El Error según el Empirismo

En el ideal empirista, profesorado y alumnado no deben equivocarse: el error está relacionado con el fracaso, le impide llegar al éxito en su tarea. Por ello, los errores pueden crear malos hábitos en el alumnado, pueden ocupar el lugar de la respuesta correcta. Las causas del error las suelen plantear el profesorado en términos de lagunas, faltas, nociones parcialmente asimiladas. Conviene, pues, que el alumnado tenga las menores ocasiones de encontrase con el error. “Se intenta hacer una especie de barrera al error. Aceptar los errores para canalizarlos y posteriormente evacuarlos pondría en duda de forma profunda el sistema de enseñanza”. Bajo esta hipótesis, la enseñanza ideal consistirá en un “curso” donde el profesorado no cometa ningún error, seguido de preguntas o tareas donde el alumnado tenga la ocasión de responder correctamente, constatando, de este modo, que ha comprendido perfectamente. Sin embargo, si aceptamos que para “hacer matemáticas”, el alumnado debe resolver problemas, debemos considerar normal que conviva con la incertidumbre: el desconcierto, la duda y los tanteos están en el corazón mismo del aprendizaje de las matemáticas. Los alumnos y las alumnas deben superar muchas dificultades, pero sobre todo muchos errores. El profesorado tiene que entenderlos como algo necesario porque, sólo detectándolos y siendo consciente de su origen, pondrá medios para superarlos.

2ª Hipótesis

La adquisición, organización e integración de los conocimientos del alumno/a pasa por estados transitorios de equilibrio y desequilibrio, en el curso de los cuales los conocimientos anteriores se ponen en duda. Si este desequilibrio es superado, esto implica que hay una reorganización de los conocimientos: los nuevos conocimientos se van integrando con los anteriores, apoyados en los procesos de asimilación y acomodación. Se trata de aplicar el modelo facilitado por la teoría de la equilibración de Piaget. El aprendizaje, pues, no se reduce a una simple memorización, a una yuxtaposición de “saber-hacer” o a un condicionamiento, aprendemos raramente de una sola vez; aprender supone volver a empezar, extrañarse, repetir, pero repetir comprendiendo lo que se hace y por qué se hace.

3ª Hipótesis

Se conoce en contra de los conocimientos anteriores. Se trata de una idea fundamental de la epistemología de Bachelard sobre el conocimiento científico, tomada por Brousseau para explicar la formación de obstáculos en el aprendizaje de las matemáticas: la utilización y la destrucción de los conocimientos precedentes forman parte del acto de aprender. Los aprendizajes previos del alumnado se deben tener en cuenta para construir nuevos conocimientos, ya que éstos no se producen a partir de la nada, su elaboración está sometida a adaptaciones, rupturas y a reestructuraciones, a veces radicales, de los conocimientos anteriores. Aprendemos a partir de, y también en contra, de lo que ya sabemos. Los nuevos conocimientos no pueden hacerse más que modificando los precedentes y no por simple acumulación de los últimos sobre los ya existentes. En la escuela infantil, dado que los niños y las niñas están comenzando su escolaridad, no han podido construir más que un dominio muy limitado de conocimientos matemáticos.

4ª Hipótesis

Los conflictos cognitivos entre miembros de un mismo grupo social pueden facilitar la adquisición de conocimientos. Idea básica de la psicología social apoyada en la obra de Vygotsky, quien consideraba preciso tener en cuenta lo que un individuo puede hacer con la ayuda de otros, ya que el aprendizaje se produce en un medio social en el que abundan las interacciones, tanto horizontales (niño – niño) como verticales (niño – adulto). La eficacidad de los conflictos socio-cognitivos, se justifica, según Blaye, puesto que: a. Permiten al alumnado tomar conciencia de otras respuestas diferentes a la suya, lo que le obliga a descentrar su respuesta inicial. b. La necesidad de llevar a cabo regulaciones sociales, para llegar a un consenso, implica que el alumnado sea más activo cognitivamente. c. La respuesta diferente de otros y otras es portadora de información y llama la atención del sujeto sobre aspectos de la tarea que no había considerado.

Los Obstáculos

Los obstáculos de origen epistemológico están estrechamente ligados al saber matemático. La construcción del conocimiento matemático se enfrenta con ellos y se apoya en ellos. El proceso de aprendizaje que llevan a cabo los alumnos pasa por situaciones en las que, inevitablemente, se han de encontrar con ellos. Los obstáculos de origen ontogenético están ligados al desarrollo neurofisiológico de los sujetos. Los errores que cometen los alumnos de la escuela infantil, en torno a la conservación de las colecciones de objetos, son de este tipo. Los obstáculos de origen didáctico son debidos a las decisiones que toma el profesorado o el propio sistema educativo en relación con algunos conocimientos matemáticos. Por ejemplo, la presentación ostensiva que llevan a cabo los profesores de las figuras geométricas, desde la escuela infantil, a la que anteriormente nos hemos referido, constituye un verdadero obstáculo didáctico para los procesos de prueba y demostración en geometría que se han de llevar a cabo en cursos superiores. Los alumnos y las alumnas mantienen durante mucho tiempo una profunda confusión entre el simple dibujo que “muestra”, que basta con mirar, y la construcción geométrica fundada en propiedades, proposiciones y teoremas geométricos

Situaciones de Aprendizaje

Situación adidáctica de acción propone al alumno un problema en unas condiciones tales que la mejor solución se obtiene mediante el conocimiento a enseñar y, de tal forma, que el alumno puede actuar sobre la situación y hacer elecciones durante esta acción, al tiempo que la situación informa al alumno sobre las consecuencias de su acción. Si el alumno no cuenta con una estrategia inicial asegurada, se verá inmerso en una dialéctica de ensayo-error en busca de la solución, que le ofrecerá mucha y variada información. De esta forma, puede llegar un momento en que construya una nueva estrategia que contenga nociones, relaciones y propiedades subyacentes que serán utilizadas y de las cuales el alumno no es consciente, a pesar de que su acción se descubra como exitosa. El objetivo de estas situaciones es facilitar y favorecer un cierto tipo de interacciones entre el sujeto y el medio, siendo en todo momento una situación que permita el feedback para que el alumno pueda juzgar el resultado de su acción, permitiendo el ajuste de esta a los resultados obtenidos, de forma que el docente no tenga que intervenir en el desarrollo y transcurso de dicha situación.

Formulacion. En esta fase se diseñan situaciones en las que las estrategias que ha puesto en funcionamiento el alumno en la situación de acción tengan necesariamente que hacerse explícitas, que formularse (oralmente o por escrito). Así, en las situaciones de formulación el alumno debe intercambiar sus informaciones con otras personas, comunicando al interlocutor (o interlocutores) los resultados obtenidos durante la situación de acción. A su vez el receptor hace lo mismo, y le comunica sus observaciones. Esta comunicación entre emisor y receptor puede hacerse efectiva a través de mensajes orales o escritos, empleando, según las posibilidades del emisor, un lenguaje matemático. Permite al alumno comunicar su modelo implícito (la estrategia empleada en la resolución del problema). Como resultado de esta dialéctica el alumno creará un modelo explícito, que puede formularse con ayuda de signos y reglas (conocidas o nuevas)

Validación. En matemáticas decir que algo es verdadero implica tener medios para poder probarlo. Desde los niveles escolares más iniciales y elementales, el hacer matemáticas debe permitir el desarrollo de la personalidad racional del alumno y enseñarle comportamientos sociales relativos a la toma de decisiones y al establecimiento de la verdad. n la dialéctica de la validación, el alumno debe demostrar por qué la estrategia que ha creado para resolver el problema es válida, es verdadera. Debe “convencer” a otro, debe probar la exactitud y la pertinencia de su modelo. Pero para que el alumno construya una demostración, y esta tenga sentido para él, es necesario que la construya en una situación, llamada de validación, en la que debe convencer a otra persona.

Institucionalización. Las situaciones de institucionalización tienen como misión dotar de un cierto estatuto oficial al nuevo conocimiento que ha sido construido y validado. El profesor/a es el responsable de informar a los alumnos de que el conocimiento que acaban de construir en las fases anteriores forma parte de un conocimiento social y del patrimonio de la institución matemática. De este modo, el conocimiento es etiquetado (recibe un nombre “oficial”) y pasa a ser algo que los alumnos deben saber y pueden nombrar y aplicar en lo sucesivo.

Centración: acción y efecto que muestra la capacidad del alumno para centrarse en una sola característica de un objeto. Decantación: acción y efecto que muestra la capacidad del alumno para seleccionar, entre una colección de objetos, aquellos que posean una determinada característica.
Situación fundamental para la centración Dado un objeto caracterizado por un conjunto de atributos o características, una persona debe ser capaz de: identificar y conceptualizar, describir de forma oral y escrita, uno o varios de estos atributos, separándolos del resto Situación fundamental para la decantación Dada una colección C de objetos diferentes dos a dos, pero que comparten una o varias características o atributos de entre un conjunto de posibles características, una persona A1 debe seleccionar un objeto de C y describir (de forma oral o escrita) con total precisión una o varias de las características, de este, para que otra persona A2, que desconoce la selección que ha realizado A1, sea capaz de averiguar de qué objeto se trata con total precisión. Los objetos seleccionados por A1 y A2 estarán visibles simultáneamente y cercanos solo en el momento de la validación. Situación fundamental para la clasificación con criterio preestablecido Dada una colección finita C de objetos y una relación de equivalencia sobre la misma (criterio o criterios para llevar a cabo la clasificación), el niño/a debe construir las clases de equivalencia, seleccionando y discriminando los objetos según estos coincidan o no. Para que el niño/a llegue a conceptualizar la clase de equivalencia, una vez que separa un objeto de la colección y lo asigna en una clase, este no debe quedar visible. Durante la validación sí podrá́tener acceso visual a cada clase, para así ́poder determinar si todos los objetos corresponden o no a la misma (coinciden respecto del criterio asignado). Situación fundamental para la clasificación sin criterio preestablecido Dada una colección finita C de objetos el niño/a debe determinar uno o varios criterios que den lugar a una relación de equivalencia, y ponerlo(s) en funcionamiento para construir las clases de equivalencia, seleccionando y discriminando los objetos según estos coincidan o no. Para que el niño/a llegue a conceptualizar la clase de equivalencia, una vez que separa un objeto de la colección y lo asigna en una clase, este no debe quedar visible.

 Durante la validación sí podrá́ tener acceso visual a cada clase, para así ́ poder determinar si todos los objetos corresponden o no a la misma (coinciden respecto del criterio asignado). 

Situación fundamental para la seriación espacial  de una colección Sea una serie de referencia S1, es decir, una colección de objetos entre los que se ha establecido una relación de orden lineal respecto de la cual existe un patrón. Una persona debe elaborar otra serie S2 ordenada linealmente usando el patrón* de la serie de referencia S1. Las series S1 y S2 estarán visibles y disponibles en el momento de la verificación de la validez de la solución empleada, pero no en el momento de la construcción de la estrategia de resolución. Situación fundamental para la enumeración de una colección Dada una colección C1 de objetos, una persona tiene que asignar a cada elemento de C1 un único elemento de otra colección C2 (colección con más elementos que C1). Esta asociación será visible solo en el momento de la validación, pero no mientras la persona recorre toda la colección C1 asignando a cada objeto un único elemento de C2. Para resolver con éxito la situación la persona tendrá que buscar mecanismos de control de sus acciones para asegurarse que pasa por todos los objetos de C1, no olvidando ninguno, pero tampoco repitiendo ninguno. Situación fundamental que permite movilizar el número natural – cardinal Una persona debe ir a buscar, en una sola vez, una colección C2 equipotente a una colección de referencia C1. Las colecciones C1 y C2 están visibles y disponibles simultáneamente en el momento de la validación, pero no en el momento de la construcción. Es decir, mientras la persona construye C2 no puede visualizar C1.Situación fundamental que permite movilizar el número natural – ordinal. Dada una colección de objetos, entre los que se ha establecido una relación de orden, designada como serie de referencia S1, elegimos un objeto de la misma. Una persona debe determinar con toda precisión la posición de un objeto que ocupe la misma posición en otra serie S2 isomorfa a la serie de referencia S1. Las series S1 y S2 están visibles y disponibles en el momento de la verificación de la validez de la solución empleada, pero no en el momento de la construcción de la estrategia de resolución. El sujeto, para determinar el lugar preciso que ocupa un objeto en una serie, debe utilizar como estrategia óptima el número natural en su aspecto ordinal.

Una aproximación global y principalmente oral a las palabras número El primer contacto con los números lo tienen los niños, normalmente, de forma oral en el contexto familiar y social, bien de forma aislada o por medio de la secuencia numérica. Fruto de esta percepción, los niños aprenden los números (escritura cifrada) y las palabras número, bien de forma aislada, bien en una serie ordenada. Dentro de esta fase, es posible distinguir varias sub-fases: a) El nombre de los números (palabras-número) ● Palabras aisladas: la vida familiar y social facilita contextos que permiten el uso del nombre de los números. También la vida en la clase es un contexto rico en el que las palabras-número van apareciendo: “tráeme tres tizas”, “cuatro niños se quedarán en el colegio esta tarde” … Precisamente es a través de este uso de las palabras número en múltiples contextos, así como en la resolución de problemas, cómo los números van a ir tomando cada vez más sentido para los niños. ● Palabras ordenadas (serie numérica): la significación y memorización de las palabras número se refuerza con su colocación en una serie ordenada. Sin embargo, en sus comienzos, no debemos confundir la organización en serie ordenada de las palabras-número con un trabajo de comparación de cantidades (por ejemplo, los alumnos pueden decir que “trece va después de diez” sin que esto implique para él que una colección con trece objetos es más grande que otra con diez). Así mismo, si bien es cierto que la colocación de las palabras-número en la serie numérica facilita su memorización, esto no implica necesariamente otro tipo de adquisiciones sobre el “número” (es decir, aún el número no surge como herramienta para cuantificar, ordenar y anticipar). b) Las escrituras cifradas (numerales, numeración) ● Escritura de ciertos números aislados: de forma análoga a las palabasnúmero, los niños memorizan escrituras cifradas de ciertos números que aparecen en su entorno o que usan frecuentemente La experiencia demuestra que estas memorizaciones son bastantes limitadas ya que no pueden apoyarse en ningún tipo de organización ni regularidad.  ● La serie escrita: la banda numérica puede ser entendida como un diccionario entre las palabras-número y sus escrituras cifradas. Su presencia ante la clase, o bien una por niño, permite ir asociando palabras-número con escrituras cifradas (por ejemplo, un niño que no sabe leer “12”, pero es capaz de recitar la serie numérica hasta doce o más, puede, gracias a la serie numérica, asociar al código “12” la palabra “doce”).

 La banda numérica se irá ampliando poco a poco, a medida que los conocimientos de los alumnos vayan evolucionando. En este momento no se usa aún que la escritura cifrada revela una estructura en “grupos de 10” y “unidades sueltas” (en esta etapa, el alumno que ante el código “13” dice “trece” ignora que el código se refiere a una decena y a tres unidades). La banda numérica constituye un elemento fundamental en la construcción de los conocimientos numéricos en los niños. Su disposición lineal y su uso reiterado va a proporcionar a los niños una imagen mental (una banda numérica mental) que apoye las propiedades de orden, distancias entre números, “periodos”, equidistancias, infinitud, etc. El soporte en “tabla” de la serie numérica (dimensión 10×10) también permite visualizar y memorizar muchas propiedades del sistema de numeración decimal que no más evidentes en la posición “vertical” de las “familias” (familiar del veinte, del cincuenta, etc.) que nos remite a la fase siguiente. ● Escrituras cifradas independientes: como en el caso de las palabrasnúmero, ciertos alumnos son capaces de “leer” la escritura de un número en la banda numérica y, sin embargo, no lo son cuando encuentran la escritura cifrada aislada. Como para las palabras-número, un trabajo específico debe llevarse a cabo para que los niños memoricen las escrituras codificadas de los números que frecuentemente usan sin recurso sistemático a la banda numérica. Como en el caso del conteo con los dedos de la mano, la banda numérica debe siempre concebirse como un medio para el aprendizaje del número y de la numeración y no como un fin en sí misma.

Las funciones esenciales del número en este nivel educativo son: ● medir una colección: asignar un número natural a una colección, que expresa la medida de esta. ● producir una colección: operación inversa a la anterior. El número nos permite producir una colección cuyo cardinal conocemos (es decir, dado un número, construir una colección cuyo cardinal sea dicho número). Conviene distinguir la reproducción de una colección de su producción. La primera se hace en referencia a una colección que sería, de algún modo, el modelo a copiar. La segunda se hace conociendo la medida de una colección: “dame 5 manzanas”. ● ordenar una colección: asignar y localizar la posición de los elementos de una colección. La designación de los objetos de una colección por medio de los ordinales (primero, segundo, tercero, etc.) nos permite controlar el orden de la misma y determinar con precisión el lugar ocupado por cualquier objeto