Diseño y Construcción de Mecanismos de Levas
Definiciones
Mecanismo
Es el conjunto de elementos mecánicos, uno de ellos fijo, en contacto con otros elementos mediante uniones imperfectas.
Cadena cinemática
Es el conjunto de elementos unidos entre sí mediante pares cinemáticos, pudiendo haber tanto cadenas abiertas como cerradas.
Movilidad
Número de parámetros independientes que es necesario definir para que quede fijada la posición de la cadena cinemática.
GDL
Grados de libertad que es necesario fijar para que pueda definir el mecanismo.
Inversiones
Son las opciones de obtener diferentes mecanismos de una cadena cinemática.
Par cinemático
Es la unión entre distintos elementos de un mecanismo, restringiendo algunos GDL.
Ruleta
Es el lugar geométrico de los puntos del plano móvil que han sido centro instantáneo de rotación (CIR) en algún instante.
Levas
4. Construcción gráfica del perfil de leva
Los métodos gráficos de construcción del perfil de leva tienen interés para velocidades bajas de la leva. Vamos a suponer conocida la función z=f(ø), de desplazamiento. Se divide el diagrama de desplazamiento en un número finito de partes (por ejemplo, 12), correspondientes a una vuelta completa de la leva. En el punto 1, el seguidor debe elevarse una altura 1′, en el punto 2 una altura 2′, etc.
Se traza la circunferencia base, se divide en n partes iguales. Se lleva a continuación la altura 1′ a 0′ y se traza un arco de circunferencia hasta cortar la primera división de la circunferencia base. Se repite el proceso para todos los puntos y finalmente se unen los puntos mediante una curva suave. Este es el perfil de leva.
5. Obtención analítica del seguidor
Para obtener las ecuaciones de la leva se estudiará el movimiento invertido del seguidor con respecto a la leva, de forma que la leva se considerará fija y el seguidor tendrá un movimiento de rotación/traslación. En los tramos de reposo, el perfil de leva es trivial y se obtiene mediante un arco de circunferencia.
1. Perfil de leva con seguidor puntual
Llamamos {L} al sistema de referencia de la leva y {s} al sistema de referencia del seguidor. Vemos en la figura que, en el sistema de referencia del seguidor (xs, ys), las coordenadas del punto geométrico P del perfil de leva son en todos los instantes: S’P = {Sxp/Syp} = {-e/z(ø)}
…, y puedo escribir (en el sistema de referencia fijo de la leva): … Dando valores a ø obtengo las coordenadas x, y del perfil de leva.
2. Perfil de leva con seguidor de forma general
En el caso de un seguidor no puntual, los puntos de la superficie de la leva se obtienen como envolvente de un haz de curvas o de rectas.
- En el caso de un seguidor de rodillo, la superficie de la leva es la envolvente interior de un haz de circunferencias.
- En el caso de un seguidor plano, la superficie de la leva es la envolvente de un haz de rectas.
Llamando f(x, y, ø) a la ecuación de cada rodillo o recta, la envolvente a todas ellas es el perfil de leva y se obtiene de las ecuaciones: f(x, y, ø) = 0 y df/dø = 0.
En la siguiente figura, vemos que las excavaciones en el sistema de coordenadas de la leva del punto P son: xp = -ecosø + z(ø)senø, yp = esenø + z(ø)cosø. Se puede escribir la siguiente ecuación:
F(xy, ø) = (x – xp)^2 + (y – yp)^2 – r^2 = 0, junto con dF/dø = 0, nos permite obtener las ecuaciones paramétricas de la leva. En el caso del seguidor de rodillo, existe más de una envolvente de las circunferencias, siendo 2 identificables. Para el seguidor de rodillo y plano, existen más soluciones directas.
3. Perfil de leva con seguidor de rodillo
En un seguidor de rodillo, la curva primitiva es paralela al perfil de leva, aunque se encuentra separada de ella a una distancia R igual al radio del rodillo. A cada punto P de la curva primitiva le corresponde otro punto del perfil de la leva situado a una distancia R en la dirección opuesta al vector normal n. El ángulo beta que forma el vector tangente u con la horizontal se puede calcular tomando derivadas de las coordenadas xp e yp: tg beta = dyp/dxp. Deducimos el valor de beta, que será función de θ. Podemos escribir el vector normal a la trayectoria como n = {-senβ, cosβ}. El vector posición del punto de la superficie de leva correspondiente a un punto P será: r(ø) = rp(ø) – nr, o sea, x(ø) = xp(ø) + rsenβ(ø), y(ø) = yp(ø) – rcosβ(ø). El radio de curvatura de la leva en cada punto puede calcularse como: 1/ρ = [x’y» – y’x»]/(x’^2 + y’^2)^(3/2).