Didáctica de las Matemáticas: Enfoques y Estrategias para la Enseñanza-Aprendizaje

Didáctica de las Matemáticas

Estudia procesos de transmisión y adquisición de esta ciencia, en situación escolar y universitaria; se propone describir y explicar fenómenos relativos a relaciones entre su enseñanza y aprendizaje y mejorar métodos y contenidos de enseñanza asegurando construcción de un saber viviente y funcional. Proporciona útiles profesionales a enseñantes, respetando libertad pedagógica, permite identificar hechos, analizar fenómenos de enseñanza, analizar producciones, interpretar errores y dirige sus esfuerzos en construcción de situaciones de aprendizaje.

Nociones

Interacción alumno-saber: Noción de concepción

Dos creencias al enseñar nuevo tema: no saben nada de él o conocimientos anteriores que sirven de base. No recuerdan lo deseable y los nuevos no son del todo desconocidos. Tienen ideas que constituyen sistema explicativo de conceptos, imágenes mentales, técnicas, procedimientos (falsos o no muy correctos movilizados cuando se enfrentan a tarea). Creencias, teorías, significados y explicaciones de objetos matemáticos = concepciones. Noción esencial para comprender y analizar producciones, errores y dificultades.

Interacción alumno-enseñante: Noción de contrato didáctico

“Un barco con 15 cabras y 21 corderos, ¿Edad capitán?” Muchos contestaron 36, no propio de concepciones que tienen sobre adición, sino de escuela. Se preguntan ¿Quién lo propuso? ¿Qué espera de mí? Para responder tiene en cuenta reglas en relaciones con maestro sobre resolución de problemas. Pueden pensar que lo pone aunque son raros y tienen solución y la solución es una operación. Estas y otras reglas forman contrato didáctico que determina explícitamente en una parte e implícitamente lo que debe hacer enseñante y alumno y que será responsable delante del otro. El sistema de obligaciones recíprocas aparece en contrato.

El polo del saber: Nociones de transposición didáctica y campo conceptual

Conjunto de transformaciones que sufre un saber con el fin de ser enseñado.

Los saberes matemáticos los construyen matemáticos y forman saber sabio. El sistema elige entre estos saberes, los que cree de interés constituyendo objetos a enseñar. Los diseñadores de currículum los organizan formando el saber a enseñar, accesible. Expertos lo recomponen y estructuran formando objetos de enseñanza. Redactores lo convierten en saber escolar. Profesor con sus concepciones sobre enseñanza-aprendizaje y desarrollo de su actividad lo convierte en saber enseñado. Todo enseñante sabe que el saber enseñado no es el que aprenden por lo que se transforma en saber del alumno. El análisis del saber a enseñar y procesos de conceptualización de alumnos demuestran que los conceptos matemáticos no funcionan aislados. Para ayudar a comprenderlos se pueden considerar conjuntos de situaciones cuyo tratamiento implica esquemas, conceptos y teoremas y representaciones lingüísticas y simbólicas para representarlos (campo conceptual).

El polo del alumno: Enfoque socio-constructivista del aprendizaje

Se apoya en psicología genética de Piaget, epistemología de Bachelard y psicología social de Doise, Mugny y Perret Clermont. Una parte importante de la didáctica es construir situaciones adaptadas a este modelo de aprendizaje y experimentarlas para analizar efectos de su funcionamiento (ingeniería didáctica).

Enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas

Se pueden considerar 3 categorías teniendo en cuenta factores que favorecen aprendizajes:

Externos: (corriente conductista o behaviorista y corriente de la sociología de la educación que estiman que la sociedad o familia son determinantes en aprendizajes),
Internos: (cognitivistas que ponen acento sobre papel de estructuras mentales en aprendizajes y los que dicen que existe predisposición universal que todo individuo lleva dentro y le permiten aprendizajes como la lectura y
Externos e internos: (defensores de epistemología genética que mantienen hipótesis en las que aprende con la interacción con medio, los que hacen hipótesis de que es favorecido por presencia de otras personas como mediadores o por conflictos de conocimiento. Estas llevan implícito un modelo de enseñanza.

Concepciones sobre aprendizaje

Transmisiva

Concepción tradicional que se refiere a cuando se tiene que enseñar algo a alguien. Se apoya sobre hipótesis de que el que aprende, al principio del aprendizaje de una nueva noción, no sabe nada y el saber entra en su cabeza cuando se le comunica. Papel alumno: atento, escuchar, tomar nota. Papel enseñante: presentar claramente saber. Comunica primero el saber y propone ejercicios de entrenamiento. Se apoya en siguiente modelo de comunicación. Fuente: enseñante. Mensaje: conocimiento que desea enseñar. Destinatario: alumno. Errores: evitados y si hay la culpa es de alumno que no por no atento o enseñante no explicó bien… Limitaciones ligadas a límites de comunicación humana. La experiencia muestra que aunque alumnos estén muy atentos, lo que dice enseñante, no siempre es entendido igual por todos. Las dificultades ocurren porque no tienen la cabeza vacía sino que sabe muchas cosas con anterioridad que constituye su experiencia y los nuevos conocimientos se interpretan a través del filtro de esta. Ventajas: Se gana tiempo, un profesor puede enseñar a bastantes alumnos, éxito si están motivados y atentos y la experiencia almacenada está próxima a la de enseñante.

Variantes: Enseñante hace preguntas para sostener atención y asegurar buena comprensión (feed-back) y preguntas hábiles intentando que encuentre elementos de conocimiento nuevo.

Behaviorista

Corriente psicológica gracias a trabajos de psicólogos (Thorndike, Watson). La aportación más conocida de Thorndike a la Psicología es su ley del efecto que descubrió con experimentos con animales. En cualquier situación un animal disponía de respuestas posibles y la acción que llevaba a cabo dependía de la fuerza de la conexión entre situación y acción dada. Los resultados de experimentos los llevó al aprendizaje humano. Sostenía que bastan dos elementos para analizar conducta: estímulo (sucesos exteriores) y respuestas (lo hecho como reacción a estímulos). Por tanto el aprendizaje consiste en establecer y reforzar asociaciones necesarias

Enseñantes: definir con precisión nuevo conocimiento para lo que definirá objetivos de forma precisa y que contengan comportamiento observable,

proponer situaciones en las que se apropien del conocimiento de objetivos definidos, descubriendo conocimientos poco a poco (reforzado por recompensa que es aprobación de maestro) y
proponer actividades de entrenamiento y refuerzo sistemático para automatizar nuevo comportamiento.

En el modelo se encuentra la pedagogía por objetivos, enseñanza asistida por logiciales informáticos, fichas de descubrimiento. Error: evitar y si hay es porque la marcha de alumno ha sido muy rápida. La necesidad de que descubra nuevo conocimiento sin errores obliga a llevar una fuerte vigilancia después de actividades.

Límites: Suelen tener dificultades de dar sentido a conocimientos pero no comprenden lo que hacen aunque hagan bien las actividades y el desarrollo de la secuencia de enseñanza le impide volver atrás con lo que les falta visión global, alumnos no tienen facilidad de transferir conocimientos adquiridos por el desarrollo de la secuencia que les impide encontrarse con obstáculos y existe el problema de integración de microobjetivos (si hay éxito en todos puede tener problema de integrar conocimientos para integrar objetivo general.

Ventajas: Enseñanza centrada en alumno y favorece acción, racionaliza construcción de secuencias de enseñanza y evaluación, favorece individualización y al desarrollar tareas de descubrimiento los alumnos suelen tener éxito (motivación).

Socioconstructivista

Elaborado a partir de trabajos de psicología genética, psicología social, epistemólogos, didactas de la Matemática… Metáfora para ilustrar hipótesis: un bricolador enfrentado a un nuevo problema. Primera reacción: abrir caja de herramientas y buscar útil mejor adaptado. Si no es adecuado, prueba con otro y después de varios será consciente de que no hay uno adecuada y construirá uno nuevo o intentará apropiarse del que le aconseje amigo o experto.

Hipótesis 1ª. La adquisición de conocimiento pasa por una interacción entre sujeto y objeto de estudio en la resolución del problema. Sentado en el sillón no se apropiará del nuevo útil.

Hipótesis 2ª. Contrariamente a lo que se podría pensar espontáneamente la cabeza de los alumnos no está vacía de conocimientos (como la caja de herramientas no está vacía de herramientas). El alumno construye rápido concepciones de todas las nociones que se le enseñan. Se llama concepción a conocimientos que en un momento dado, en una situación dada, parece movilizar para resolver una tarea. Parece movilizar porque las concepciones que atribuimos a alumnos son una modelización que nos ayuda a comprender su actuación y permite predecir respuestas o dificultades. Las concepciones son constructos no observables, podemos comprobar su existencia y contenido a través de indicadores empíricos en producciones. Pensar que ampliar una figura geométrica consiste en añadir un mismo número a dimensiones de esa figura nos revela concepción de ampliación. Trazar siempre una vertical cuando pedimos a que trace la perpendicular a una recta indica concepción de rectas paralelas. Compara dos números decimales comparando primero parte entera y en caso de igualdad comparar parte decimal indica concepción sobre orden de decimales.

Hipótesis 3º. El aprendizaje no se hace apilando conocimientos ni de forma lineal: cuando en relación con una noción dada no tome conciencia de la insuficiencia de sus concepciones, las mantendrá. (Si le das una herramienta nueva y no es consciente de que es la adecuada, volverá a la antigua mientras no tome conciencia de su insuficiencia). Bachelard: “Se conoce en contra de un conocimiento anterior, destruyendo conocimientos mal adquiridos o superando aquello que, en el espíritu mismo, obstaculiza a la espiritualización”. Aprender perder ideas anteriores y adquirir nuevas. La fase de desequilibrio corresponde al momento donde el alumno percibe la insuficiencia de conocimientos para resolver tarea. Esta fase va acompañada de un tiempo de “regresión” en la que llega a poner en duda saberes y habilidades que se pensaban adquiridas. Según Piaget el aprendizaje es resultado de juego de desequilibración/reequilibración cognitiva a la que contribuyen: asimilación (permite integrar datos del medio a conocimientos anteriores) y acomodación (obliga a transformar conocimientos bajo presión del medio).

Hipótesis 4ª. Alumno sólo llegará a dar sentido a un conocimiento si aparece como útil indispensable para resolver un problema. En esta concepción el conocimiento debe aparecer como un útil permanente de resolver problemas antes de ser un objeto de conocimiento estudiado en sí mismo.

Hipótesis 5ª. Las interacciones sociales entre alumnos pueden ayudar a aprendizajes. El trabajo en grupo, debates…. Aprender es pasar de concepción antigua a una nueva después de una fase de sustitución de la antigua que es punto de apoyo y obstáculo para el nuevo conocimiento. Alumno construye su saber facilitado por provocación de un conflicto sociocognitivo. La estrategia consiste en crear un conflicto cognitivo interno colocándolo frente a un problema. Se provoca por una contradicción entre una anticipación donde se propone el modo de hacer el problema y el fracaso, al comprobar que ese lleva a una solución incorrecta. La comprobación de que esta primera solución no es correcta se puede obtener del mismo problema o de otros alumnos. En el primer caso se dice que la contradicción la aporta el medio, en el segundo se produce conflicto sociocognitivo. Las situaciones que permiten estos conflictos cognitivos son las situaciones problemas.

Características de situación problema

Una situación problema es una situación de enseñanza que tiene por objetivo permitir a alumnos adquirir un conocimiento nuevo y que se apoya sobre una concepción socio-constructivista del aprendizaje. Posee un cierto número de características ligadas al problema y a la gestión de la clase. Se pueden distinguir dos tipos de situaciones-problema: Aquellas cuya adquisición de conocimiento pasa por la confrontación con un obstáculo epistemológico, con una concepción errónea, como en el problema del puzzle y aquellas cuya adquisición de conocimiento pasa por la toma de conciencia de que un procedimiento que se ha verificado como correcto en situaciones se revela poco económico o como fuente de errores de cálculo.

Características gestión de la clase

La gestión de la clase en estas situaciones es muy importante. Un mismo problema utilizarse de maneras diferentes: trabajo en grupo, individual, profesor ayuda a alumnos o rehúsa responder a preguntas. Según gestión de la clase los efectos de la clase serán distintos. La elección de la gestión puede ser considerada como variables didácticas. Es necesario no perder de vista que el objetivo de la situación-problema es permitir al alumno adquirir nuevo conocimiento; es necesario que haga suyo el problema y no intentar resolverlo adivinando lo que le gustará al maestro. El problema debe llegar a ser un problema del alumno que toma la responsabilidad de resolverlo. El profesor debe elegir una organización que permita a alumnos ser responsables de la solución y autónomos en la investigación (situación a-didáctica: tiene por objetivo favorecer evolución de conocimientos del alumno que debe resolver un problema sin preocuparse de responder de acuerdo con lo que el alumno cree que desea el maestro).

Una enseñanza de este tipo pasa por fases:

De acción: (frecuentemente en grupos en donde se apropian del problema utilizando conocimientos antiguos. El reto es resolver con éxito la tarea para el enseñante permitirles apropiarse de un procedimiento),
De formulación: (alumnos explicitan por escrito u oral procedimientos utilizados y soluciones encontradas.),
De comunicación: (comunica a otros alumnos por escrito u oral una tarea que deben realizar correctamente),
De validación: (deben convencerse y convencerles de que la solución es válida),
De institucionalización: (las anteriores no son suficientes para que haya adquisición de conocimientos para todos. Imprescindible que el maestro identifique nuevos saberes y procedimientos y precise convenciones del lenguaje. Homogeneizar conocimientos y precisar entre saberes construidos los que se van a retener y bajo qué forma) y
De entrenamiento y refuerzo: (con ejercicios, seguido de una evaluación. Trata de ayudar a familiarizarse con nuevos conocimientos, hacerles funcionar en situaciones diferentes para que tomen conciencia de su campo de aplicación).

Según la naturaleza de la noción enseñada se insistirá más en una de estas si se persigue adquisición de un concepto o procedimiento (ampliación de una figura) el objeto de la situación es que la resuelvan con éxito, se privilegiará acción y se hablará de situación de acción, si se persigue adquisición de vocabulario el objeto de la situación propuesta será tener éxito en comunicación y se hablará de situación de formulación y si se persigue enseñar una regla para comprobar o una regla de debate matemático, el objeto de la situación será que se convenzan unos a otros de la validez de un procedimiento/resultado (se hablará de situación de validación).

Limitaciones situación-problema: Desarrollada en la disciplina cuyo criterio de validez es “la verdad” y no se sabe cómo se podría usar en otras disciplinas, por ahora se aplica solo a algunos conceptos y en consecuencia es evidente que sea pertinente para todos los conceptos, gestionar situaciones en una clase no es simple sobre todo si hay muchos alumnos (este tipo de prácticas lleva tiempo porque la diversidad de alumnos demanda más tiempo en fase de construcción de conocimientos) y no tiene en cuenta el papel de afectos que interviene en fases de desequilibrio.

Ventajas: da verdadero estatus al error: es significativa del estado de conocimiento, tiene coherencia y lógica. Los errores como obstáculos son puntos de apoyo en la medida en que cuando se superan son fuente de adquisición de conocimientos. Las investigaciones han puesto en evidencia el papel de problemas y errores en desarrollo del conocimiento; solamente este tiene en cuenta concepciones de alumnos así como el sentido del conocimiento en el problema propuesto.

Cómo saber si es situación-problema

¿La situación tiene como objetivo adquirir un conocimiento nuevo? Una situación puede ser una situación-problema en un momento y en otro no. Necesario precisar nivel de alumnos y sus conocimientos al proponer esta situación.
¿Hay obstáculos al adquirir este conocimiento? El análisis de errores clásicos de alumnos relacionados con esa noción puede aportar elementos significativos de respuesta.
Si hay obstáculos, ¿aparece a ojos de alumnos como el útil más apropiado para resolver problema? Supone que tienen otros útiles para resolver problema pero deben revelarse, para ellos, no adecuados, menos económicos, menos seguros.
¿Los alumnos pueden fácilmente apropiarse de la situación? ¿Pueden proponer solución?, ¿pueden fácilmente comprometerse en resolución del problema, imaginar procedimiento de resolución?
¿Los conocimientos de alumnos son insuficientes para resolver inmediatamente problema? En particular, ¿van a utilizar conocimientos antiguos?
¿Cómo van a tomar conciencia de que estos conocimientos son insuficientes? ¿Tienen medios de validar sus producciones? Aquí hay dos posibilidades: la validación la puede dar la situación o en la confrontación con otros alumnos. En este último hay peligro de que el influjo social pueda más que lo cognitivo. En cualquier caso la validación no deberá necesitar intervención de maestro. Hay que notar que en casos puede ser necesario en la medida en que no tengan medios de decidir.
La gestión de la clase, ¿permite tomar a su cargo la responsabilidad de resolver el problema, tomar conciencia de la insuficiencia de sus concepciones? Es necesario que el profesor no intervenga sobre el contenido del debate durante la fase de investigación y del debate.
El conocimiento pretendido, ¿es para los alumnos el conocimiento más adaptado para resolver el problema correctamente? Para responder a las 4, 5, 6 y 8, es necesario llevar a cabo un análisis a priori de la situación de la situación, es decir intentar imaginar lo que van a hacer, las dificultades que se encontrarán, posibles errores… Se trata de identificar procedimientos correctos. Este análisis a priori permite poner de relieve variables didácticas, elementos de la situación cuya modificación influye en procedimientos que usarán, no se puede usar el mismo para contar dedos de manos de una persona que de 30, si es un niño se puede resolver por conteo, si son 30 resulta tedioso, es un procedimiento costoso y poco fiable y hay que usar otro.
¿Cuál es el medio mediante el cual pueden construir nuevo conocimiento? ¿Tienen los medios para cambiar de cuadro? El uso de varios facilita la resolución y validación de problemas.