Desarrollo del Razonamiento Geométrico: El Modelo Van Hiele y sus Fases de Aprendizaje

El Modelo Van Hiele y los Niveles de Razonamiento Geométrico

El modelo propuesto por Van Hiele establece cinco niveles de perfeccionamiento en el razonamiento geométrico de los alumnos. Según este modelo, los estudiantes solo podrán comprender aquellas cuestiones que se presenten adecuadamente a su nivel de razonamiento actual. Una enseñanza adecuada puede ayudarles a progresar hacia niveles superiores. Aunque aplicable a diversas áreas de las matemáticas, el método de Van Hiele ha demostrado especial eficacia en la enseñanza de la Geometría.

Los Cinco Niveles del Modelo Van Hiele

Nivel 1: Visualización (Reconocimiento)

En este nivel inicial, los alumnos reconocen las figuras geométricas distinguiéndolas por su forma global, por su aspecto físico como un todo. No detectan relaciones entre las formas ni entre sus partes, y no analizan propiedades. Perciben las formas geométricas básicas sin ser capaces de identificar aisladamente sus componentes o propiedades. Por ejemplo, un niño de seis años puede reproducir un cuadrado, un rombo, un rectángulo o un paralelogramo (dibujándolo o materializándolo con gomas en un geoplano) e incluso recordar sus nombres, pero es incapaz de ver que un cuadrado es un tipo especial de rombo, o que el rombo es un paralelogramo particular.

Nivel 2: Análisis

Los estudiantes comienzan a conocer los componentes de las figuras y sus propiedades básicas. Establecen relaciones intuitivas entre las figuras, permitiendo clasificaciones sencillas (por número de lados, ángulos, etc.). Sin embargo, aún no pueden establecer relaciones de inclusión de clases entre las figuras observadas. Las propiedades se establecen experimentalmente; pueden detectar que los rectángulos tienen diagonales iguales, pero no percibirán el rectángulo como un tipo de paralelogramo.

Nivel 3: Abstracción (Ordenación o Clasificación)

En este nivel, los alumnos definen las figuras por sus propiedades. Pueden entender que un cuadrado es un rectángulo, pero todavía no pueden efectuar una cadena de razonamientos lógicos que describan las relaciones entre las figuras y sus partes. Su razonamiento formal se apoya en la manipulación y no alcanzan el razonamiento deductivo pleno. Ordenan lógicamente las propiedades, construyen definiciones abstractas y pueden seguir y dar argumentos informales, pero no comprenden el significado intrínseco de la deducción ni cómo construir una demostración partiendo de premisas diferentes.

Nivel 4: Deducción Formal

Los alumnos pueden deducir una propiedad a partir de otra mediante secuencias lógicas de proposiciones. Comprenden el sentido de los axiomas, las definiciones y los teoremas. Pueden realizar razonamientos abstractos dentro de un sistema matemático, utilizando términos indefinidos, axiomas, definiciones y teoremas. Son capaces de construir demostraciones mediante la deducción formal, no solo memorizarlas.

Nivel 5: Rigor

Este es el nivel del razonamiento rigurosamente deductivo. El alumno razona sin necesidad de la intuición concreta, puede comparar y componer diferentes razonamientos deductivos y analizar el grado de rigor en varios sistemas. Puede comparar sistemas basados en axiomáticas diferentes y estudiar distintas geometrías incluso en ausencia de modelos concretos. Debido a su alto nivel de abstracción, este nivel no es alcanzado por todos los estudiantes y se considera más propio de niveles educativos superiores.

El Concepto de Modelo Matemático

Un modelo matemático describe matemáticamente una situación del mundo real; es una representación simplificada de un fenómeno real.

Fases en la Creación de un Modelo Matemático

1. Observación y Necesidad: Cuando un hecho se repite consistentemente, produciendo resultados semejantes, surge la necesidad de construir un modelo matemático para entender las causas de esa regularidad y poder predecirla, evitarla o provocarla.
2. Planteamiento y Validación: Tras la observación repetida, se plantea el modelo. Este requiere validación, lo que se logra efectuando nuevas experiencias y comparando los resultados teóricos predichos por el modelo con los resultados reales observados.
3. Estudio Teórico y Reajuste: Una vez creado y validado inicialmente, se realiza un estudio teórico del modelo. Este estudio puede llevar a modificaciones o reajustes del modelo original para mejorar su precisión y aplicabilidad, obteniendo así mejores resultados.
4. Aplicación: Ajustado el modelo definitivo, se aplica tanto por parte de los investigadores como de los usuarios de las matemáticas para resolver problemas o hacer predicciones.

Fases de Aprendizaje según Van Hiele

El paso de un nivel de razonamiento al siguiente en el modelo Van Hiele se facilita a través de cinco fases de aprendizaje:

Fase 1: Información

Es una fase de toma de contacto. Se presentan situaciones de aprendizaje, se proporcionan las observaciones necesarias para el trabajo y se introduce el vocabulario correspondiente. El profesor establece un diálogo con los alumnos para detectar sus conocimientos previos sobre el objeto de estudio o bien observa cómo realizan una tarea inicial. Esta fase sirve para dirigir la atención de los estudiantes, clarificar el tipo de trabajo a realizar y permitir al profesor diagnosticar el nivel de razonamiento de los alumnos.

Fase 2: Orientación Dirigida

Los alumnos exploran el campo de estudio mediante secuencias graduadas de actividades propuestas por el profesor. Deben descubrir, comprender y aprender los conceptos, propiedades y figuras clave del bloque estudiado. La ejecución y reflexión sobre estas actividades activan los mecanismos necesarios para avanzar al siguiente nivel de conocimiento. Las actividades deben elegirse cuidadosamente para sentar las bases del pensamiento del nivel superior.

Fase 3: Explicitación

El objetivo principal es que los alumnos intercambien sus experiencias, expongan sus resultados y los comenten con sus compañeros, encontrando relaciones entre ellos. En un contexto de diálogo grupal, los alumnos construyen una red de relaciones y toman conciencia de lo aprendido en la fase anterior. El profesor reduce sus indicaciones al mínimo, y el lenguaje utilizado se va refinando, ayudando a los estudiantes a consolidar el nuevo vocabulario.

Fase 4: Orientación Libre

Una vez adquirido un conocimiento, los alumnos lo aplican de forma significativa a situaciones nuevas, distintas pero con una estructura comparable a las ya trabajadas. El objetivo es consolidar los conocimientos adquiridos y aplicarlos a problemas inéditos. Se realizan actividades que implican utilizar y combinar los nuevos conceptos, propiedades y formas de razonamiento.

Fase 5: Integración

Los objetos y las relaciones aprendidas se unifican e interiorizan en un nuevo sistema de conocimientos coherente. Es una fase de acumulación, comparación y combinación de lo ya conocido. No se presenta material nuevo; en su lugar, se revisa, resume y unifica lo aprendido para consolidar el nuevo sistema de conocimientos. Se revisan los métodos usados, destacando los procesos seguidos por cada alumno, asegurándose de no introducir conceptos o propiedades no estudiados previamente.

Características Clave de los Niveles de Van Hiele

Las principales características de estos niveles son:

• Jerarquía y Secuencialidad: Los niveles son secuenciales. No es posible alcanzar un nivel de razonamiento sin haber superado el nivel inferior previo.
• Lenguaje Específico: Existe una estrecha relación entre el lenguaje y los niveles; cada nivel de razonamiento se corresponde con un tipo específico de lenguaje y comprensión de los términos.
• Progresión Gradual: El paso de un nivel al siguiente se produce de forma continua y gradual, a través de la instrucción y la experiencia (mediante las fases de aprendizaje), no de forma automática con la edad.