Desarrollo del Pensamiento Geométrico en Educación Infantil y Primaria

La Geometría en Educación Infantil y Primaria

¿Qué es la geometría?

Ciencia que tiene por objeto actualizar, organizar y sistematizar los conocimientos espaciales sobre posición y forma, y cambios de posición y forma.

Tipos de conocimiento geométrico:

  • Experimental: se adquiere de forma directa.
  • Reflexivo: procesos lógicos, cierta verbalización.

¿Por qué hay que aprender geometría?

Indispensable en la vida cotidiana. Presente en el sistema productivo de la sociedad actual. La forma geométrica representa un aspecto en el estudio de los elementos de la naturaleza.

¿Por qué hay que enseñar geometría?

El programa de calidad de Educación Infantil y Educación Primaria incluye el sentido espacial y geométrico como principales componentes. La geometría:

  • Relaciona el mundo de los niños con su interés.
  • Incrementa la visualización y orientación espaciales.
  • Es un instrumento para desarrollar habilidades matemáticas.

¿Qué necesita saber un maestro de matemáticas?

  • Conocimiento del contenido: Conocimiento común, conocimiento especializado, conocimiento en el horizonte matemático.
  • Conocimiento didáctico del contenido: Conocimiento curricular, conocimiento del contenido y los estudiantes, conocimiento del contenido y de la enseñanza.

Desarrollo Cognitivo y Aprendizaje de la Geometría

Estadios del Desarrollo Cognitivo (Piaget)

  1. Sensoriomotor: 0-18 meses, adquiere control motor, conocimiento de objetos físicos del entorno.
  2. Preoperacional: 18 meses – 6-7 años, representación mental, desarrolla función simbólica, ignora el rigor de operaciones lógicas.
  3. Operaciones concretas: 6-7 hasta 11 años, adquiere pensamiento lógico referido a objetos concretos y momento presente, dificultad con objetos abstractos.
  4. Operaciones formales: alrededor de 11 años, opera lógica y sistemáticamente con símbolos abstractos y pensamiento deductivo.

Piaget y el Desarrollo de los Conceptos Geométricos

1. Relaciones topológicas:

Tienen en cuenta el espacio propio de un objeto o figura. Son propiedades generales, globales del tamaño o forma. Distingue entre figuras abiertas o cerradas, dentro-fuera… Relaciones topológicas (cercanía, separación, ordenación, cerramiento, continuidad).

2. Relaciones proyectivas:

Entre los 4 y los 7 años es capaz de predecir cómo se ve un objeto desde diferentes perspectivas. Distinguen las propiedades de las formas (recto, curvo), distinguen posiciones relativas de orientación (arriba, abajo, izquierda), distinguen círculo de cuadrado pero es posible que no distingan cuadrado de paralelogramo no cuadrado.

3. Relaciones euclidianas:

A partir de los 7-8 años, propiedades métricas que se transforman por transformaciones rígidas (traslaciones, giros, simetrías), propiedades de tamaño, medida, posición en sistema de coordenadas (paralelismo, semejanza), distinguen trapecio de rectángulo basándose en ángulos y lados.

Tipos de Conocimiento

  • La percepción: Conocimiento práctico de los objetos que se obtiene como resultado de la interacción directa con ellos. Sensoriomotor 0-18 meses.
  • La representación: Capacidad del niño para razonar sobre las propiedades espaciales de un objeto cuando ya no está presente. Periodo representacional (2-14 años), y propiedades proyectivas y euclidianas.

Inconvenientes:

  • Algunos conceptos topológicos se desarrollan muy al principio, mientras que otros solo tras haber comprendido ciertas ideas euclidianas y proyectivas.
  • Los resultados de los experimentos de Piaget cambian considerablemente si se modifica la naturaleza de los objetos a manipular.

Modelo de Van Hiele

Relacionado más con la experiencia y la instrucción que con la edad.

Nivel 1: Visualización

Las formas se distinguen por su apariencia global, pero no son capaces de ver las relaciones entre las formas o sus diferencias, simplemente las nombran por ser diferentes.

Actividades: De clasificación, identificación y descripción de formas variadas, modelos físicos manipulables por los niños.

Nivel 2: Análisis

Comienza el desarrollo de conciencia sobre las partes de la figura. Buscan algunas propiedades pero es poco probable que relacionen diferentes formas.

Actividades: centradas en las propiedades de las figuras y no en su simple identificación. Modelos físicos manipulables para las actividades.

Nivel 3: Deducción Informal

Empiezan a organizar los descubrimientos del nivel 2, resultando en relaciones entre figuras, pueden comenzar a hacer generalizaciones.

Actividades: Continuar usando las propiedades pero con la atención puesta en la definición de propiedades. Comenzar a utilizar lenguaje deductivo pero informal (todos, algunos, si entonces). Comenzar a hacer preguntas sobre lo investigado. Usar modelos y dibujos para generalizar y buscar contraejemplos. Estimular la formulación y demostración de hipótesis.

Nivel 4: Deducción formal

Realizan deducciones y demostraciones lógicas y formales, viendo su necesidad para justificar las proposiciones planteadas.

Nivel 5: Rigor

Existencia de diferentes sistemas axiomáticos. Trabajar de manera abstracta sin necesidad de ejemplos concretos alcanzando el más alto nivel de rigor matemático. Niveles teóricos superiores a Primaria.

Vinner

Adquirir un concepto significa adquirir un mecanismo para ser capaz de identificar o construir todos los ejemplos del concepto tal y como lo concibe la comunidad matemática.

Actividades (ejemplo: Polígono):

  1. Características importantes y las que no lo son. Atributos relevantes e irrelevantes.
  2. Contraejemplos: Características que no cumplen los polígonos. Justificar negando atributos relevantes.
  3. Ejemplos + Contraejemplos. Justificar. ¿Cuáles son polígonos y cuáles no? ¿Por qué?
  4. Definición: Subconjunto suficiente de atributos críticos del concepto.

Atributos relevantes: Propiedades que definen el concepto, permiten dar la definición.

Atributos irrelevantes: Propiedades no necesarias para el concepto. Se usa generalmente para clasificaciones.

Dificultades:

  • Sus imágenes son incompletas: no incluyen atributos relevantes e incluyen irrelevantes.
  • No reconoce atributos irrelevantes.
  • No son capaces de dar una definición.

Objetivos:

  • Invertir el proceso tradicional en el que el profesor impone una definición.
  • Comenzar una adecuada selección de ejemplos y contraejemplos.
  • Terminar con el alumno sugiriendo su propia definición.

Distractores: Imagen mental débil del concepto. Orientación: Propiedades visuales que se incluyen en el esquema conceptual y que no tienen nada que ver con la definición (imagen tumbada o de pie). Estructuración: Presentación débil del concepto en que ciertos elementos y propiedades se excluyen (propiedades intrínsecas: anchura, altura).

Materiales:

Utilización de material concreto: permite colocar figuras en distintas posiciones, afianzar las propiedades de conceptos, manipular y construir propios modelos, aprender mediante búsqueda inductiva. Geoplano: segmentos, ángulos y polígonos, relación área-perímetro, semejanza, etc. Varilla: propiedades de triángulos, cuadriláteros y polígonos.

Operaciones Fundamentales en Procesos de Medición (Piaget)

  • Conservación: La medida de la magnitud de un objeto no cambia aunque sufra determinadas transformaciones o se hagan determinados cambios de situación en las mismas.
  • Transitividad: Si un objeto A mide lo mismo que B y este lo mismo que C, entonces A mide lo mismo que C. Base de cualquier proceso de comparación de medidas en el que dicha comparación no se haga por superposición de objetos sino usando una unidad de medida. Relacionado con instrumentos de medida que permitan establecer relaciones de igualdad y desigualdad.

Etapas en el Desarrollo del Aprendizaje según Piaget (de la conservación y transitividad)

  • Etapa inicial: No entienden la conservación, no miden, solo realizan estimaciones basándose en la percepción visual de los objetos. No hacen intento de usar instrumentos de medida.
  • Etapa intermedia: Al inicio utilizan instrumentos de medida pero normalmente de manera incorrecta, comparan objetos de manera directa aproximando un objeto a otro. Al final de la etapa utilizan unidades de medida pequeñas para comparar, surge la transitividad. Poco a poco abandonan estas unidades para utilizar otras más independientes.
  • Etapa final: Utilizan razonamientos transitivos, aprenden a usar unidades de medida menores que los objetos para medir por recubrimiento, si es grande la subdividen. La etapa se completa cuando aprenden a realizar cálculos de medidas de magnitudes basándose en dimensiones lineales.

Conceptos Básicos

  • Magnitud: Atributo físico que puede ser medido.
  • Medir: Es la acción, determinar cuántas veces contiene una cantidad dada a otra cantidad que se toma como referente.
  • Medida: Número de veces que la cantidad de una magnitud contiene a la unidad o cantidad de patrón.

Componentes del Aprendizaje de la Magnitud

  1. Percepción o identificación de la magnitud: Distinguir la cualidad que se va a medir del resto de las cualidades del objeto, considerarlas como atributos o propiedades de objetos susceptibles a ser medidas. Recubrir, rellenar, subdividir, repartir…
  2. Comparación
    • Directa: en base a la percepción visual directa y superposición.
    • Indirecta: se utiliza algún elemento intermedio (unidad de medida, composición, descomposición, fórmulas…).
  3. Medición
    • Directa: con unidad de medida.
    • Indirecta: fórmulas, operaciones aritméticas.
  4. Estimación: Valoración del resultado de una medición directamente o combinada en cálculos.

Errores y dificultades:

  • Dificultades asociadas al concepto de la magnitud y medida.
  • Dificultades en el proceso de medición.
  • En la medición directa: interpretación incorrecta de lo percibido por los sentidos, utilización de instrumentos inadecuados, uso incorrecto de la unidad de medida, elección de unidad de medida inadecuada.
  • Errores en la medición indirecta: Dificultad en el lenguaje algebraico, resolución de problemas con datos erróneos o no reales, confusión área-perímetro, área-volumen.

Consejo para la corrección de errores: uso de material didáctico, representación dinámica de figuras, menos énfasis en el trabajo directo con fórmulas.