Conceptos Fundamentales de la Valoración Financiera: Capital Financiero, Operaciones y Rentas

1. Conceptos Fundamentales de la Valoración Financiera

1.1. Capital Financiero

Ley de subestimación de las necesidades futuras. Cualquier sujeto económico racional prefiere, a igualdad de cantidad y calidad, los bienes disponibles en el momento presente a los que se pueden disponer en un momento futuro.

Esta ley expresa la pérdida que experimenta el valor de un bien a medida que se aleja en el tiempo la posibilidad de ser utilizado o consumido, y según González Catalá, equivale a considerar el tiempo como un bien económico negativo. Esta hipótesis supone que no se demorará la utilización de un bien económico, a no ser que reciba por ello una compensación, que se puede medir casi siempre en términos monetarios.

Tenemos dos definiciones de capital financiero:

Gil Peláez: la medida de un bien económico referida al momento de su disponibilidad o vencimiento.
Andrés de Pablo: la medida de cualquier activo real o financiero, expresado por su cuantía y por su vencimiento o momento de disponibilidad.

El capital financiero se reconoce a partir de dos parámetros:

La cuantía (C)
La disponibilidad o vencimiento (t)

Se representa mediante:

Un punto en el primer cuadrante de un sistema de coordenadas cartesianas donde representamos C en abscisas y t en ordenadas.
En un eje temporal, escribiendo la cuantía del capital en el momento del tiempo correspondiente.

1.2. Equivalencia Financiera u Orden Financiero

La ley de subestimación de las necesidades futuras nos permite reconocer si dos capitales son financieramente equivalentes.

Caso	Relación entre los parámetros	Equivalencia financiera
1	C₁ > C₂ y t₁ = t₂	Se prefiere C₁ puesto que su cuantía es mayor.
2	C₁ = C₂ y t₁ < t₂	Se prefiere C₁ puesto que su vencimiento es menor.
3	C₁ > C₂ y t₁ < t₂	Se prefiere C₁ puesto que su capital es mayor y su vencimiento es menor.
4	C₁ > C₂ y t₁ > t₂	No es posible asegurar a priori cuál de los dos capitales es preferible. Debemos trasladar sus cuantías a un mismo momento del tiempo (p) → obtenemos los capitales C₁^p y C₂^p. Entonces deducimos: Dos o más capitales son financieramente equivalentes si sus proyecciones en p coinciden (C₁^p = C₂^p). Un capital financiero se prefiere a otro (orden financiero) si su proyección en p es mayor.

1.3. Leyes Financieras

Concepto

La ley financiera nos dice cómo hacemos esa proyección. Es la expresión matemática del criterio de sustitución que permite, dado un capital de cuantía C con vencimiento t, obtener su cuantía equivalente (C^p) en el momento p.

C^p = f(C, t, p)

Para que una expresión matemática pueda ser utilizada como ley financiera deben cumplirse las siguientes condiciones:

Ha de ser una función continua y derivable.
Ha de ser creciente con C y decreciente con t.
Ha de cumplir la propiedad reflexiva de la equivalencia de capitales.

Clasificación

Por el momento del tiempo en que se sitúa p.
1. A la derecha del vencimiento del capital → leyes de capitalización → C^p > C.
2. A la izquierda del vencimiento → leyes de descuento → C^p < C.
Por su naturaleza matemática.
1. Sumativas: C^p = C + I(C, t, p)
2. Multiplicativas: C^p = C · F(C, t, p)
Por su comportamiento respecto al tiempo.
1. Estacionarias: C^p = f(C, t-p)
2. No estacionarias: C^p = f(C, t, p)

Tanto las sumativas como las multiplicativas son estacionarias.

Montante y Valor Descontado

El montante (M) está relacionado con las leyes de capitalización y consiste en calcular el equivalente de un capital cuando se desplaza n períodos hacia la derecha en el tiempo.

M = C^t+n

El Valor descontado (V) se relaciona con las leyes de descuento y se obtiene cuando se desplaza n períodos hacia la izquierda en el tiempo.

V = C^t-n

Interés y Descuento

El interés (I) es el aumento de valor que experimenta un capital al retrasar su disponibilidad al capitalizarlo durante n períodos de tiempo, o lo que es lo mismo, la diferencia entre el montante y la cuantía del capital.

I = M – C

El descuento (D) es la disminución que sufre un capital al adelantar su disponibilidad en el tiempo, o la pérdida de valor que experimenta al ser descontado durante n períodos.

D = C – V

1.4. Suma Financiera de Capitales

Dados n capitales C_j con vencimientos t_j (j = 1, 2, …, n) y una ley financiera genérica C^p = f(C, t, p), el capital suma S con vencimiento t_s es igual a:

f(S, t_s, p) = f(C₁, t₁, p) + f(C₂, t₂, p) + … + f(C_n, t_n, p)

Es decir, la suma de las proyecciones de los capitales sumandos ha de ser igual a la proyección del capital suma.

Podemos calcular S una vez fijado un p arbitrario, o bien obtener el vencimiento (t_s) para un capital suma dado.

El vencimiento común es la fecha t_s que se obtiene para una cuantía dada del capital suma.

El vencimiento medio es un caso particular donde se exige que la cuantía del capital suma sea igual a la suma aritmética de las cuantías de los capitales sumandos. A partir de esa restricción se obtiene el vencimiento t_s.

2. Operaciones Financieras

2.1. Concepto

Se puede definir como cualquier intercambio no simultáneo de capitales financieros, en el que se verifica la equivalencia financiera entre los compromisos de las partes intervinientes.

Se caracteriza por:

Capitales financieros se pueden agrupar en: prestación (todos los capitales de la parte que entrega el primer capital) y contraprestación (todos los capitales que recibe el primer capital).
El intercambio se realiza a lo largo de un periodo de tiempo, que es el que media entre el origen y el final.
Las partes o personas (físicas o jurídicas) que intervienen en la operación.
Los capitales que forman la prestación y los que forman la contraprestación han de ser financieramente equivalentes de acuerdo con la ley financiera pactada.

2.2. Clasificación de las Operaciones Financieras

Criterio	Clases	Características
Ley financiera utilizada	Capitalización	Se utiliza en su valoración una ley financiera de capitalización.
	Descuento	Se utiliza en su valoración una ley financiera de descuento.
	Mixtas	En su valoración se utilizan las leyes de capitalización y de descuento.
Duración	Corto plazo	La duración es inferior al año.
	Largo plazo	La duración es superior al año.
Número de capitales	Simples	La prestación y la contraprestación están formadas por un solo capital.
	Compuestas	La prestación y/o la contraprestación están formadas por más de un capital.
Situación crediticia	Crédito unilateral	La prestación mantiene una posición acreedora durante toda la operación.
	Crédito recíproco	La prestación tiene una posición deudora en algún momento de la operación.
Partes intervinientes	Bancarias	Una de las partes es una entidad financiera.
	No bancarias	Las dos partes son personas físicas o jurídicas.

2.3. Equivalencia Financiera

La suma financiera de la prestación tiene que ser igual a la suma financiera de la contraprestación. Se tiene que dar la equivalencia de capitales de la prestación y la contraprestación.

A^p = B^p

Donde A^p es la suma financiera de la prestación y B^p es la suma financiera de la contraprestación.

2.4. Saldo Financiero

Es el capital que mide la diferencia entre los capitales aportados por cada una de las partes intervinientes. Restablece el equilibrio financiero entre la prestación y la contraprestación en cualquier momento intermedio de la duración de la operación.

Elegimos un momento en el tiempo s.

Descomponemos las sumas financieras de prestación y contraprestación en dos sumas en relación a s:

A^s = A₁^s + A₂^s

B^s = B₁^s + B₂^s

Método retrospectivo. Calculamos el saldo de la operación teniendo en cuenta los saldos de la prestación y contraprestación anteriores a s (ya entregados).

S^s = A₁^s – B₁^s

Método prospectivo. Calculamos el saldo de la operación teniendo en cuenta los saldos de la prestación y contraprestación anteriores a s (los que faltan por entregar).

S^s = B₂^s – A₂^s

Posibles valores	Interpretación del resultado
S^s > 0	El saldo es a favor de la prestación.
S^s = 0	El saldo es nulo.
S^s < 0	El saldo es a favor de la contraprestación.

Método recurrente. Consiste en calcular el saldo financiero en un momento s a partir del saldo obtenido en un momento anterior (s-1) y considerando, además, los capitales de la prestación y de la contraprestación con vencimiento entre s-1 y s.

S^s = S^s-1 + A^s-1,s – B^s-1,s

Tendremos:

S^s > 0: el saldo es a favor de la prestación.
S^s < 0: el saldo es a favor de la contraprestación.

En el caso que haya algún capital que tenga su vencimiento en la misma fecha que se está obteniendo el saldo, hay que optar por considerarlo como parte de la operación pasada o de la operación futura.

2.5. Tantos Efectivos y TAE

Puede que se produzcan una serie de desembolsos adicionales a la entrega de capitales que forman la prestación y la contraprestación, pueden ser:

Unilaterales. Los entrega una de las partes y lo recibe un tercero (notaría, registro, tasación, impuestos, etc.).
Bilaterales. Los entrega una de las partes y lo recibe otra parte (comisiones bancarias).

El tanto efectivo es el tipo de interés que se obtiene a partir de la ecuación de equivalencia financiera que relaciona la prestación y la contraprestación real, ya que los desembolsos adicionales modifican la prestación y contraprestación inicialmente pactadas.

No hay que confundir con el TAE descrito por el Banco de España, ya que este solo incluye los gastos que afectan a las entidades financieras que intervienen en la operación.

3. Leyes Financieras de Capitalización

3.1. Capitalización Simple

Concepto, expresión matemática y representación gráfica

Se define como aquella ley financiera de capitalización que no permite que los intereses generados en un subintervalo intermedio se agreguen al capital para generar nuevos intereses en el siguiente subintervalo.

C^p = C(1 + i·t) con C > 0 e i > 0

Dado que es una ley financiera estacionaria,

C^t+n = C(1 + i·n) con C > 0 e i > 0

Hay que tener en cuenta dos aspectos fundamentales:

Solo se tiene en cuenta el tiempo n.
El parámetro i y n tienen que estar en la misma medida.

Su representación gráfica es una función lineal creciente con ordenada en el origen igual a C.

Montante e intereses

Montante

M = C(1 + i·n)

Interés. Incremento que experimenta un capital al capitalizarlo durante n períodos de tiempo, la diferencia entre el montante y la cuantía del capital.

I = C·i·n

Tantos equivalentes

Hay que guardar siempre la concordancia entre la unidad de medida del tiempo y del tipo de interés por lo que utilizaremos i si el tiempo viene expresado en años e i_k si viene expresado en fracciones del año, siendo k el número de periodos en que se divide:

i_k = i/k

Suma financiera: vencimiento común y vencimiento medio

Vencimiento común. El t_s que verifica la siguiente igualdad:

C₁(1 + i·t_s) + C₂(1 + i·t_s) + … + C_n(1 + i·t_s) = S(1 + i·t_s)

Vencimiento medio: Una media ponderada de los vencimientos de los capitales sumandos, en la que las ponderaciones son las cuantías respectivas.

t_s = (C₁·t₁ + C₂·t₂ + … + C_n·t_n) / (C₁ + C₂ + … + C_n)

3.2. Capitalización Compuesta

Concepto, expresión matemática y representación gráfica

Se define como aquella ley financiera que permite que los intereses generados en un sub-intervalo se agreguen al capital inicial para generar nuevos intereses en el siguiente sub-intervalo.

C^p = C(1 + i)^t con C > 0 e i > 0

Al ser una ley estacionaria podemos escribir:

C^t+n = C(1 + i)ⁿ con C > 0 e i > 0

Hay que tener en cuenta dos aspectos fundamentales:

Solo se tiene en cuenta el tiempo n.
El parámetro i y n tienen que estar en la misma medida.

La representación gráfica, al ser una función exponencial con la base mayor que la unidad genera una curva creciente y con ordenada en el origen igual a 1.

Montante e intereses

Montante

M = C(1 + i)ⁿ

Interés

I = C[(1 + i)ⁿ – 1]

Tantos equivalentes

Interés anual (i)
Interés fraccionado (i_k)
Proyección aritmética anual del tipo de interés fraccionado (d_k)

Dado el valor de i_k Se obtiene i A partir de la expresión

i = i_k·k

i_k = (1 + i)^1/k – 1

d_k = k[(1 + i_k)^1/k – 1]

i_k = i/(1 + i)

i = i_k/(1 – i_k)

d_k = k·i_k

d_k = i/(1 + i/k)

i_k = d_k/k

i_k = i/(i + k)

Suma financiera: vencimiento común y vencimiento medio

Vencimiento común. El t_s que verifica la siguiente igualdad:

C₁(1 + i)^t_s + C₂(1 + i)^t_s + … + C_n(1 + i)^t_s = S(1 + i)^t_s

Vencimiento medio:

ln[C₁(1 + i)^t₁ + C₂(1 + i)^t₂ + … + C_n(1 + i)^t_n] = ln[S(1 + i)^t_s]

t_s = ln[(C₁(1 + i)^t₁ + C₂(1 + i)^t₂ + … + C_n(1 + i)^t_n) / S] / ln(1 + i)

3.3. Capitalización Simple Versus Capitalización Compuesta

Para un mismo valor del parámetro i la capitalización simple ofrece mejores resultados que la compuesta cuando n < 1. Coinciden cuando n = 1 y cuando n > 1 es la capitalización compuesta la que ofrece mejores resultados que la simple.

La diferencia máxima entre ambas leyes en el intervalo temporal [0, n] se produce en un momento (t_m) cuando:

C(1 + i·t_m) – C(1 + i)^t_m = Máximo

t_m = ln[(1 + i)/i] / ln(1 + i)

3.4. Convenio Lineal y Convenio Exponencial

En el supuesto de que el intervalo temporal que se contempla a la hora de obtener el montante de un capital sea un período entero de años (t) más una fracción de año (k/m), las partes intervinientes pueden optar por dos procedimientos:

Convenio lineal: capitalización compuesta para el año y simple para la fracción de año.

C^p = C(1 + i)^t(1 + i·k/m)

Convenio exponencial: capitalización compuesta a todo.

C^p = C(1 + i)^t+k/m

4. Leyes Financieras de Descuento

4.1. Descuento Comercial

Expresión matemática y representación gráfica

C^p = C(1 – d·t) con C > 0 y d > 0

Como es una ley financiera estacionaria,

C^t-n = C(1 – d·n) con C > 0 y d > 0

Hay que tener en cuenta dos aspectos fundamentales:

Solo se tiene en cuenta el tiempo n.
El parámetro d y n tienen que estar en la misma medida.

La representación gráfica es una función lineal decreciente con dos puntos de corte: C y 1/d.

Desde un punto de vista financiero la aplicación de esta ley solo tiene sentido cuando el periodo n está comprendido entre 0 y 1/d.

Valor descontado y descuento

Valor descontado

V = C(1 – d·n)

Descuento. Es la disminución que experimenta un capital C al descontarlo durante n períodos de tiempo, o lo que es lo mismo, la diferencia entre la cuantía de ese capital y el valor descontado.

D = C·d·n

Tantos equivalentes

Descuento anual (d)
Descuento fraccionado (d_k)

d_k = d/k

Comparación entre los tipos de interés en capitalización simple y en el descuento comercial

No son equivalentes. Para que lo sean, se tiene que verificar,

C(1 – d·n) = C(1 + i·n) → 1 – d·n = 1 + i·n

i = -d/(1 + i·n)

d = -i/(1 – d·n)

Suma financiera: vencimiento común y vencimiento medio

Vencimiento común. El t_s que verifica la siguiente igualdad:

C₁(1 – d·t_s) + C₂(1 – d·t_s) + … + C_n(1 – d·t_s) = S(1 – d·t_s)

Vencimiento medio: Una media ponderada de los vencimientos de los capitales sumandos, en la que las ponderaciones son las cuantías respectivas.

t_s = (C₁·t₁ + C₂·t₂ + … + C_n·t_n) / (C₁ + C₂ + … + C_n)

Es la misma igualdad que en la ley de capitalización simple.

4.2. Descuento Racional o Matemático

Expresión matemática y representación gráfica

C^p = C/(1 + i·t) con t > 0 e i > 0

Como es un ley estacionaria,

C^t-n = C/(1 + i·n) con C > 0 e i > 0

El parámetro i que aparece en la expresión del descuento racional coincide con el de capitalización simple.

Por ello califican al descuento racional como justo, mientras que al comercial lo califican como abusivo.

Se utiliza para valorar operaciones a corto plazo.

Es necesario mantener la concordancia entre la unidad de medida del tanto de descuento y el tiempo de descuento.

La representación gráfica es una curva decreciente puesto que al aumentar el intervalo de descuento (n), el resultado de la aplicación de la ley de descuento va disminuyendo.

Valor descontado y descuento

V = C/(1 + i·n)

D = C – C/(1 + i·n) = C·i·n/(1 + i·n)

Tantos equivalentes

Mismo criterio que para capitalización simple,

i_k = i/k

Suma financiera: vencimiento común y vencimiento medio

Vencimiento común. El t_s que verifica la siguiente igualdad:

[C₁/(1 + i·t_s)] + [C₂/(1 + i·t_s)] + … + [C_n/(1 + i·t_s)] = S/(1 + i·t_s)

Vencimiento medio: Una media ponderada de los vencimientos de los capitales sumandos, en la que las ponderaciones son las cuantías respectivas.

[(C₁·t₁)/(1 + i·t₁)] + [(C₂·t₂)/(1 + i·t₂)] + … + [(C_n·t_n)/(1 + i·t_n)] = (S·t_s)/(1 + i·t_s)

4.3. Descuento Compuesto

Expresión matemática y representación gráfica

El descuento compuesto es la inversa de la capitalización compuesta

C^p = C(1 – d)^t con C > 0 e i > 0

Como es una ley estacionaria:

C^t-n = C(1 – d)ⁿ con C > 0 e i > 0

C^t-n = C(v)ⁿ con C > 0 y v < 1

La relación entre d y v:

C(1 – d)ⁿ = C(v)ⁿ → (1 – d)ⁿ = (v)ⁿ → 1 – d = v

i = d/(1 – d)

d = i/(1 + i)

La representación gráfica es una curva decreciente, al ser su expresión matemática una función exponencial de base menor que la unidad y exponente positivo

Valor descontado y descuento

V = C(1 – d)ⁿ = C(v)ⁿ

D = C(1 – d)ⁿ – C = C[(v)ⁿ – 1]

Tantos equivalentes

Descuento anual (d)
Descuento fraccionado (d_k
Proyección aritmética anual del descuento fraccionado (d_k)

Dado el valor de d_k Se obtiene d A partir de la expresión

d_k = 1 – (1 – d)^1/k

d = 1 – (1 – d_k)^k

d_k = k[1 – (1 – d)^1/k]

d_k = d/(1 – d/k)

d = d_k/(d_k + k)

Suma financiera: vencimiento común y vencimiento medio

Vencimiento común. El t_s que verifica la siguiente igualdad:

C₁(v)^t_s + C₂(v)^t_s + … + C_n(v)^t_s = S(v)^t_s

Vencimiento medio: Una media ponderada de los vencimientos de los capitales sumandos, en la que las ponderaciones son las cuantías respectivas.

ln[C₁(v)^t₁ + C₂(v)^t₂ + … + C_n(v)^t_n] = ln[S(v)^t_s]

t_s = ln[(C₁(v)^t₁ + C₂(v)^t₂ + … + C_n(v)^t_n) / S] / ln(v)

4.4. Comparación entre las Leyes de Descuento

Descuento comercial versus Descuento racional

Para compararlos se restan,

C(1 – d·n) – C/(1 + i·n) = C[(1 – d·n) – 1/(1 + i·n)]

Al ser la resta positiva para cualquier valor de n, podemos decir que el descuento racional descuenta menos que el descuento comercial.

Descuento comercial versus Descuento compuesto

Seguimos el procedimiento anterior y hallamos su diferencia

C(1 – d)ⁿ – C(1 – d·n) = C[(1 – d)ⁿ – (1 – d·n)]

El resultado nos dice que la ley de descuento compuesto descuenta menos que el descuento comercial, además la diferencia aumenta a medida que aumenta n.

Descuento compuesto versus Descuento racional:

El descuento compuesto es la inversa de la capitalización compuesta, y el descuento
racional la inversa de la capitalización simple, por ello la comparación resulta al contrario,
Valor de z Comparación entre la ley de
Capitalización simple (??) y
la Capitalización compuesta
(??)
Comparación
Descuento racional
() y Descuento
compuesto ()

W
&

W
&

W
&

W
Descuento comercial versus Descuento racial versus Descuento compuesto
Valor de z Comparación entre el
Descuento comercial (), el
descuento racional y el
Descuento compuesto ()

W
&
W
&
W
&
W
5. Introducción a la teoría de rentas
5.1. Concepto
Renta financiera. Conjunto de capitales financieros cuyos vencimientos regulares
están distribuidos sucesivamente a lo largo de un intervalo temporal (sueldo mensual,
mensualidades de préstamo hipotecario, recibos de alquiler, etc.).
Es la aplicación biyectiva que se establece entre un conjunto de capitales
??> \ y un conjunto de períodos de maduración o de intervalos temporales
?? =
= : =\.
Términos de la renta. Son los capitales asociados a cada período de maduración.
Períodos de maduración. Sub-intervalos de la renta. En estos períodos se generan los
capitales de la renta.
Origen de la renta. Momento
Final de la renta. Momento
Duración de la renta. Tiempo que media entre el origen y el final de la renta.
5.2. Clasificación de las rentas
Criterio Clases Características
Cuantía de
los capitales
Constantes Las cuantías de los capitales que forman la renta son iguales.
Variables Las cuantías de los capitales que conforman la renta son
distintas entre sí. En la práctica, lo habitual es que varíen de
acuerdo con una progresión aritmética o según una progresión
geométrica.
Momento
en el que
vencen los
capitales
Pospagables Los vencimientos de los capitales se encuentran al final de
cada período.
Prepagables Los vencimientos de los capitales se localizan al principio de
cada período de maduración.
Duración Temporales La duración es finita, es decir, se conoce tanto el origen como
el final de la renta.
Perpetuas La duración es indefinida, o lo que es lo mismo, se conoce el
origen pero no el final de la renta.
Medida de
los períodos
de
maduración
Discretas La medida es finita (períodos mensuales, trimestrales, anuales,
etc.)
Continuas Los períodos de maduración son infinitesimales.
Momento
de
valoración
Inmediatas La renta se valora en un momento que está situado entre el
origen y el final de la renta. Lo habitual es que ese momento
coincida con el origen (valor actual) o con el final (valor final).
Diferidas La renta se valora en un momento anterior a su origen.
Anticipadas La renta se valora en un momento posterior a su final.
5.3. Valor financiero de una renta
Valor capital o financiero de una renta. Es la suma financiera de sus capitales o
términos. Se puede calcular en cualquier momento del tiempo, pero lo habitual es que se
calcule en el origen de la renta: valor actual, o en el final de la renta: valor final.
Dado que lo normal es que las rentas tengan una duración bastante amplia, se suele
utilizar en su valoración la ley de capitalización/descuento compuesta.
5.4. Propiedades de las rentas
a) El valor financiero es linealmente proporcional a las cuantías. Esta propiedad se
aplica cuando se valoran rentas variables en progresión aritmética y supone que el
valor financiero de una renta es una combinación del valor financiero de otras
rentas si se cumple que las cuantías de los términos de la renta son una
combinación de las cuantías de los términos de otras rentas.
]’ 5
» ]»» 5
«»
b) Aditividad respecto al tiempo. El valor capital de una renta se puede obtener como
suma de los valores capitales de los tramos en los que convenga descomponer el
intervalo temporal. Esta propiedad se aplica cuando la renta se valora con más de
un tipo de interés o cuando la renta tiene tramos con cuantías que siguen reglas
distintas de formación.
c)
??5 & 4:

!
??5 & 4:
+
!
?? 5 & 4:

!+L
d) Sustitución de una renta por otra equivalente de menor número de términos. Se
aplica cuando los términos tienen unos períodos de maduración de amplitud menor
que el año y se desea operar con una periodicidad anual. Es el caso de las rentas
fraccionadas.
6. Valoración de rentas constantes
6.1. Rentas temporales e inmediatas
Rentas pospagable
La representación gráfica de una renta constante unitaria, temporal, inmediata y
pospagable es:
El valor actual (??^4 ) se obtiene sumando las cuantías equivalentes en el momento
de cada una de las unidades monetarias que componen la renta.
??^4 & 4: & 4: & 4: & & 4:4
Si sumamos los valores equivalentes en el momento , tenemos el valor final (^R)
^4 & 4 & 4 & 4:
& 4 &
4
El valor actual y el final son financieramente equivalentes, por lo que se puede obtener
uno respecto a otro.
??^R ^R 5 & 4
^R ??^R 5 & 4:
En el caso de que la cuantía en vez de ser unitaria fuera , el valor actual y final sería:
5 ??^R
5 ^R
Rentas prepagables
La representación gráfica de una renta constante unitaria, temporal, inmediata y
prepagable es:
El valor actual y final de la renta prepagable es igual al valor actual y final de la renta
pospagable multiplicadas por & 4 :
??^R & 4 5 ??^R
^R & 4 5 ^R
La relación de equivalencia es la misma que en las rentas pospagables:
??^R ^R 5 & 4
^R ??^R 5 & 4:
En el caso de que la cuantía en vez de ser unitaria fuera , el valor actual y final sería:

5 ??^R
5
^R
6.2. Rentas perpetuas e inmediatas
Rentas pospagables
Se caracteriza porque la duración es indefinida, conocemos el origen de la renta pero
no se final. Por eso sólo tiene sentido calcular su valor actual: es el límite de la
correspondiente renta temporal cuando la duración tiende a infinito.
??^4 DSTUV
??^R DSTUV
& & 4:
4

& &
& 4
4

&
4

En el caso de que la cuantía en vez de ser unitaria fuera , el valor actual sería:
5 ??^R
Rentas prepagables
El valor actual de la renta prepagable es igual al valor de la renta pospagable
multiplicada por & 4.
??^R DST
UV??^R DST
UV& 4 5
& & 4:4
& 4 5
&
4
En el caso de que la cuantía en vez de ser unitaria fuera , el valor actual sería:

5 ??^R
Rentas temporales y diferidas
Rentas pospagables
La valoramos en un momento anterior a su origen. Solo se modifica el valor actual, el
final es igual al de las rentas inmediatas.
El esquema gráfico de una renta constante unitaria, temporal, pospagable y diferida
es:
La renta tiene su origen en el momento K y al ser pospagable, el vencimiento del
primer capital se sitúa en el momento K & y el del último en K . La duración de la
renta es de períodos y se valora en el momento (K períodos antes del origen).
El valor actual se puede calcular de dos maneras:
„X Obteniendo ??^R en el origen K y trasladando el resultado obtenido hasta el
momento , mediante el factor de actualización & K:I
„X Calculando la suma financiera de todos los términos de la renta en el momento .
A priori se utiliza más el primer método.
P?? I& 4:I 5 ??^R & 4:I 5
& & 4:
4
En el caso de cuantía :
IP 5 P?? IRentas prepagables
El gráfico de la renta prepagable es el siguiente:
Igual que antes el procedimiento para calcularla es doble. Como antes, utilizando el
factor de actualización tenemos:
P?? I& 4:I 5 ??^R & 4:I 5 & 4 5 ??^R & 4:IL 5
& & 4:
4
En el caso de cuantía :
IP 5 P?? I6.4. Rentas perpetuas y diferidas
Rentas pospagables
P?? I& 4:I 5 ??^R & 4:I 5 DSTUV
??^R & 4:I 5En el caso de cuantía :
IP 5 P?? IRentas prepagables
P?? I& 4:I 5 ??^R & 4:I 5 DSTUV
??^R & 4:IL 5En el caso de cuantía :
IP 5 P?? I6.5. Rentas temporales y anticipadas
Rentas pospagables
Cuando la valoramos en un momento posterior al valor final de la renta. Sólo cambia el
valor final, el actual es el mismo que en las inmediatas.
Para calcular el valor final se pueden utilizar dos métodos:
„X Obteniendo el valor final de la renta en el momento y luego trasladando el
resultado hasta con el factor de capitalización & 4*
„X Calculando directamente la suma financiera en el momento de todos los
términos de la renta.
Se utiliza más el primer método:
*P^R & 4* 5 ^R & 4* 5
& 4 &
4
En el caso de cuantía :
*P 5 *P^RRentas prepagables
P
* ^R & 4* 5 ^R & 4* 5 & 4 5 ^R & 4*L 5
& 4 &
4
En el caso de cuantía :
P * 5 P
* ^R6.6. Rentas perpetuas y anticipadas:
Las rentas perpetuas no tienen valor final, y el anticipamiento solo afecta al valor final,
por lo que estas rentas no tienen sentido.
6.7. Rentas fraccionadas:
El fraccionamiento de una renta consiste en dividir cada cuantía en y cada período
(normalmente el año) también en 7 partes iguales.
La valoración se puede hacer a través de dos procedimientos:
„X Como una renta no fraccionada, en la que todas las magnitudes se refieren a subperiodos
de amplitud

6
.
„X Como una renta fraccionada, tomando como unidad de tiempo el año. (propiedad
de condensación).
Sea cual sea la opción por la que opte a la hora de valorar la renta fraccionada el
resultado debe ser el mismo ya que se trata de rentas equivalentes.
En cualquier caso, es muy importante guardar la debida concordancia entre las tres
variables que se manejan al calcular el valor financiero de una renta fraccionada:
„X Cuantía del término de la renta.
„X Unidad de tiempo con la que se trabaja.
„X Tipo de interés aplicable.
Rentas pospagables, temporales e inmediatas
„X Valoración como renta fraccionada
5 ?? 6^4 5
4
>6
5 ??^4
5 6^4 5
4
>6
5 ^4
„X Valoración como renta no fraccionada:

7
5 ??56^46

7
5
& & 46:56
46

7
5 56^46

7
5
& 4656 &
46
Ambos métodos deben dar el mismo resultado, por lo que hay que guardar la debida
concordancia entre la unidad de medida del tiempo y la unidad de medida del tipo de
interés.
Tratamiento de la renta Descripción Variable
Fraccionada

7
5 7
Cuantía anual
Número de años
4 Tipo de interés anual
7 Fraccionamiento del año
No fraccionada
7
Cuantía de cada sub-periodo
57 Número de sub-periodos
46 Tipo de interés aplicable a cada sub-periodo
Rentas prepagables, temporales e inmediatas:
„X Valoración como renta fraccionada

5 ?? 6^4 & 46 5 5
4
>6
5 ??^4
5
6^4 & 46 5 5
4
>6
5 ^4
„X Valoración como renta no fraccionada:

7
5 ??56^46 & 46 5

7
5 ??56^46

7
5 56^46 & 46 5

7
5 56^46
Rentas pospagables, perpetuas e inmediatas
??6^4 DST
UV??6^4 DST
UV4
>6
5 ??^4
4
>6
5 DST
UV??^4
4
>6
5
&
4

&
>6
5 ??6^4
Rentas prepagables, perpetuas e inmediatas
??6^4 DST
UV??6^4 DST
UV4
>6
5 & 46??^4
4
>6
5 & 46 5 DST
UV??^4
& 46 5
&
>6

5 ??6^4
Rentas diferidas y anticipadas
Tipo de renta Valor actual
Pospagable y
temporal
IP?? 6^4 & 4:I 5 ?? 6^4 & 4:I 5
4
>6
5 ??^4
Prepagable y
temporal
IP?? 6^4 & 4:I 5 ?? 6^4 & 4:I 5 & 46 5
4
>6
5 ??^4
Pospagable y
perpetua
IP??6^4 & 4:I 5 ??6^4 & 4:I 5
&
>6
Prepagable y
temporal
IP??6^4 & 4:I 5 ?? 6^4 & 4:I 5 & 46 5
&
>6
Tipo de renta Valor actual
Pospagable y
temporal
P * 6^4 & 4* 5 6^4 & 4* 5
4
>6
5 ^4
Prepagable y
temporal
P *
6^4 & 4* 5
6^4 & 4* 5 & 46 5
4
>6
5 ^4
6.8. Rentas constantes que se valoran con más de un tipo de
interés
Puede que cada tramo de renta tenga un tipo de interés. (Propiedad de aditividad
respecto al tiempo).
Descomponemos la renta en dos sub-rentas:
1. De ?? periodos de duración, pospagable, temporal e inmediata, se valora a tipo de
interés 4
2. De ?? períodos, pospagable, temporal y diferida ?? períodos respecto al momento
de valoración, se valora a tipo de interés 4

7. Valoración de rentas variables
7.1. Introducción:
Las cuantías de los términos no son todos iguales; pueden variar:
„X Según ninguna ley de variación conocida. Se procede descontando o capitalizando.
ƒæ Renta variable pospagable
??5 & S: ??
5 & S:
??_ 5 & S:_
??+ ` & 4:+

+!
??5 & S_ ??
5 & S_: ??_ 5 & S
??+ ` & 4:+

+!
ƒæ Renta variable pospagable:

??5 & S ??
5 & S: ??_ 5 & S:_: ??+ ` & 4:+:

+!
??5 & S_ ??
5 & S_: ??_ 5 & S
??+ ` & 4:+L

+!
ƒæ Si están diferidas, basta con multiplicar por & 4:I
ƒæ Si están anticipadas, basta con multiplicar por & 4*
„X Según alguna ley de variación conocida (aritmética y geométrica).
7.2. Rentas variables en progresión aritmética:
Renta pospagable, temporal e inmediata
Cada término es igual al anterior más una cuantía constante .
Para calcular el valor actual se descompone en rentas y se suma el valor actual de
cada una. Al resolver la suma, nos queda que el valor actual es:
a ^R A

4
B ` ??^R
`
4
` & 4:
Podemos obtener una fórmula alternativa si se suma y resta
N`
R
:
a ^R A

4
` B ` ??^R
`
4
Para obtener el valor final se capitaliza el valor actual, multiplicamos por & 4:
a ^R a ^R ` & 4A

4
B ` ^R
`
4
Cuando el término de la progresión aritmética es negativo, se cambian los signos de las
fórmulas:
a ^R A

4
` B ` ??^R
`
4
a ^R a ^R ` & 4A

4
B ` ^R
`
4
Renta prepagable, temporal e inmediata
Se obtiene multiplicando por & 4 la correspondiente renta pospagable.
a^R & 4 ` a ^R & 4 ?A

4
B ` ??^R
`
4
` & 4:@
a ^R & 4 ` a ^R & 4 ` ?A

4
B ` ^R
`
4
@
Renta pospagable, perpetua e inmediata
Se calcula tomando el límite cuando la duración tiende a infinito del valor de la
correspondiente renta temporal.
a ^R DST
UV
a ^R A

4
B ` DST
UV
??^R DST
UV
`
4
` & 4: A

4
B `
&
4
Renta prepagable, perpetua e inmediata
a ^R a ^R ` & 4 & 4 ` A

4
B `
&
4
Renta pospagable, temporal y diferida:
Se multiplica la Z??a X_^c por & S:d
IPa ^R & 4:I ` ^R & 4:I ` ?A

4
B ` ??^R
`
4
` & 4:@
Renta prepagable, temporal y diferida:
IPa ^R & 4:I ` & 4 ` ^R
& 4:IL ` ?A

4
B ` ??^R
`
4
` & 4:@
Renta pospagable, perpetua y diferida:
IPa ^R & 4:I ` a ^R & 4:I ` A

4
B `
&
4
Renta prepagable, perpetua y diferida:
IPa ^R & 4:I ` a ^R & 4:I ` & 4 ` a ^R
& 4:I ` & 4 ` A

4
B `
&
4
Renta pospagable, temporal y anticipada:
*Pa ^R & 4* ` a ^R & 4* ` ?A

4
B ` ^R
`
4
@
Renta prepagable, temporal y anticipada:
*Pa ^R & 4* ` a ^R & 4 `*Pa ^R
& 4* ` & 4 ` ?A

4
B ` ^R
`
4
@
Rentas fraccionadas:
Para todos los posibles supuestos que hemos visto puede considerarse que la renta
sea fraccionada.
Basta con multiplicar por el operador de transformación
c
ef
el valor actual o el valor
final.
Si además la renta es prepagable hay que multiplicar por & Sg el valor de la
pospagable.
7.3. Rentas variables en progresión geométrica
Renta pospagable, temporal e inmediata:
La razón de crecimiento tiene que ser siempre positiva (a diferencia de las rentas en
progresión aritmética):
„X Si h &la renta es creciente.
„X Si i &los términos de la renta son decrecientes.
a i^R ` & 4: ` j
& i:& 4:: ` i ` & 4:
& i ` & 4: k
` & 4: ` l
& i` & 4:
& i
& 4:
m `
& M i
& 4O

& 4 i
a i^R ` & 4: ` j
& i:& 4:: ` i ` & 4:
& i ` & 4: k
` & 4` j
& i` & 4:
& 4 i
k `
& 4 i
& 4 i
Al mismo resultado se hubiera llegado si al a i^R se multiplica por & 4
Estas dos fórmulas son validas si el valor de i & 4 y cuando i & 4. En caso de
que i & 4 tendríamos una indeterminación

. Se resuelve aplicando unas fórmulas
alternativas:
a i^R ` & 4: `
a i^R & 4` a i^R ` & 4: `
Renta prepagable, temporal e inmediata:
Multiplicando la pospagable por el factor & 4
Relación n o p Valor actual Valor final
i & 4 o & & 4
& 4 5 `
& M i
& 4O

& 4 i
& 4 5 `
& 4 i
& 4 i
& & 4 ` ` & 4`
Renta pospagable, perpetua e inmediata:
Tomamos el límite cuando la duración tiende a infinito de la correspondiente renta
temporal.
Z??a h^c DST
_UV
Z??a h_^c
Solo tiene sentido calcular el valor actual si h q & S, en el resto de casos el resultado
es infinito.
Z??ah^c DST
_UV
Z??a h_^c DST
_UV
?? `
& M h
& SO
_
& S h

??
& S h
Renta prepagable, perpetua e inmediata:
Si h q & S
Z ??a h^c & SZ??a h_^c
??& S
& S h
Renta pospagable, temporal y diferida:
Solo afecta al valor actual, se multiplica por & 4:Iel valor actual de la renta
inmediata.
dPZ??a h_^c & S:d ` Z??a h_^c & S:d?? ` l
& M h
& SO
_
& S h
m
Renta prepagable, temporal y diferida:
Multiplicamos por & S
dPZ ??a h_^c & S:d ` & S ` Z??a h_^c & S:dL?? ` l
& M h
& SO
_
& S h
m
Renta pospagable, perpetua y diferida:
Multiplicamos por & S:d el valor actual de la renta perpetua e inmediata para
convertirla en diferida.
dPZ??a h^c & S:d `
??
& S h
Renta prepagable, perpetua y diferida:
dPZ ??a h^c & S:d ` Z??a h^c & S:d ` & S `
??
& S h
Renta pospagable, temporal y anticipada:
El anticipamiento solo afecta al valor final, se multiplica por & S.
.P.??a h_^c & S.?? Lc.:..
Lc:.
Renta prepagable, temporal y anticipada:
.P.??a h_^c & S..??a h_^c & S.& S??
& S_ h_
& S h
Rentas fraccionadas:
En todos los casos anteriores puede que la renta sea fraccionada, solo hay que
multiplicar por c
ef
. Si además la renta es prepagable hay que multiplicar por & Sgel
valor de la pospagable.
7.4. Rentas variables que se valoran con más de un tipo de
interés:
Puede que cada tramo de renta tenga un tipo de interés. (Propiedad de aditividad
respecto al tiempo).
Para calcular el valor actual
Descomponemos la renta en dos sub-rentas:
1. De ?? periodos de duración, pospagable, temporal e inmediata, se valora a tipo
de interés 4
2. De ?? períodos, pospagable, temporal y diferida ?? períodos respecto al
momento de valoración, se valora a tipo de interés 4
para la duración de ??y
4para el periodo de diferimiento.
.????.
.
.!
` & S:. & S:. ?? ??.& S
:.:.
_
.!.L
Para calcular el valor final
Descomponemos la renta en dos sub-rentas:
1. De ?? periodos de duración, anticipada en n-s periodos, 4para los s primeros
periodos y 4
para el periodo de anticipamiento.
2. De ?? períodos, inmediata, tipo 4
.
??+

+!
` & 4 :+ & 4
: ?? +& 4
:+

+! L
8. Descuento bancario, letras del tesoro y otras operaciones
financieras
8.1. Crédito comercial
Es muy habitual que el vendedor ofrezca al comprador un descuento si el pago se realiza
al contado frente a la cantidad que tendría que pagar si lo hiciera de forma aplazada.
Si suponemos que el importe de la factura a pagar de forma aplazada al cabo de días
es , y que el descuento por pronto pago es , la cantidad que tiene que pagar el
comprador al contado es .
El tipo de descuento implícito sería:
5 & / # /

La relación que existe entre y se deduce de la expresión que permite obtener el
valor descontado a partir de la ley de descuento comercial:
5 & 5 # 5 M& 5

…
O
se expresa en días y por ello hay que dividir por 365 el tanto anual para guardar
concordancia.
El tipo de descuento implícito sería:
A

B 5
…

También se puede obtener el tipo de interés equivalente
5 M& 4 5

…
O # 4 A

B 5
…

La relación entre el tipo de descuento () y el tipo de capitalización (4) sería:
5 M& 4 5

…
O # 5 M& 5

…
O M& 4 5

…
O # 4
… 5
… 5
8.2. Descuento bancario
Se trata de una operación financiera simple por la que una entidad financiera entrega
al cliente el valor actual de un capital futuro representado mediante un efecto de comercio.
Lo habitual es que el descuento se realice en un plazo de tiempo inferior al año y se
utilice la ley financiera de descuento comercial.
Existen dos modalidades:
„X Descuento comercial. El efecto comercial que se descuenta tiene su origen en una
transacción comercial
„X Descuento financiero. El efecto descontado se crea con la finalidad de obtener un
préstamo.
Descuento de papel comercial
El crédito se documenta con una letra de cambio.
El vendedor puede acudir a una entidad financiera para descontarla y obtener su valor
descontado. Al vencimiento de la letra, la entidad financiera reclama al comprador el
nominal, obteniendo un beneficio medido por la diferencia entre el nominal y el efectivo
1. Cálculo del efectivo que entrega el banco y del líquido que recibe el cliente
El efectivo que la entidad financiera entrega al cliente (librador) se calcula según la
ley de descuento comercial, pero además, hay que deducir del valor nominal la
comisión de cobranza y una serie de gastos (correo, teléfono, fax).
?? 5 A&
5
..
B
Las entidades financieras suelen publicar una comisión mínima de cobranza (gc
_
)
que se aplica cuando tras multiplicar la comisión de cobranza () por el nominal ()
no se alcanza dicho mínimo. En ese caso:
?? 5 A&
5
..
B 6R

La cantidad que el banco entrega al cliente no es la que recibe éste, puesto que el
librador tiene que hacerse cargo del Impuesto sobre Actos Jurídicos Documentados
(timbre de la letra). El líquido () que recibe el cliente, una vez descontado el
timbre ():
??
2. Tantos efectivos para el banco, para el cliente y TAE. Los tantos se abordan desde
tres puntos de vista:
„X El del Banco.
ƒæ Capitalización simple.
?? 5 M& 4. 5
W.
O # 4. M¡:¢
¢ 5 W.

O
ƒæ Capitalización compuesta.
?? 5 & 4.PW. # 4. M¡
¢O
£¤
¥
. &
„X El del cliente
ƒæ Capitalización simple.
5 M& 4% 5
W.
O # 4% M¡:¦
¦ 5 W. O
ƒæ Capitalización compuesta (TAEC)
5 & 4%PW. # 4% M¡
¦
O
£¤
¥
. &
„X El del Banco de España (TAE).
??: Efectivo
: Nominal
: Tipo de descuento anual
: Número de días
: Comisión de cobranza
G: Otros gastos
Para el cálculo del TAE ha de tenerse en cuenta la normativa que se recoge
en la Circular 8/90, concretamente la que se refiere al descuento de papel
comercial (norma octava, apartado 4.d), que dice: sólo se integrará en el
coste el importe de las comisiones que, porcada efecto, exceda de los
mínimos tarifados porcada entidad.
Para calcular el TAE, es necesario obtener un nuevo efectivo (??’) que sólo
tenga en cuenta la diferencia 5 6R
??» 5 A&
5
..
B 5 6R
??» 5 & ??

W. # ?? A

??»B
W.

&
3. Impago de la letra.
Si la letra no es pagada, el banco, de acuerdo con la Ley Cambiaría y del Cheque,
presenta la letra ante un notario para su protesto. Una vez realizado este trámite,
lo habitual es que el banco cargue en la cuenta del librador el nominal de la letra
que debería haberle cobrado al librado más una serie de comisiones y gastos.
?? 5 (N $ ($
4. Letra de resaca.
Aparece cuando el librador de la letra impagada emite una nueva letra contra el
librado para resarcirse de todos los gastos en que ha incurrido, además de los
intereses de demora y el timbre de la nueva letra. La ecuación para calcular el
nominal de la nueva letra (‘) es:
?? » 5 M& N-5-
W. O # » ¢§LL¨L©
A:ª-5.-
£¤« B
5. Factura de descuento de letras
En ocasiones el cliente presenta al descuento una remesa de efectos comerciales,
en lugar de un solo efecto. Para ello utiliza un documento proporcionado por el
propio banco que se denomina factura de descuento en el que se detallan, para
cada efecto, el librado, la plaza, la cuantía nominal y el vencimiento. El efectivo que
abona en la cuenta del librador es:
?? A5 A&
5
..
B B A
5 A&

5

..

B
B
A5 A&
5
..
B B
??+

+!
??+ 5 + 5 +
..

+!
??+ 5 +

+!
??+

+!
=
El tanto efectivo en capitalización simple para el banco se obtiene calculando en
primer lugar el vencimiento medio de la remesa:

5
5
5

9 + 5 +
+
!
9 +
+
!
??: Efectivo de la letra impagada
: Nominal de la letra
(N: Comisión de devolución (Procentaje sobre
el nominal)
$: Gastos de protesto que el banco ha pagado
al notario
($: Comisión de protesto
G: Otros gastos
Una vez calculado el vencimiento medio obtenemos el tanto efectivo en
capitalización simple para el banco a partir de la ecuación de equivalencia
financiera que relaciona lo que el banco entrega en el momento actual con lo que
el banco recibe en el vencimiento medio (la suma de los valores nominales de
todas las letras).
?? 5 M& 4. 5

…
O ??+

+!
# 4. ®
9 +
+
! ??
??
5
…

Para obtener el tanto efectivo en capitalización simple para el cliente, hay que
obtener el líquido que recibe el cliente en el momento actual, restando del
efectivo, los timbres pagados por cada una de las letras.
?? ??+

+!
Una vez obtenido el líquido de la factura de descuento, es posible calcular el tanto
efectivo para el cliente:
5 M& 4% 5

…
O ??+

+!
# 4% ®
9 +
+
!

5
…

Descuento financiero
El objetivo es obtener un préstamo a corto plazo a través de una letra financiera. Lo
habitual es que el cliente sea el librado y el banco sea el propio librador.
El líquido que recibe el cliente se obtiene aplicando la ley de descuento comercial,
teniendo en cuenta, además, la comisión de apertura del crédito, el corretaje si la letra
está intervenida por algún fedatario público y el timbre.
5 A&
5
&¯
°B
Para el cálculo de los tantos efectivos se sigue el mismo procedimiento que el utilizado
en el descuento comercial.
8.3. Letras del tesoro
Definición
Se trata de títulos de renta fija emitidos por el Tesoro Público cuyas características
más importantes son:
„X Son títulos-valores emitidos a corto plazo y representados exclusivamente
mediante anotaciones en cuenta.
„X Se emiten mediante subasta. El importe mínimo de cada petición es de 1000€ y las
peticiones por importe superior han de ser múltiplos de 1000 €.
„X La emisión se hace al descuento, es decir, su precio de adquisición es inferior a la
cantidad que recibe el inversor en el momento de la amortización. La diferencia
entre esa cantidad (1000€) y el precio de adquisición es el interés o rendimiento
generado.
„X Se emiten letras a distintos vencimientos: 6 meses, 1 año y 18 meses.
: Líquido que recibe el cliente
: Nominal
: Tipo de descuento anual
: Número de meses de descuento
: Comisión de apertura
°: Corretaje
: Timbre
„X Estos activos no tienen retención a cuenta del IRPF. La diferencia entre el importe
obtenido en la venta o amortización y el precio pagado en la compra forma parte
de la base imponible del inversor en el impuesto de la renta como rendimiento del
capital mobiliario.
La adquisición de letras del tesoro proporciona una serie de ventajas frente a otras
inversiones alternativas:
„X Seguridad. El reembolso del nominal está garantizado por el Estado.
„X Rentabilidad. En línea con los tipos de interés vigentes en el mercado en cada
momento.
„X Liquidez. Debido al alto volumen de títulos emitidos y a la agilidad con que
funciona el mercado español de deuda pública.
„X Se pueden adquirir mediante tres vías: internet, a través de cuentas directas en el
Banco de España o, con el concurso de Bancos o intermediarios financieros.
Rentabilidad bruta o nominal
En el caso de las letras emitidas a 6 y 12 meses:
?? 5 M& 4 5

..
O & # 4 A
& ??
??
B 5
..

Si la letra se emite a 18 meses, se emplea capitalización compuesta al ser la duración
superior al año:
?? 5 & 4

W.

& # 4 A
&
??
B
W.

&
Rentabilidad neta o efectiva
1. La letra se adquiere en el momento de su emisión y se mantiene hasta su
amortización
El inversor entrega el precio ?? fijado en la subasta más una comisión de suscripción
(). En el momento de la amortización recibe los 1000 € del valor nominal menos
una comisión de amortización (±). El gráfico representativo de esta operación es:
La rentabilidad real viene determinada por las siguientes expresiones:
„X Capitalización simple
?? 5 M& 4 5

..
.O & ± # 4
®
& ± ??
??
5
…

„X Capitalización compuesta (18 meses)
?? 5 & 4

W. & ± # 4 A
& ±
??
B
W.

&
2. La letra se adquiere en el momento de su emisión y se vende en el mercado
secundario antes de su amortización.
??: Precio pagado por la
adquisición de la letra
: Duración en días de la inversión
4: Rentabilidad
Se compra la letra al precio ?? fijado en la subasta más una comisión de suscripción
(() y se vende a un precio menos una comisión de venta. ((²). El gráfico
representativo de esta operación es:
La rentabilidad real se obtiene a través de las siguientes ecuaciones:
„X Capitalización simple
?? ( 5 M& 4 5
³
…
O (² # 4 ®
(² ?? (
?? (
5
…
³
„X Capitalización compuesta (18 meses)
?? ( 5 & 4
²
W. ² # 4 A
(²
?? (
B
W.
²
&
3. La letra se adquiere en el mercado secundario y se mantiene hasta su amortización.
El inversor entrega el precio fijado en el mercado secundario más una comisión
de compra ((%) y se obtiene, en la fecha fijada para su amortización, el valor
nominal menos la comisión de amortización. El gráfico representativo de esta
operación es:
La rentabilidad real se obtiene a través de las siguientes ecuaciones:
„X Capitalización simple
(% 5 M& 4 5
(
…
O & (± # 4 ®
& (± (%
(%
5
…
(
„X Capitalización compuesta (18 meses)
(% 5 & 4
:%
W. & (± # 4 A
& (±
(%
B
W.
:%
&
4. La letra se adquiere y se vende en el mercado secundario.
En este último supuesto el inversor compra la letra al precio fijado en el mercado
secundario más una comisión de compra ((%) y obtiene por su venta, también en el
mercado secundario, un valor de venta menos la comisión de venta. El gráfico
representativo de esta operación es:
La rentabilidad real se obtiene a través de las siguientes ecuaciones:
„X Capitalización simple
(% 5 M& 4 5
³ (
…
O (² # 4 ®
(² (%
(%
5
…
³ (
„X Capitalización compuesta (18 meses)
(% 5 & 4
²:%
W. (² # 4 A
(²
?? (
B
W.
²:%
&
8.4. Pagarés de empresa
Definición
Según la Ley Cambiaría y del Cheque, en su artículo 94, define el pagaré como la
promesa pura y simple de pagar una cantidad determinada en euros o moneda extranjera
convertible admitida a cotización oficial, con una fecha de vencimiento y a una persona o a
su orden.
Los pagarés de empresa presentan las siguientes características:
„X El nominal suele ser bastante elevado.
„X Se emiten al descuento, es decir, se compran por un precio inferior a su valor
nominal.
„X El vencimiento de estos activos se sitúa a corto plazo.
„X Los emisores más activos son grandes empresas.
„X Las emisiones pueden ser directas o a través de intermediarios y estar basadas en
colocaciones en serie o a la medida.
„X Suelen estar respaldadas por una línea de crédito bancario que asegura su
liquidez.
„X Los intereses obtenidos en el momento de la venta o de la amortización están
sujetos a retención a cuenta del IRPF.
Rentabilidad
El mercado AIAF de renta fija establece, en su circular 2/94 de 24 de marzo, las
expresiones que han de utilizarse:
„X Si la duración es igual o inferior a 376 días:
?? 5 M& 4 5

…
O # 4 A
??
??
B 5
…

„X Si la duración es mayor a 376 días:
?? 5 & 4
.
£¤¥ # 4 M¡
¢
O
£¤¥
. &
9. Cuentas corrientes
9.1. Definición de cuenta corriente
Se trata de una operación financiera compuesta que permite agilizar la relación
económica entre dos partes al no tener que liquidar de forma inmediata las transacciones
comerciales que realizan. Es un intercambio de capitales con vencimientos distintos, de
manera que el saldo resultante se liquida en un momento determinado (fecha de cierre) y
de acuerdo con una ley financiera previamente pactada (habitualmente la capitalización
simple).
Intervienen dos partes:
„X El tenedor de la cuenta. Realiza las anotaciones.
„X El cuentacorrentista. La otra parte con cuyo nombre abre la cuenta el tenedor.
En los apuntes distinguimos dos partidas:
„X Debe. Se anotan las cantidades positivas. Las que recibe el cuentacorrentista
entregadas por el tenedor.
„X Haber. Se apuntan las cantidades negativas. Las que entrega el cuentacorrentista y
recibe el tenedor.
Lo normal en este tipo de operaciones es que se prolonguen en el tiempo, si bien la
liquidación se hace a corto plazo.
9.2. Clasificación de las cuentas corrientes
Criterio Clases Características
Existencia de
intereses
Simples Las partidas no devengan intereses.
Con interés Las partidas intercambiadas devengan intereses de
acuerdo con ley financiera.
Partes intervinientes Comerciales Se establecen entre personas físicas o entre
empresarios.
Bancarias Una de las partes intervinientes es una entidad
financiera.
Según el tipo
de interés
A interés recíproco Se utiliza el mismo tipo de interés para las partidas
del Debe y del Haber.
A interés no
recíproco
Se utilizan tipos de interés diferentes para las
partidas del Debe y Haber.
9.3. Liquidación de cuentas corrientes
Las cuentas corrientes son operaciones financieras de crédito recíproco en las que no
se conocen a priori los capitales que van a intervenir. Esta característica hace que la
liquidación de estas operaciones se realice a través del método retrospectivo, una vez
conocidos todos los capitales que han intervenido en la operación.
La liquidación de una cuenta corriente consiste en obtener su saldo en la fecha de
cierre establecida por las partes. En el caso de ausencia de intereses, ese saldo se obtiene a
partir de la diferencia entre la suma de las cantidades del Debe y del Haber:
„X Si las partidas del Debe son mayores, el saldo es deudor.
„X Si las partidas del Haber son mayores, el saldo es acreedor.
Si las partes acuerdan que las partidas devengan intereses, es necesario obtener el
montante en capitalización simple que generan cada uno de los movimientos hasta la fecha
de cierre:
?? 5 A&
4 5
..
B 5 ´&

..
4
µ 5 M&

O
5

donde:
??: Montante
: Importe de la partida
: números comerciales
: Divisor fijo.
En las cuentas corrientes suele haber numerosos movimientos, por lo que se han buscado
procedimientos simplificados que permitan la liquidación de una cuenta corriente Estos
métodos son tres: directo, indirecto y hamburgués.
Para poder aplicarlo, se suelen agrupar los datos necesarios en una tabla con la siguiente
disposición:
Los contenidos de las columnas son:
„X Fecha. Momento en que se produce el apunte contable.
„X Concepto. Descripción breve de cada movimiento.
„X Cuantías. Importe en euros de las partidas, clasificadas..
„X Vencimiento. Momento en el que se produce realmente el pago o el cobro de cada
importe. A partir de este momento es cuando las partidas generan intereses.
„X Días. Intervalo temporal durante el cual las cuantías generan intereses.
„X Números. El producto de cada cuantía por los días. Suelen utilizarse en formato
truncado, es decir, se prescinde de las dos últimas cifras (se divide entre 100).
9.4. Liquidación de cuentas corrientes a interés recíproco
Método directo
Consiste en trasladar todos los capitales del Debe y del Haber hasta la fecha de cierre para
después obtener, por diferencia, el saldo.
Una vez dispuestos los capitales del Debe y del Haber en sus respectivas columnas se
procede de la siguiente forma:
1. Se obtienen los días correspondientes a cada partida, a partir de la diferencia entre la
fecha de cierre y el respectivo vencimiento.
2. Se calculan los números comerciales, multiplicando el importe de cada partida por los
días obtenidos anteriormente. El resultado se trunca dividiendo entre cien.
3. La diferencia entre la suma de los números comerciales del Debe y los del Haber es el
saldo de números comerciales y se apunta en la columna de números que haya
sumado menos para igualar. Si los números del Debe son mayores que los del Haber
el saldo de números es deudor y si son menores el saldo es acreedor.
4. El saldo de números comerciales se divide entre el divisor fijo (cuyo resultado también
se ha truncado) para obtener la cifra de intereses. Si el saldo de números tiene signo
deudor, los intereses son deudores y se anotan en la columna del. Si es acreedor, los
intereses son acreedores y se apuntan en la columna del Haber.
5. Obtener el saldo de la cuenta corriente, sumando las cuantías del Debe y del Haber
(más los intereses en la columna donde corresponda). La diferencia es el saldo de la
cuenta corriente que se anota en la columna de cuantías que haya sumado menos
para igualar.
El método directo es el más sencillo de los tres, pero presenta algunos inconvenientes:
„X Cuando algún capital vence con posterioridad a la fecha de cierre el número de días
tiene signo negativo y, por tanto, también lo tienen los números comerciales. En este
caso, si el tipo de interés es recíproco, se pueden apuntar en la columna contraria a la
que le corresponde con signo positivo.
„X Si las partes acuerdan retrasar o prorrogar la fecha de cierre, es necesario efectuar
una corrección en los números comerciales ya que se han obtenido a partir de una
fecha de cierre que no es correcta.
Método indirecto
Surge para superar los inconvenientes que plantea el método directo.
Se fija una fecha (llamada época) anterior o coincidente con el vencimiento del capital
más antiguo, a partir de la cual se obtienen los días durante los cuales las partidas del Debe y
del Haber generan intereses.
Una vez anotados los movimientos, el procedimiento es el siguiente:
1. Se obtienen los días correspondientes a cada partida, a partir de la diferencia entre el
vencimiento y la fecha señalada como época.
2. Se calculan los números comerciales, multiplicando el importe de cada partida por los
días calculados anteriormente, y truncando el resultado.
3. Se procede a realizar el ajuste de números, multiplicando el saldo de cuantías por los
días que median entre la época y la fecha de cierre. El resultado se anota en la
columna de números del mismo signo que la columna que ha sumado menos.
4. La diferencia entre la suma de los números comerciales del Debe y del Haber, una vez
realizado el ajuste de números, es el saldo de números comerciales y se apunta en la
columna de números que ha sumado menos para igualar.
5. El saldo de números comerciales se divide entre el divisor fijo (truncado) para obtener
la cifra de intereses. Se anotan en la columna de cuantías del mismo signo que la
columna de números que ha sumado menos.
6. Obtener el saldo de la cuenta corriente que se calcula sumando las cuantías del Debe y
del Haber (más los intereses en la columna donde corresponda).La diferencia es el
saldo de la cuenta corriente que se anota en la columna de cuantías que ha sumado
menos.
Método hamburgués
También se conoce como método de los saldos o método escalar, ya que los números
comerciales se calculan a partir de los saldos parciales de cuantías.
Es necesario introducir una columna más a la hora de realizar la correspondiente
liquidación, que contenga esos saldos parciales. Además, los días durante los que se van a
generar intereses por los saldos parciales se obtienen calculando el tiempo que media entre un
vencimiento y el siguiente.
Una vez anotados los movimientos, el procedimiento es el siguiente:
1. Se calculan los saldos parciales de cuantías a partir de los movimientos registrados en
el Debe y en el Haber.
2. Se obtienen los días a partir del tiempo que media entre un vencimiento y el
siguiente.
3. Se calculan los números comerciales, multiplicando el importe de cada saldo parcial
por los días calculados anteriormente. El resultado se trunca.
4. La diferencia entre la suma de los números comerciales del Debe y del Haber es el
saldo de números comerciales y se apunta en la columna de números que haya
sumado menos para igualar.
5. El saldo de números comerciales se divide entre el divisor fijo (truncado) para obtener
la cifra de intereses. Si el saldo de números resultó de signo deudor, los intereses son
deudores y se anotan en la columna del Debe. Si fue acreedor, los intereses son
acreedores y se apuntan en la columna del Haber.
6. Obtener el saldo de la cuenta corriente sumando las cuantías del Debe y del Haber
(más los intereses en la columna donde corresponda). La diferencia es el saldo de la
cuenta corriente que se anota en la columna de cuantías que haya sumado menos
para igualar.
9.5. Liquidación de cuentas corrientes a interés no recíproco
Se trata de cuentas corrientes en las que se aplica un tipo de interés a los saldos deudores
y otro distinto a los saldos acreedores.
El método que mejor se adapta es el hamburgués.
En el supuesto de que las partidas no estén ordenadas por vencimiento y haya saldos de
cuantías de distinto signo, se debe proceder a ordenarlos previamente.
9.6. Liquidación de cuentas corrientes de crédito
Es una operación financiera por la que un banco o caja pone a disposición del cliente
cierta cantidad, hasta un límite fijado previamente.
Lo habitual es que a lo largo de la duración del crédito, el saldo sea siempre a favor de la
entidad financiera. Puede ocurrir que el saldo sea a favor del cliente (a través de ingresos). En
ese caso, el tipo de interés para esos saldos es distinto que cuando los saldos son deudores.
Cuando se rebasa el límite fijado, se aplica otro tipo de interés para la parte excedida. El
método más apropiado es el hamburgués.
Los distintos tipos de interés y comisiones que se aplican habitualmente son los
siguientes:
„X Tipo de interés para los saldos deudores (a favor de la entidad financiera).
„X Tipo de interés para los saldos acreedores (a favor del cliente).
„X Tipo de interés para los excedidos en el límite del crédito.
„X Comisión de apertura del crédito (sobre el límite del crédito concedido).
„X Corretaje por la intervención de fedatario público en la póliza del crédito (sobre el
límite del crédito concedido).
„X Comisión de disponibilidad sobre el saldo medio no dispuesto.
„X Comisión por excedidos en el límite del crédito.
10. Préstamos (I)
10.1 Definición:
Préstamo. Operación financiera en la que una de las partes, denominada prestamista o
acreedor, entrega un capital a otra parte, denominada prestatario o deudor, que se
compromete a devolver si equivalente mediante uno o varios pagos escalonados a lo largo de
su duración.
10.2 Variables significativas de un préstamo
Tiene que verificarse la equivalencia financiera en un momento determinado entre el capital
de la prestación y los capitales de la contraprestación. Si ese momento es el origen del
préstamo y que el tipo de interés es constante, la ecuación de equivalencia financiera es:
??& 4: ??
& 4:
??& 4: ????+& 4:+

+!
Donde:
: Capital prestado
??+: Términos amortizativos
4: Tipo de interés
Habitualmente, tanto el capital prestado como el tipo de interés son datos conocidos. Los
términos amortizativos, que tienen por objetivo devolver el capital prestado y los intereses
reciben el nombre de: anualidades, mensualidades, semestrales, etc. Dependiendo de la
periocidad. Evolución de las variables más significativas de un préstamo:
Las variables más significativas son:
Notación Variable Significado Relaciones
Capital prestado Capital que entrega el prestamista en
el origen de la prestación ??+

+!
Capital vivo Deuda pendiente al final del periodo ??
?? +

+! L
??+

+!
??Capital amortizado Deuda amortizada al final del periodo
?? ????+

+!
??
Cuota de interés Interés que devenga el préstamo en el
periodo ??
: 5 4
Cuota de Disminución que experimenta el :
amortización capital vivo en el período ??.
??Término amortizado Cantidad que el prestatario entrega al
prestamista de forma periódica para
amortizar el préstamo.
??
Todas estas variables se suelen presentar en una tabla de doble entrada en la que se recogen
los valores que toman a lo largo de la duración del préstamo.
Período (s) Término
amortizado ¶·
Cuota de interés ¸· Cuota de
amortización ·
Capital vivo ¹·
0 – – –
1 ??5 4
2 ??

5 4

– – – – –
S ?? : 5 4 :
– – – – –
n ??: 5 4
Y si se plantea en otro momento del tiempo, obtenemos el capital vivo, que en función del
método elegido es igual a:
Método prospectivo
?? L& 4: ?? L
& 4:
??& 4:: ?? ??+& 4:+:

+! L
Método retrospectivo
& 4 ?& =»»?> : ??= & 4????+& 4 :+

+!
Método recurrente
:& 4 ??
10.3 Valor del préstamo
Dado que los préstamos son operaciones financieras a largo plazo es habitual que los tipos de
interés vigentes en los mercados financieros varíen a lo largo del tiempo. Si en un momento
determinado de la vida del préstamo, el prestamista quiere transmitir sus derechos sobre los
términos amortizativos a un tercero, tiene que valorarlos al tipo de interés vigente en ese
momento en el mercado. El capital que se obtiene de esta forma en un punto intermedio de la
vida del préstamo es el valor del préstamo y se obtiene actualizando a ese momento los
términos amortizativos que faltan por entregar, utilizando para ello el tipo de interés de
mercado (4′).
La diferencia que existe entre el capital vivo y el valor del préstamo es el tipo de interés que se
utiliza. (??4 ; ??4′ )
?? L& 4: ?? L
& 4:
??& 4:: ?? ??+& 4:+:

+! L
?? L& 4′: ?? L
& 4′:
??& 4′:: ?? ??+& 4′:+:

+! L
10.4 Amortización de un préstamo a través de un solo pago
Préstamo elemental o simple, se caracteriza porque
la contraprestación está formada por un solo capital.
Capital final es:
& 4
El capital vivo en un momento intermedio ?? es:
„X Método retrospectivo: & 4
„X Método prospectivo:& 4::
„X Método recurrente: :& 4
La cantidad que el prestatario tiene que entregar al prestamista en concepto de intereses es la
diferencia entre y :
& 4 &> &=
10.5 Amortización de un préstamo por el método francés.
Definición
Se caracteriza porque tanto los términos amortizativos como el tipo de interés son constantes.
Cálculo de los términos amortizativos.
Se plantea la ecuación de equivalencia financiera entre la prestación y la contraprestación en
el origen de la operación.
??& 4: ??
& 4:
??& 4: ?? 5 º_:.^4
??

ºE^R
& & 4:
4

5 4
& & 4
Cálculo del capital vivo
Equivale a la deuda pendiente de amortizar en un momento determinado. Se puede optar por
cualquiera de los tres métodos que existen, teniendo en cuenta que el saldo se obtiene por la
derecha, es decir, una vez que se haya pagado el término amortizativo que vence en ese
momento.
Método prospectivo
??& 4: ??& 4:
??& 4:: ?? 5 º_:.^4
Si desarrollamos la expresión anterior podemos obtener el capital vivo en el periodo s a partir
del capital prestado:
?? 5 º_:.^4

ºE^4
ºE^4
ºEJKL
ºE^4
Método restrospectivo
& 4 ?& =»»?> : ??& 4 :
??= & 4 ?? 5 ..^4
Estructura del término amortizado y cuotas de amortización
Definíamos el término amortizativo como la suma de la cuota de interés y la cuota de
amortización. Vamos a comprobar esa definición a partir del saldo financiero obtenido por el
método recurrente:
Capital vivo en un período ??:
:& 4 ??
Si en esa expresión despejamos el valor del término amortizado:
?? :& 4 : 5 4 :
Es decir, el término amortizativo es igual a la suma de la cuota de interés o intereses que
genera el capital vivo del período anterior en el período ??, 4=, más la cuota
amortización o disminución que experimenta el capital vivo en el periodo a otro,
: .
En un préstamo que se amortiza por el método francés, las cuotas de amortización siguen una
relación de recurrencia que permite obtener las de un período en función de las obtenidas en
un período anterior. Para obtener dicha relación obtenemos el capital vivo en dos períodos
consecutivos por el método recurrente y a continuación restaremos, miembro a miembro,
ambas expresiones.
:& 4 ??
L & 4 ??
L : 5 & 4
El primer miembro del resultado obtenido es igual a la cuota de amortización del período s+1
(As+1). El segundo miembro es igual a la cuota de amortización del período s () multiplicado
por el factor (1+i).
L : 5 & 4 # L 5 & 4
En el método francés las cuotas de amortización varían en progresión geométrica de razón
& 4. Podemos obtener la cuota de amortización de cualquier período a partir de la del
primero:
:& 4 & 4 :
Para calcular la cuota de amortización del primer período hay dos procedimientos:
„X Si conocemos el término amortizativo constante que amortiza el préstamo, el cálculo
de la cuota de amortización del primer período es inmediato a través de la siguiente
ecuación:
?? 5 4 # ?? 5 4
„X Si se desconoce el valor del término amortizativo constante se puede calcular la cuota
de amortización del primer período a partir de la relación entre el capital prestado y
las cuotas de amortización.
??+

+!
Teniendo en cuenta la relación entre las cuotas, la ecuación se puede reescribir:
??+

+!
& 4 & 4:
5 &>:=
Lo que hay dentro del corchete es igual al valor final de una renta unitaria, temporal y
pospagable:
5 &>:= 5 ^R#

^R
Cálculo del capital amortizado
El capital amortizado es igual a: ??9 +

+! Basándonos en la relación de recurrencia entre
las cuotas de amortización:
Cuantía del capital amortizado:
??5 ^R# ??
Teniendo en cuenta que el capital vivo se puede escribir como:
ºE^S
ºE^4
, el cálculo del
capital amortizado también se puede calcular:
??
».¼½JKL
».^¾
& ».¼½JKL
».^¾
)
10.6 Amortización de un préstamo a través del método de cuotas de
amortización constantes.
Definición
Las cuotas de amortización y el tipo de interés son constantes para toda la duración de la
operación. En cambio, los términos amortizativos para cada período son variables.
Cuota de amortización constate y término amortizativo
El cálculo de la cuota de amortización:
??+

+!
#

Si la cuota de amortización es constante, el término amortizativo ha de ser variable puesto que
es igual a la suma de la cuota de amortización (constante) más la cuota de interés (variable).
?? : 5 4
?? L 5 4
?? ?? L : 5 4
Reorganizando:
?? ?? L : 5 4 5 4 # ?? L ?? 5 4
Es decir, los términos amortizativos en un préstamo que se amortiza por el método de cuotas
de amortización constante van disminuyendo en progresión aritmética de razón 5 4. Se puede
obtener cualquier término si se conoce el primero.
???? ?? & 5 5 4¿ÀE??5 4 5 5 4 5 & 5 4
Cálculo del capital vivo y del capital amortizado
A partir de las cuotas de amortización que faltan por entregar o a partir de las ya entregadas:
?? + ??

+! L
??+ Á ?? 5

+!
Capital amortizado:
????+ ?? 5

+!
10.7 Amortización de un préstamo a través del método americano
Definición
Consiste en entregar sólo las cuotas de interés que correspondan durante los & primeros
períodos. En el último período se paga, además de la cuota de interés correspondiente, la
totalidad del capital prestado.
El esquema gráfico es el siguiente:
Término amortizativo, cuotas de interés y cuotas de amortización
El término amortizativo durante los períodos (??U ??:) coincide con la cuota de interés:
????
??: 5 4
En el período se abona la cuota de interés más la totalidad del capital prestado.
??5 4
Si el tipo de interés se mantiene constante durante la vida del préstamo, las cuotas de interés
son iguales:

5 4
Las cuotas de amortización son nulas hasta el último período en el que se amortiza la totalidad
del capital prestado.

: #
Capital vivo y capital amortizado
El capital vivo en un momento intermedio de la operación es igual al capital:

: #
El capital amortizado es igual a cero durante los & primeros:
????
??: # ??
10.8 amortización de un préstamo por el método sinking-fund
Definición
Se trata de un método que combina una operación de amortización por el método americano
con una operación de constitución o de formación del capital que hay que pagar al finalizar la
duración del préstamo.
El prestatario tiene que hacer frente periódicamente a dos pagos: por un lado las cuotas de
intereses del préstamo y, por otro lado, las cantidades que ha de aportar al fondo de
capitalización para que cuando llegue el final de la duración del préstamo pueda disponer del
principal.
Dado que se trata de operaciones financieras distintas, lo normal es que los tipos de interés
también lo sean. Los pagos en cada período serán:
„X Las cuotas de interés del préstamo (método americano)

5 4
„X Las aportaciones constantes y pospagables al fondo han de ser de una cuatía tal que
permita disponer del principal del préstamo al finalizar la duración de la operación.
5 ^4Â #

^4Â
Saldo de la operación conjunta
Tiene sentido en un momento intermedio de la operación para saber cuál es la cantidad que el
prestatario tiene que abonar al prestamista si decide cancelar el compromiso.
Para ello hay que restar de la deuda que se mantiene por el préstamo, la cantidad a la que
tiene derecho el prestatario en la operación de constitución.
En un momento ??:
.ºDXÀÀÃÄÅº¿SÆEXÄÃÅÇºTÀÈ
.ºDXÀÀÃÄÅº¿SÆEXÄ¿ÀESÉ¿SÆEÈ 5 ^4Â # .ºDXÀÀÃÄÅº¿SÆE¿ÀEÊÉEºÈ 5 ^4Â
11. Préstamos (II)
11.1. Amortización de préstamos con períodos de carencia
Definición
La carencia en un préstamo implica que durante algunos períodos el prestatario no entrega
nada o entrega sólo una parte de lo que tendría que pagar si no hubiera esa carencia.
Suele producirse en los primeros años de vida del préstamo.
Puede ser de dos tipos:
„X Carencia total. El prestatario no entrega nada.
„X Carencia parcial. El prestatario entrega la cuota de interés pero no amortiza capital.
Carencia total
El esquema gráfico es el siguiente:
Si consideramos que la carencia total se prolonga durante los ??primeros perí¬odos de vida del
préstamo, el capital que hay que amortizar en el período ?? ya no es , sino el capital vivo en
dicho instante (). El capital a amortizar.
& 4
La ecuación de equivalencia financiera que relaciona el capital vivo en ?? y los términos
amortizativos del préstamo es la siguiente:
5 & 4?? ??+& 4:+L

+! L
Método francés
Tenemos la siguiente expresión:
5 & 4?? 5 º: ^4
Basta con despejar el valor del término amortizativo para saber cuánto tiene que pagar el
prestatario a lo largo de los ?? períodos para poder amortizar el préstamo.
??
5 & 4
º: ^4
Método de cuotas de amortización constante
El valor de la cuota de amortización constante es:
5 & 4?? +

+! L
L L
?? 5 #
5 & 4
EË
Las demás variables en ambos métodos se obtienen según la metodología habitual.
Carencia parcial
También conocida como carencia en cuotas de amortización.
El esquema gráfico es el siguiente:
Teniendo en cuenta que el capital que se adeuda cuando acaba el período de carencia () es
el mismo que el capital prestado (), la ecuación de equivalencia en el momento ?? es:
?? ??+& 4:+L

+! L
a
Método francés
El término amortizativo constante en el momento ?? es:
?? 5 º: ^4 # ??

º: ^4
a
Método de cuotas de amortización constante
El valor de la cuota de amortización constante es:
?? +

+! L
L L
?? 5 #

EË
a
11.2. Amortización de préstamos con los intereses fraccionados
Las cuotas de interés se entregan con una periodicidad distinta a la de las cuotas de
amortización. Los intereses se abonan fraccionadamente a lo largo del año y las cuotas de
amortización se entreguen al finalizar dicho año.
En un año cualquiera ??, las cuotas de interés fraccionadas que tiene que pagar el prestatario
son iguales a:

6 6 : 5 46 # 46
>6
7
& 4
6
&
Desde el punto de vista financiero, es equivalente pagar las cuotas de interés fraccionadas a un
tipo de interés 46 que pagar una única cuota de interés al final del año a tipo de interés 4.
La equivalencia financiera entre las cuotas de interés fraccionadas y la cuota de interés anual
se comprueba fácilmente:
: 5 46 5 6^RÌ : 5 46 5 ®
& 46 &
46
: 5 46 5
4
46
: 5 4
Lo que cambia es que en el cuadro de amortización hay que habilitar tantas filas en cada año
como fraccionamiento exista en las cuotas.
Método francés
Las cuotas de amortización anuales son:

^R
# 5 & 4 :
Se calculan los capitales vivos de cada período a través de la relación
:
Después se calculan las cuotas de interés fraccionadas:
I : 5 46
Los términos amortizativos se calculan sumando las cuotas de interés y las cuotas de
amortización.
Método de cuotas de amortización constantes
Primero se obtienen las cuotas de amortización constantes:

Se calculan los capitales vivos de cada período a través de la relación
:
Después se calculan las cuotas de interés fraccionadas:
I : 5 46
Los términos amortizativos se calculan sumando las cuotas de interés y las cuotas de
amortización.
11.3. Amortización de préstamos que se valoran con más de un tipo de
interés
El esquema gráfico es el siguiente:
Aplicando la propiedad de aditividad de las rentas, la ecuación de equivalencia financiera entre
prestación y la contraprestación es igual a:
????+& 4:+
I
+!
?? ??I& 4′:+:I

+!IL
5 & 4:I
Suponemos que los términos amortizativos son constantes (????I ????)
La ecuación de equivalencia financiera es la siguiente:
?? 5 ºI^R ?? 5 º:I^R- 5 & 4:I
El capital vivo según el sub-intervalo en el que se encuentre:
„X ?? q K: 5 & 4 ?? 5 ^R
„X K ?? q : ?? 5 ºI^R-
Para obtener las cuotas de amortización se puede recurrir a la diferencia entre los capitales
vivos en dos períodos consecutivos, : , o utilizar la relación de recurrencia entre
las cuotas de amortización del método francés.
Las distintas expresiones que permiten calcular las cuotas de amortización en función del
intervalo se resumen en esta tabla:
Intervalo Cuotas de amortización
?? q K 5 & 4 : ?? 5 4
?? K & IL I IL I ?? 5 º:I^R-
IL ?? 5 º:IL^R-
K ?? q IL 5 & 40 :IL IL I IL
11.4. Amortización de préstamos hipotecarios
Definición
El objetivo central de un préstamo hipotecario es la adquisición de un bien inmueble. Además
de la garantía personal del prestatario, dicho bien queda afectado como garantía del pago del
préstamo. Por esto el tipo de interés que se aplica en este tipo de préstamos suele ser bajo.
Suelen ser de cuantía elevada (en torno al 80% del valor de tasación del bien).
Se suele establecer una duración bastante amplia (25-30 años).
Gastos e impuestos en los préstamos hipotecarios
Distinguimos dos tipos de gastos:
„X Los que se pagan al prestamista
„X Comisión de apertura y de estudio. Porcentaje sobre el principal, con un
importe mínimo.
„X Comisión de cancelación anticipada. Si el tipo de interés es variable, no puede
superar el 1% del capital amortizado. Si es fijo, la comisión máxima es del
2,5%.
„X Los que se pagan a terceros
„X Gastos de tasación del bien inmueble sobre el que se constituye la hipoteca.
„X Verificaciones regístrales. Son tasas que se abonan al Registro de la Propiedad
para comprobar la titularidad y el estado de cargas del bien.
„X Gastos de notaría por la constitución de la escritura de compra-venta y del
préstamo hipotecario.
„X Gastos de Registro de la Propiedad. Por registrar las escrituras y la suscripción
del préstamo.
„X Gastos de Gestoría, si se contratan.
„X Seguro de incendios del bien a hipotecar y de vida del prestatario.
En cuanto a los impuestos, la normativa actual establece que el prestatario tiene que abonar el
Impuesto de Actos Jurídicos Documentados (IAJD), que es el 0,5% del valor de la garantía
hipotecaria.
La Asociación Hipotecaria Española (AHE) recomienda que el suscriptor de un préstamo
hipotecario debe tener en cuenta que, aproximadamente, el 10% del precio de la vivienda se
debe destinar al pago de gastos e impuestos.
Tipos de interés y métodos de amortización
„X Concertados a tipo fijo. El importe de los términos amortizativos se mantiene
constante, por lo que la inflación juega a favor del prestatario.
„X Concertados a tipo variable. El tipo resultante surge de aplicar a un índice, que se
toma como referencia, un margen o diferencial. El tipo de interés se ajusta
periódicamente en función del comportamiento de la referencia tomada como base.
Los índices habituales son:
ƒæ Euribor a un año.
ƒæ MIBOR a un año.
ƒæ El índice de la CECA.
ƒæ El TAE de los préstamos hipotecarios que están aplicando los bancos.
ƒæ El rendimiento interno de la deuda pública.
El método de amortización más utilizado en préstamos hipotecarios es el método francés.
Otro método que se usa con frecuencia consiste en entregar un término amortizativo fijo
aunque el tipo sea variable. Cuando se revisa el interés, el plazo de la operación se recalcula
para que la cuota siga siendo la misma. Cuando interés sube, la duración se alarga y cuando
baja, se acorta.
11.5. TAE Y tantos efectivos en los préstamos
El Banco de España en su circular 8/90 aclara cómo han de calcular las entidades financieras el
TAE. La norma octava, en el 4º apartado establece que en el cálculo del TAE se incluirán las
comisiones y demás gastos que devengan a favor de la entidad, pero no se tendrán en cuenta
los gastos complementarios o suplidos.
El TAE no es un buen indicador del coste real del préstamo puesto que no incorpora los gastos
y comisiones que el prestatario abona a terceros.
Si el prestatario quiere conocer cuál es el coste real del préstamo tiene que calcular el tanto
efectivo a través de la ecuación de equivalencia financiera que relacione en el origen de la
operación la prestación real con la contraprestación real teniendo en cuenta, además de los
términos amortizativos del préstamo, todos los gastos, comisiones e impuestos.
12. Empréstitos normales
12.1 Definición
Es una modalidad de préstamo que consiste en dividir el importe total en partes iguales, cada
una de ellas representadas por un título-valor, denominado obligación, que otorga a sus
poseedores los mismos derechos. De esta forma el prestatario obtiene los recursos necesarios
para financiar sus proyectos de inversión a un coste inferior que si lo solicitase a un único
prestamista y los prestamistas ceden sus ahorros con una rentabilidad mayor que
invirtiéndolos en depósitos y a unos niveles de riesgo razonables.
12.2. Elementos y variables más significativas de un empréstito
El prestatario se denomina emisor y es el que fija las condiciones (duración, tipos de interés,
modalidad de amortización y demás cláusulas) en sintonía con el mercado.
A los prestamistas se les denomina obligacionistas y todos tienen los mismos derechos.
Un empréstito es una operación financiera con un único prestatario y múltiples prestamistas.
Las variables significativas son:
„X : Valor nominal de cada obligación.
„X : Número de obligaciones emitidas.
„X : Valor nominal del empréstito.
„X : Duración del empréstito.
„X 4: Tipo de interés ofrecido.
„X ??: Término amortizativo del empréstito.
„X ??: Número de obligaciones que se amortizan en el período ??.
„X : Número de obligaciones vivas que quedan al final del período ??.
„X : Capital vivo del empréstito al final del período ??.
Podemos situar estas variables en el siguiente esquema:
Relaciones entre las variables
El número de títulos emitidos () es igual a la suma de todos los títulos que se amortizan en
cada período (??+).
????+

+!
?? ??
??
Los títulos amortizados en un período cualquiera se pueden obtener a partir de la diferencia
entre los títulos vivos en dos períodos consecutivos:
: ??
Los títulos vivos en un período cualquiera se pueden obtener restando de los títulos vivos al
principio de ese período los títulos amortizados en dicho período.
????+

+!
????
??
Todas estas variables pueden quedar resumidas en un cuadro de amortización con la siguiente
distribución:
El cuadro de amortización puede ser teórico o real.
El cuadro teórico comprende los títulos amortizados y vivos en números enteros. Dado que los
títulos no pueden fraccionarse, hay que proceder a realizar algún tipo de ajuste para que el
cuadro reconozca los títulos reales a amortizar. Para ello se aplica el método de redondeo de
las amortizaciones teóricas. Consiste en prescindir de las partes decimales sumando las partes
enteras por defecto. Se redondean por exceso los títulos amortizados que tengan la parte
decimal más alta hasta conseguir la diferencia existente entre los títulos emitidos y la suma de
las partes enteras por defecto.
12.3. Clasificación
Criterio Tipo de empréstito Descripción
Pago de
intereses
Cupón periódico Los intereses se pagan al final de cada período.
Cupón cero Los intereses se pagan de forma acumulada en el
momento en que se amortiza el título.
Amortización Amortización por
sorteo
La amortización de los títulos se realiza a lo largo de la
vida del empréstito de acuerdo con un sorteo que decide
qué obligaciones en concreto se amortizan.
Amortización por
reducción del
nominal
La amortización de los títulos se realiza a lo largo de la
vida del empréstito reembolsando cada año una parte del
valor nominal.
Amortización
única
Todas las obligaciones se amortizan de una vez.
Deuda perpetua No hay compromiso de amortización.
Valor de
reembolso
Amortización por el
nominal
A cada obligación amortizada se le reembolsa su valor
nominal.
Amortización por
prima
A todas las obligaciónes se les reembolsa por su valor
nominal más una cantidad adicional.
Amortización por lote A las obligaciones que resultan premiadas en un sorteo se
les entrega una cantidad adicional.
Características
ofertadas
Normales Los términos amortizativos se destinan al pago de
intereses y reembolso de las obligaciones por su valor
nominal.
Con
características
comerciales
Los términos amortizativos comprenden además del pago
de intereses y reembolso del principal, una serie de
contraprestaciones adicionales.
Valoración
financiera
Tipo I Los términos amortizativos y los tipos de interés son
constantes.
Tipo II Los términos amortizativos son variables y los tipos de
interés son constantes.
Tipo III Los términos amortizativos y los tipos de interés son
variables.
12.4. Empréstitos que se amortizan por sorteo
Empréstitos con pago de intereses periódicos o cupones vencidos
El emisor abona en cada período a los poseedores de los títulos que permanecen vivos los
intereses correspondientes a ese período y amortiza por su valor nominal los títulos que
correspondan de acuerdo con el plan de amortización.
En este gráfico se refleja la corriente de pagos que recibe el poseedor de un título que resulta
amortizado en el año ??.
Este tipo de empréstitos están formadas por obligaciones de tipo americano.
El término amortizativo de un empréstito es el importe que el emisor entrega al conjunto de
obligacionistas en cada período.
?? 5 45 : 5 ??
El esquema gráfico, considerado desde el punto de vista del emisor, es el siguiente:
El estudio del empréstito resultante se hace a partir del establecimiento de una serie de
hipótesis sobre los términos amortizativos y los tipos de interés
Empréstitos Tipo I
Se caracterizan porque los términos amortizativos y los tipos de interés son constantes.
La estructura interna del término amortizativo es:
?? 5 4 5 : 5 ??
El término amortizativo constante es:
5 ?? 5 º^R # ??
5
º^R
El capital vivo (empréstito vivo) se puede obtener por el método prospectivo:
?? 5 º: ^R
Los títulos vivos que quedan al final del período ?? son:
5 ?? 5 º: ^R #
?? 5 º: ^R

También se puede conocer este dato sin necesidad conocer el término amortizativo:

?? 5 º: ^R

5
º^R
5 º: ^R

5
º: ^R
º^R
Para conocer el plan de amortización de los títulos restaremos las estructuras de los términos
amortizativos de dos períodos consecutivos:
Año ??: ?? 5 4 5 : 5 ??
Año ?? &: ?? 5 4 5 5?? L
Efectuamos la diferencia:
5 4 5 : 5?? 5 ?? L
Teniendo en cuenta que ?? : :
?? L ??5 & 4 ??5 & 4
Podemos conocer los títulos que se amortizan en cualquier período a partir de los títulos
amortizados en el primer período, de dos formas:
„X Planteando la estructura del término amortizativo en el primer período
ZÍÀ&È?? 5 4 5 5??# ??
5 4 5

„X A partir de la relación de recurrencia ya descrita
????+

+!
????
???? ??5 & 4 ??5 & 4:
??5 &>:= ??5 ^R # ??

^R
Empréstitos Tipo II
Los términos amortizativos son variables y el tipo de interés es constante.
El caso más habitual:
????
????
El número de títulos que se amortizan cada año es:
????+

+!
5 ?? # ??

Los títulos vivos que quedan al principio de cada año son:
????+

+!
5?? ?? 5?? ?? 5 ??
El término amortizativo de cada año es:
?? 5 4 5 : 5 ??
Restamos los términos amortizativos de dos períodos consecutivos:
?? 5 4 5 : 5 ??
?? L 5 4 5 5 ??
?? ?? L 5 4 5 :
El término amortizativo ?? L puede calcularse a partir del término amortizativo del período
anterior.
?? ?? L 5 4 5 : 5 4 5 ?? # ?? L ?? 5 4 5 ??
Los términos amortizativos varían en progresión aritmética de razón decreciente 5 4 5??.
Los términos amortizativos en función del término correspondiente al primer año:
?? L ?? ?? 5 5 4 5??¿ÀE?? 5 4 5 5??
Empréstitos con pago de intereses acumulados (cupón cero)
El obligacionista al que, por sorteo, se le amortiza una obligación en el período ??, recibirá en
ese momento el montante generado por el valor nominal.
Se les denomine como empréstitos formados por obligaciones simples.
El término amortizativo es:
??>= 5?? 5Î& 4+

+!
5??
El esquema gráfico es el siguiente:
Empréstitos Tipo I
Estructura del término amortizativo:
?? > 5 & 45 ??
Valor del término amortizativo constante:
5 ?? 5 º^R # ??
5
º^R
La diferencia entre este y el tipo americano radica en la estructura interna del término
amortizativo.
Cálculo del empréstito vivo por el método prospectivo:
?? 5 º: ^R
Títulos vivos que quedan al final del período ??:
?? 5 º: ^R #
?? 5 º: ^R
5 & 4
También se puede conocer este dato sin necesidad conocer el término amortizativo:

?? 5 º: ^R
5 & 4
5
º^R
5 º: ^R
5 & 4 5 & 45
º: ^R
º^R
Comparamos las ecuaciones de los términos amortizativos de dos períodos consecutivos:
?? 5 & 45 ??
?? 5 & 4 L 5 ?? L
Ï # 5 & 45?? 5 & 4 L 5 ?? L # ?? L ??5 & 4:
Tomando esa relación de recurrencia como base, podemos obtener las obligaciones que se
amortizan en cualquier período a partir de las amortizadas en el primer período.
?? L ??5 & 4:
Las obligaciones que se amortizan en el primer período se pueden obtener:
„X Teniendo en cuenta el término amortizativo del primer período.
?? 5 & 4 5??# ??
??
5 & 4
„X Teniendo en cuenta la relación que existe entre los títulos emitidos y los títulos
amortizados en cada período.
????+

+!
?? ??
???? ??5 & 4: ??5 & 4::
??5 Ð& & 4: & 4::Ñ ??5 º^R # ??

º^R
Empréstitos Tipo II
El caso más habitual:
????
??
Número de títulos que se amortiza cada año.
??

Títulos vivos que quedan al principio de cada año:
?? 5 ??
Los términos amortizativos de cada período:
?? 5 & 45 ??
Van aumentando en progresión geométrica de razón & 4.
12.5. Empréstitos que se amortizan por reducción del nominal
En cada período, el emisor entrega a los obligacionistas los intereses calculados sobre el
empréstito vivo así como la parte del valor nominal que corresponda amortizar.
Consideramos las siguientes variables:
„X ??.: Nominal vivo al principio del período ?? &.
„X : Nominal amortizado a cada título en el período ??
??+

+!
Estructura del término amortizativo:
?? : 5 4 5 5 : 5 4 5
Lo más habitual es:

Valor del nominal amortizado:
5 #

Los términos amortizativos disminuyen en progresión aritmética de razón 5 5 4:
?? ??
5 5 >
?? 5 5 4
12,6. Empréstitos con amortización única
Lo único que entrega el emisor de forma periódica son los intereses que devengan las
obligaciones emitidas. El plan de amortización de los títulos no existe, sólo hay que calcular los
términos amortizativos de cada período:
„X Periodo&¯ E &: ?? 5 4 5
„X Periodo : ?? 5 4 5 5
12.7. Empréstitos no amortizables
El emisor se compromete a pagar únicamente los intereses periódicos pactados, pero no tiene
obligación alguna de amortizarlos, aunque se reserva esa posibilidad en el caso de que los
tipos de interés evolucionen a la baja.
La estructura del término amortizativo:
?? 5 4 5
12.8. Bonos y obligaciones del estado
Son valores emitidos por el Tesoro de características coincidentes excepto en el plazo: los
bonos, de 2 a 5 años; las obligaciones, más de 5 años. Actualmente el catalogo de emisiones es
el siguiente:
„X Bonos: Se emiten a un plazo de 3 y 5 años.
„X Obligaciones: Se emiten a un plazo de 10, 15 y 30 años.
El valor nominal de cada título es de 1000 € y se pueden adquirir mediante:
„X Subasta competitiva. Los inversores presentan sus peticiones al emisor, en las que se
reflejan los precios que están dispuestos a pagar por los valores. El emisor decide el
precio mínimo que acepta recibir y rechaza todas las peticiones cursadas a un precio
inferior.
„X Subasta no competitiva. Sólo se indica el importe nominal que se desea adquirir. El
precio por los valores es el precio medio ponderado que resulte de la subasta.
Son títulos con intereses periódicos en forma de cupón. Se paga cada año y está sujeto a IRPF
con retención a cuenta en el momento del cobro (actualmente 15%).
En el vencimiento, el poseedor recibirá el valor nominal (1000 €).
Para calcular la rentabilidad es necesario establecer la ecuación de equivalencia financiera que
relaciona el precio con la corriente de intereses más el valor nominal.
Normalmente el momento en que se paga el precio del título no coincide con el momento en
que empieza a generarse el derecho a recibir los cupones, se produce un diferimiento.
Ecuación de equivalencia financiera permite conocer la rentabilidad.
?? & 4: *
W. 5 >^R & & 4:= # 4
Donde:
??: Precio pagado por el bono u obligación.
: Cupones periódicos.
: Duración.
: Diferimiento.
Esta es la rentabilidad que ofrece el Tesoro. No es la rentabilidad real ya que no se han tenido
en cuenta las comisiones que se pagan a los intermediarios financieros ni tampoco la fiscalidad
a la que están sujetos estos instrumentos financieros.
13. Empréstitos con características comerciales
13.1. Las características comerciales
Características comerciales ¿A qué afectan?
Estructura del
término
Tanto efectivo
emisor
Tanto efectivo
obligacionistas
Unilaterales Gastos iniciales No Sí No
Gastos finales No Sí No
Gastos de
administración
Sí Sí No
Impuestos No Sí Sí
Bilaterales Prima de emisión No Sí Sí
Prima de
amortización
Sí Sí Sí
Lote Sí Sí Sí
Amortización seca Sí Sí Sí
13.2. Proceso de normalización
En los casos en que las características comerciales afectan a la estructura del término
amortizativo es necesario proceder a normalizar el empréstito.
La normalización de un empréstito con características comerciales suele seguir los siguientes
pasos:
a) Se establece la estructura del término amortizativo o anualidad comercial
incorporando las características comerciales que la modifiquen.
b) Se realizan las operaciones necesarias para conseguir una estructura similar a la
de un empréstito normal.
c) Se resuelve el empréstito, obteniéndose la anualidad normalizada.
d) Se deshacen las operaciones realizadas en el apartado b) para calcular la
anualidad comercial, que es la que realmente amortiza el empréstito.
13.3. Normalización de empréstitos con pago periódico de intereses
Estructura de un empréstito normal:
?? 5 4 5 : 5 ??
Gastos de administración () periódicos para el emisor
Estructura de la anualidad:
??% 5 4 5 : 5 ?? 5 &
Reordenando:
??%
&
5 4 5 : 5 ??
Haciendo el cambio de variable Ò ±Ó
L
obtenemos la estructura de un empréstito normal
con pago periódico de intereses:
Ò 5 4 5 : 5 ??
Anualidad normalizada:
5 Ò 5 º^R # Ò
Anualidad comercial:
Ò
??%
&
# ??% Ò 5 &
El empréstito vivo se calcula también a partir de la anualidad normalizada:
5 Ò 5 º: ^R #
Ò 5 º: ^R

Los títulos amortizados se obtienen a partir de las relaciones del tema anterior.
Prima de amortización (??±)
Estructura de la anualidad comercial:
??% 5 4 5 : ??± 5??
Divimos por ??±:
??%
??±

5 4
??±
5 : ??
Multiplicamos por :
??% 5
??±
5
5 4
??±
5 : 5 ??
Realizamos dos cambios de variables:
Ò 5 4″ 5 : 5 ??¿ÀE
Ô Õ
Ö

Ò
??% 5
??±
4″
5 4
??±

× Ø
Ù
Anualidad normalizada:
5 Ò 5 º^R- # Ò
Anualidad comercial:
Ò
??% 5
??±
# ??%
Ò ??±

El empréstito vivo y el número de obligaciones vivas se pueden calcular por el método
prospectivo a partir de la anualidad y el tipo de interés normalizado.
5 Ò 5 º: ^R- #
Ò 5 º: ^R-

Obligaciones que se amortizan en cada período:
????5 & 4″ :¿ÀE??

: ^R-
Lote ()
El proceso de normalización es similar a los casos anteriores y se resumen de la siguiente
forma:
„X Estructura de la anualidad comercial
??% 5 4 5 : 5 ??
„X Normalización
??% 5 4 5 : 5 ??
„X Cambio de variable
Ò ??% a 4″ 4
„X Anualidad normalizada
5 Ò 5 º^R # Ò
„X Obtención de la anualidad comercial
??% Ò
„X Cálculo de los títulos vivos
5 Ò 5 º: ^R #
Ò 5 º: ^R

„X Cálculo de los títulos amortizados
????5 & 4 :JQRSJ??

: ^R
Amortización seca o ex-cupón
El emisor no abona los intereses del período a las obligaciones amortizadas en dicho período.
„X Estructura de la anualidad comercial
??% 5 4 5 : 5 ?? 5 4 5 ?? 5 4 5 : 5 & 4 5 ??
„X Normalización
??%
& 4
5
4
& 4
: 5??
„X Cambio de variable
Ò
??%
& 4
a 4″
4
& 4
„X Anualidad normalizada
5 Ò 5 º^R- # Ò
„X Obtención de la anualidad comercial
??% Ò 5 & 4
„X Cálculo de los títulos vivos
5 Ò 5 º: ^R- #
Ò 5 º: ^R-

„X Cálculo de los títulos amortizados
????5 & 4″ :JQRSJ??

: ^R-
Los dos siguientes presentan combinación de varias características comerciales
Lote constante () y gastos de administración ()
„X Estructura de la anualidad comercial
??% 5 4 5 : 5 ?? &
„X Normalización
??%
&
5 4 5 : 5??
„X Cambio de variable
Ò
??%
&
a 4″ 4
„X Anualidad normalizada
5 Ò 5 º^R # Ò
„X Obtención de la anualidad comercial
??% Ò &
„X Cálculo de los títulos vivos
5 Ò 5 º: ^R #
Ò 5 º: ^R

„X Cálculo de los títulos amortizados
????5 & 4 :JQRSJ??

: ^R
Lote constante () y Prima de amortización (??±)
„X Estructura de la anualidad comercial
??% 5 4 5 : ??± 5 ??
„X Normalización
??% 5
??±
5
5 4
??±
5 : 5 ??
„X Cambio de variable
Ò
??% 5
??±
a 4″
5 4
??±
„X Anualidad normalizada
5 Ò 5 º^R- # Ò
„X Obtención de la anualidad comercial
??%
Ò ??±

„X Cálculo de los títulos vivos
5 Ò 5 º: ^R» #
Ò 5 º: ^R»

„X Cálculo de los títulos amortizados
????5 & 4′ :JQRSJ??

: ^R»
13.4. Normalización de empréstitos con pago acumulado de intereses
El objetivo en este tipo de empréstitos es convertir la anualidad comercial en la del empréstito
normal a través del proceso de normalización.
?? 5 & 45??
Gastos de administración (g)
„X Estructura de la anualidad comercial
??% >5 ??=&
„X Normalización
??%
&
5 & 45 ??
„X Cambio de variable
Ò
??%
&
a 4″ 4
„X Anualidad normalizada
5 Ò 5 º^R # Ò
„X Obtención de la anualidad comercial
??% Ò&
„X Cálculo de los títulos vivos
5 & 45 Ò 5 º: ^R #
Ò 5 º: ^R
5 & 4
„X Cálculo de los títulos amortizados
????5 & 4: LJQRSJ??

??^R
Lote constante (L)
„X Estructura de la anualidad comercial
??% 5 & 45 ??
„X Normalización
??% 5 & 45??
„X Cambio de variable
Ò ??% a 4″ 4
„X Anualidad normalizada
5 Ò 5 º^R # Ò
„X Obtención de la anualidad comercial
??% Ò
„X Cálculo de los títulos vivos
5 & 45 Ò 5 º: ^R #
Ò 5 º: ^R
5 & 4
„X Cálculo de los títulos amortizados
????5 & 4: LJQRSJ??

??^R
Amortización seca
„X Estructura de la anualidad comercial
??% 5 & 4 : 5 ??
„X Normalización
??% 5 & 4 5 & 45 ??
„X Cambio de variable
Ò ??% 5 & 4a 4″ 4
„X Anualidad normalizada
5 Ò 5 º^R # Ò
„X Obtención de la anualidad comercial
??%
Ò
& 4
„X Cálculo de los títulos vivos
5 & 45 Ò 5 º: ^R #
Ò 5 º: ^R
5 & 4
„X Cálculo de los títulos amortizados
????5 & 4: LJQRSJ??

??^R
13.5. Duración o vida de los títulos
Cuando se emite un empréstito con amortización única o por reducción del nominal, todos los
títulos tienen la misma duración. Cuando la amortización es por sorteo no se conoce en el
momento de la emisión la duración que tiene cada título. Situados en el momento de la
emisión, la duración de un título es una variable aleatoria con la siguiente distribución de
probabilidad:
Valores de la variable Probabilidad asociada
&
¯

??Ú
??
Ú

??Ú
Para obtener la duración de un título existen varias medidas.
Vida media
Esperanza matemática del número de años que puede permanecer en circulación un título:
7 & 5
??

¯ 5
??

5
??

??/ 5
??+

+!
Vida financiera o matemática
Es el momento en el que habría que amortizar todos los títulos vivos del empréstito para que
sea financieramente equivalente al plan de amortización previsto, utilizando como tipo de
interés de valoración el de mercado (461).
5 & 461:* ??5 & 461:??
5 & 461:
??5 ??5 & 461: #
13.6. Tantos efectivos en los empréstitos
Coste real del emisor
El emisor recibe en el origen de la operación:
??1 5
A cambio tiene que entregar periódicamente a los obligacionistas el término amortizativo ??%;
abona en el origen los gastos iniciales () y en su caso, los gastos finales ().
La comparación en el origen entre lo que recibe realmente y lo que realmente entrega permite
obtener el tanto efectivo de coste.
??1 5 ????+
%

+!
5 & 41:+ 5 & 41: # 41
En el supuesto de que el valor de la anualidad comercial sea constante:
??1 5 º% 5 º^RÛ 5 & 41: # 41
Rentabilidad real para el conjunto de obligacionistas
Entregan en el origen de la operación el precio efectivo de la emisión, ??1 5 , y la
contraprestación que reciben es la anualidad comercial neta, ??%.
Tanto de rentabilidad real:
??1 5 ????+
%

+!
5 & 4:+ # 4
Si el emisor hubiera tenido que pagar gastos de administración a terceros:
??1 5 ?? ??+
%
&

+!
5 & 4:+ # 4
Si los términos amortizativos son constantes:
??1 5
º%
&
5 º^RÜ # 4
Rentabilidad real para un título
„X Amortización por sorteo y pago de cupones periódicos
??1 5 4 5 º^RÝ & 4+: # 4+
„X Amortización por sorteo y cupón cero
??1 5 & 45 & 4+: # 4+
14. Operaciones de constitución de capitales
14.1. Definición
Son operaciones financieras a través de las cuales una de las partes (inversor) entrega a la otra
parte (prestatario) un conjunto de capitales de forma periódica para que éste le devuelva un
único capital al final de la operación.
Los capitales que el inversor entrega periódicamente tienen el objetivo de «formar» o
constituir un capital al llegar el final de la operación.
Son operaciones financieras de prestación múltiple y contraprestación única.
El esquema gráfico habitual en el supuesto de que los términos constitutivos sean
prepagables:
Se trata de operaciones de crédito unilateral en las que el saldo es siempre a favor de la
prestación (el inversor).
La ley financiera que se utiliza en su valoración es la capitalización/descuento compuesto
(operaciones a largo plazo).
14.2. Variables más significativas
Ecuación de equivalencia financiera es la siguiente (momento final, interés constante):
??Á 5 & 4 ??5 & 4: ??: 5 & 4 ????+ 5 & 4:+
:
+!

Si los términos constitutivos son pospagables:
??5 & 4: ??
5 & 4:
??5 & 4????+ 5 & 4:+

+!

Variables que intervienen en una operación de constitución
Notación Variable Significado Relaciones
??Término
constitutivo o
imposición
Cantidad que el inversor entrega al
prestatario de forma periódica para
constituir o «formar un capital.
Prepagable: ??Þ L
L
Pospagable:
??Þ
Cuota de interés Intereses que devenga la operación
de constitución en el período s.
Prepagable:
: ?? : 5 4
Pospagable:
: 5 4
ÞCuota de
constitución
Incremento de capital constituido
en un período determinado.
Prepagable:
Þ ?? :
Pospagable:
Þ ??
Capital
constituido
Capital que percibe el inversor al
final de la operación. ??Þ+

+!
Capital constituido
hasta el período ??
Capital que el prestatario tiene que
entregar al inversor en un
momento intermedio.
??Þ+

+!
Estas variables se suelen presentar en una tabla de doble entrada en la que se recogen los
valores que toman a lo largo de la duración de la operación, de acuerdo con la siguiente
distribución.
14,3. Constitución de capitales mediante imposiciones prepagables
Las cantidades, constantes o variables, que el inversor entrega periódicamente al prestatario
tienen su vencimiento al comienzo de cada periodo.
Imposiciones variables
El esquema gráfico es el siguiente:
La ecuación de equivalencia financiera es:
????+ 5 & 4:+
:
+!
El capital constituido en un momento intermedio se obtiene por la izquierda:
„X Método retrospectivo
????+ 5 & 4 :+
:
+!
„X Método prospectivo
5 & 4::
?? ?? ??+ 5 & 4:+:
:
+! L
ß
„X Método recurrente
: ?? : 5 & 4
De esta última expresión se deduce el valor de la cuota de constitución:
: ?? : 5 & 4 # : : ?? :4 ?? :
à
Þ ?? :
Imposiciones constantes
El esquema gráfico es el siguiente:
La ecuación de equivalencia financiera en el final de la operación, permite obtener el capital
constituido, dado el valor de las imposiciones, y viceversa.
?? 5 ^R # á??XºXÀ
XºXÀ??Ï
Capital constituido en un momento intermedio:
„X Método retrospectivo
?? 5 ^R
„X Método prospectivo
5 & 4:: ?? 5 º: ^R
„X Método recurrente
: ?? 5 & 4
Cuando los términos constitutivos son constantes, las cuotas de constitución se pueden
obtener por recurrencia.
L ?? 5 & 4
: ?? 5 & 4
L : 5 & 4
Las cuotas de constitución crecen en progresión geométrica de razón & 4.
Þ.L Þ. 5 & S
La cuota de constitución del período ?? en función de la del primer período es igual a:
ÞÞ5 & 4 :
La cuota de constitución del primer periodo:
„X En función del término constitutivo constante
Þ?? 5 & 4
„X En función del capital constituido al finalizar la operación ()
??Þ+

+!
Þ5 ^R # Þ

^R
Cuotas de constitución constantes
El esquema gráfico es el siguiente:
El capital constituido en cada período es constante y se obtiene a partir de la relación que hay
entre las cuotas de constitución y el capital constituido al finalizar la operación.
??Þ+

+!
Þ Þ Þ E 5 Þ # Þ
??_
E
El capital constituido en un momento intermedio:
??Þ+

+!
?? 5 Þ
Cuando las cuotas de constitución son constantes los términos constitutivos son variables. La
recurrencia entre los términos constitutivos se obtiene a partir de los capitales constituidos en
dos períodos consecutivos:
L ?? 5 & 4
: ?? : 5 & 4
L : ?? ?? : 5 & 4
Los términos constitutivos disminuyen en progresión aritmética de razón
â5R
Lc
.
Þ Þ ?? ?? : 5 & 4 # ???? :
Þ 5 4
& S
Tomando la relación anterior, podemos obtener el término constitutivo de cualquier período a
partir del término del primer período:
???? ?? 5
Þ 5 4
& S
Término constitutivo del primer período:
Þ ??& 4 # ??
Þ
& 4
14.4. Constitución de capitales mediante imposiciones pospagables
Los términos constitutivos tienen su vencimiento en el extremo superior de cada período.
Imposiciones variables
El esquema gráfico es el siguiente:
La ecuación de equivalencia financiera es:
????+ 5 & 4:+

+!
El capital constituido en un momento intermedio se obtiene por la izquierda:
„X Método retrospectivo
????+ 5 & 4 :+

+!
„X Método prospectivo
5 & 4::
?? ??+ 5 & 4:+:

+! L
ß
„X Método recurrente
: 5 & 4 ??
De esta última expresión se deduce el valor de la cuota de constitución:
: 5 & 4 ?? : : 5 4 ??# : 5 4 ??
à
: : 5 4 ??# Þ ??
Imposiciones constantes
El esquema gráfico es el siguiente:
La ecuación de equivalencia financiera en el final de la operación, permite obtener el capital
constituido, dado el valor de las imposiciones, y viceversa.
?? 5 ^R # á??XºXÀ
XºXÀ??
Ï
Capital constituido en un momento intermedio:
„X Método retrospectivo
?? 5 ^R
„X Método prospectivo
5 & 4:: ?? 5 º: ^R
„X Método recurrente
: 5 & 4 ??
Cuando los términos constitutivos son constantes, las cuotas de constitución se pueden
obtener por recurrencia.
L 5 & 4 ??
: 5 & 4 ??
L : 5 & 4
Las cuotas de constitución crecen en progresión geométrica de razón & 4.
Þ.L Þ. 5 & S
La cuota de constitución del período ?? en función de la del primer período es igual a:
ÞÞ5 & 4 :
La cuota de constitución del primer periodo:
„X En función del término constitutivo constante
Þ??
„X En función del capital constituido al finalizar la operación ()
??Þ+

+!
Þ5 ^R # Þ

^R
Cuotas de constitución constantes
El esquema gráfico es el siguiente:
El incremento de capital es igual en cada período y se obtiene a partir de la relación que hay
entre las cuotas de constitución y el capital constituido al finalizar la operación.
??Þ+

+!
Þ Þ Þ E 5 Þ # Þ
??_
E
El capital constituido en un momento intermedio:
??Þ+

+!
?? 5 Þ
Cuando las cuotas de constitución son constantes los términos constitutivos son variables. La
recurrencia entre los términos constitutivos se obtiene a partir de los capitales constituidos en
dos períodos consecutivos:
L 5 & 4 ?? L
: 5 & 4 ??
L : 5 & 4 ?? LR ??
Los términos constitutivos disminuyen en progresión aritmética de razón Þ 5 4.
Þ Þ 5 & S º.L ??# ?? L ?? Þ 5 4
Término constitutivo de cualquier período a partir del término del primer período:
???? ?? & 5 Þ 5 4
Término constitutivo del primer período:
Þ ??

15. Operaciones bursátiles
15.1. Introducción
Una operación bursátil es la compra-venta de títulos-valores que se realiza en el marco de las
bolsas de valores, el principal mercado secundario en el que se negocian diariamente multitud
de operaciones a la que concurren un gran número de ahorradores.
En España, los mercados de valores están integrados en la sociedad Bolsas y Mercados
Españoles (BME), en la que se agrupan, bajo una misma unidad de acción, decisión y
coordinación los mercados de renta variable, renta fija, derivados y sistemas de compensación
y liquidación.
Todo este sistema está supervisado e inspeccionado por la Comisión Nacional del Mercado de
Valores (CNMV), cuyo principal cometido es velar por la transparencia de los mercados de
valores españoles y la correcta formación de precios, así como la protección de los inversores.
15.2. Sistema de contratación en las bolsas de valores
El sistema de contratación que se sigue masivamente en las bolsas de valores españolas se
denomina SIBE (Sistema de Contratación Continuada Interconectada) que permite, a través de
un modelo informático, la concurrencia de todos sus miembros simultáneamente y de forma
continuada.
Empezó funcionar en España en marzo de 1989, y 5 años después, se contrataba el 96% del
total negociado en renta variable. Su funcionamiento se organiza en torno a dos sesiones:
„X Sesión de ajuste (8.30 a 9.00 horas), No se realiza intercambio alguno. Su finalidad
es la de establecer un precio de salida para la sesión abierta
„X Sesión abierta (9.00 a 17.30 horas). Los agentes compran y venden acciones a
través de las siguientes alternativas:
ƒæ Contratación principal. Se negocian en tomo al 85% de los títulos.
ƒæ Contratación de bloques. Se negocian grandes cantidades de acciones de una
misma sociedad.
ƒæ Operaciones especiales.
15.3. Clases de operaciones bursátiles
Al contado
Las obligaciones del comprador y del vendedor se realizan el mismo día en que se celebra el
contrato, existiendo un breve período de tiempo (2 días) para la entrega de los títulos.
A plazo
Se caracterizan porque las obligaciones del comprador y del vendedor no se satisfacen el día
de celebración del contrato, sino al vencimiento de un plazo estipulado. La estrategia que
siguen las partes intervinientes es bastante clara: el vendedor espera que el precio baje en el
futuro y por ello vende, juega a la baja. El comprador a plazo espera que el precio suba en el
futuro y ello le induce a asegurarse un precio más ventajoso comprando ahora, juega al alza.
15.4. Operaciones al contado
En la compra-venta al contado de títulos bursátiles el precio que se paga (comprador) o que se
recibe (vendedor) por título no se corresponde con la cotización que tiene en bolsa. Existen
una serie de gastos y comisiones que aumentan (compra) o disminuyen (venta) el precio al que
cotiza el título.
La notación a utilizar es la siguiente:
„X ??1
%: Precio efectivo de compra.
„X ??1
²: Precio efectivo de venta.
„X ??%: Cotización bursátil del título en la compra.
„X ??²: Cotización bursátil del título en la venta.
„X Á: Comisión que percibe el intermediario financiero y que se gira sobre la
cotización que el título tiene en bolsa.
„X .: Canon bursátil. Se trata de un importe que se aplica en función del importe
efectivo de la operación realizada, de acuerdo con una tarifa previamente
establecida.
„X ??%: Cuantía total efectiva a desembolsar por la compra de los títulos.
„X ??²: Cuantía total efectiva a percibir por la venta de los títulos.
„X : Número de títulos que se compran o se venden.
Compra de títulos
Importe total que tiene que pagar un inversor por la compra de títulos:
??% 5 ??% 5 & Á .
Precio efectivo de compra por título:
??1
%
??%

5 ??% 5 & Á .

??% 5 & Á
.

Venta de títulos
Cantidad total real que recibe el vendedor de títulos:
??² 5 ??² 5 & Á .
El precio efectivo de venta:
??1
²
??²

5 ??² 5 & Á .

??² 5 & Á
.

15.5. Rentabilidad de las operaciones bursátiles
Definición y clases de rentabilidad
La rentabilidad de un título mide la relación entre los rendimientos que se obtienen en un
período y la inversión realizada en él. Esta medida les sirve a los inversores bursátiles como
referencia para tomar sus decisiones de inversión.
Se puede expresar a través de distintas medidas en función de los rendimientos que se tienen
en cuenta y del precio considerado.
Criterio Rentabilidad Definición
Teniendo en cuenta el rendimiento
que genera la inversión
Bruta Se tienen en cuenta los ingresos brutos que ha generado la
inversión.
Neta Se tienen en cuenta los ingresos netos (ingresos brutos
menos gastos y comisiones) obtenidos por la inversión.
Por
dividendos
Sólo se tienen en cuenta los ingresos obtenidos a través del
reparto de dividendos.
Teniendo en cuenta el precio o la
inversión realizada
Total Se consideran, además de los dividendos repartidos, la
plusvalía generada en la operación de compra-venta.
Nominal La rentabilidad se obtiene tomando como referencia el valor
nominal del título.
Efectiva La rentabilidad se calcula tomando como referencia el precio
efectivo pagado por el título.
La notación a utilizar es la siguiente:
„X : Dividendos brutos que se obtienen por cada acción.
„X : Valor nominal del título.
„X (6: Comisión de mantenimiento que cobran las entidades financieras por tener
en depósito los títulos.
„X : Tipo impositivo del IRPF (para personas físicas) y del Impuesto de Sociedades
(para personas jurídicas) que grava las rentas del inversor.
„X ??%: Cotización del título en el momento de la compra.
„X ??²: Cotización del título en el momento de la venta.
„X ??1
%: Precio efectivo de compra.
„X ??1
²: Precio efectivo de venta.
Rentabilidad por dividendos
Rentabilidad por
dividendos
Bruta Nominal Åã_

??
Efectiva Åãä

åä
æ
Neta Nominal
/
5 (6 5 &

Efectiva
/1
5 (6 5 &
??1
%
Rentabilidad total
Rentabilidad
por
dividendos
Bruta Nominal Åã_
åç åæ
??
Efectiva Åãä
åç åæ
åä
æ
Neta Nominal
/
>6 åç åæ= 5 &

Efectiva
/1
>6 åç åæ= 5 &
??1
%
En todos los casos las rentabilidades así obtenidas no tienen en cuenta el tiempo durante el
cual se ha generado.
Es necesario ponderar las expresiones anteriores por el tiempo que ha durado la inversión.
El tanto de rentabilidad anualizado (4) se obtiene dividiendo las expresiones anteriores por el
tiempo:
4
/
P…
/ 5
…

Donde:
4: Tanto de rentabilidad anualizado.
/: Rentabilidad.
: Duración en días de la inversión.
Las expresiones anteriores se aplican cuando el tiempo que media entre la compra y la venta
de las acciones es inferior al año. Si es superior, la rentabilidad se calcula a partir de la
ecuación de equivalencia financiera que relaciona los ingresos obtenidos por la venta de las
acciones más los dividendos percibidos con los gastos incurridos en la operación de compra.
Si se ha producido una ampliación de capital en el tiempo que media entre la compra y la
venta de las acciones hay que tener en cuenta, además, los ingresos/gastos derivados de esta
operación.
Cuando una empresa decide ampliar su capital social los antiguos accionistas tienen el derecho
a suscribir un número de acciones proporcional al valor de las acciones que posean. En el caso
de que no quieran acudir a la ampliación pueden optar por vender esos derechos de
suscripción en el mercado.