Conceptos Clave en la Enseñanza de las Matemáticas: MKT, Competencias, Niveles de Van Hiele y Más

Conceptos Clave en la Enseñanza de las Matemáticas

MKT (Conocimiento Matemático para la Enseñanza)

Conocimiento del horizonte del contenido (“¿Cuándo?”): Es fundamental saber cuándo es el momento adecuado para explicar ciertos conocimientos matemáticos, teniendo en cuenta qué conocimientos previos son necesarios y qué contenidos se abordarán posteriormente.
Conocimiento común del contenido (“¿Qué?”): Se refiere a la capacidad de reconocer cuándo un estudiante proporciona una respuesta incorrecta o cuándo un libro de texto presenta una definición imprecisa. Es el conocimiento que el docente necesita para comprender el trabajo que está encargando a sus estudiantes.
Conocimiento especializado del contenido (“¿Por qué?”): La labor docente requiere un profundo conocimiento matemático que permita responder a las preguntas de “por qué” suceden las cosas. El profesor debe identificar patrones en las respuestas erróneas de los estudiantes, comprender el funcionamiento de los algoritmos y reconocer si una propuesta es generalizable.
Conocimiento del contenido y de los estudiantes (“¿Quién?”): Implica conocer tanto los contenidos como las características de los estudiantes, anticipando las posibles dificultades que puedan presentar.
Conocimiento de la docencia y el contenido (“¿Cómo?”): Combina el conocimiento sobre cómo enseñar con el conocimiento específico de las matemáticas.
Conocimiento del currículo (“¿Dónde?”): Se refiere a saber dónde y en qué nivel del currículo se deben abordar los diferentes contenidos matemáticos.

Competencia Matemática

Se define como la capacidad de:

Realizar determinadas tareas matemáticas.
Comprender por qué se utilizan ciertas nociones y procesos para resolver problemas.
Argumentar la conveniencia de su uso.

Subcompetencias de la Competencia Matemática

Comprensión conceptual: Representar mentalmente y relacionar las diferentes partes del contenido matemático para utilizarlo en la resolución de problemas.
Destrezas procedimentales: Conocer los procedimientos matemáticos, saber cómo y cuándo usarlos de manera apropiada, y ser flexible para adaptarlos a diferentes tareas.
Actitudes positivas: Mostrar una actitud favorable hacia las matemáticas y la confianza en las propias capacidades. Considerar el contenido matemático como útil y ser capaz de resolver problemas y aprender de ellos.
Pensamiento estratégico: Capacidad de formular, representar y resolver problemas matemáticos.
Comunicar, explicar y argumentar: Ser capaz de proporcionar razones que justifiquen las acciones realizadas y comunicarlas a los compañeros y al profesor.

Subcompetencias:

Razonar
Argumentar
Comunicar
Resolver problemas
Utilizar el lenguaje simbólico

Bloques de Contenido

Bloque 1: Procesos, métodos y actitudes en matemáticas: Bloque común que incluye la planificación del proceso de resolución de problemas, el análisis y la comprensión del enunciado.
Bloque 2: Números: Números naturales, enteros, decimales y fracciones, operaciones y cálculo.
Bloque 3: Medida: Medida de magnitudes, medida de ángulos.
Bloque 4: Geometría: La situación en el plano y en el espacio, formas planas y espaciales.
Bloque 5: Estadística y probabilidad: Gráficos y parámetros estadísticos, probabilidad.

Teoría de las Situaciones Didácticas (o Aprendizaje por Adaptación al Medio)

Situaciones de acción: El alumno debe obtener información a partir de la interacción con la situación, lo que le permite reforzar o modificar sus estrategias para llegar a la solución.
Situaciones de formulación: Un alumno comunica al resto su solución y el proceso que ha seguido para llegar a ella. Puede ser oral o escrita, utilizando un lenguaje matemático adecuado.
Situaciones de validación: El alumno debe argumentar y justificar la validez de la estrategia utilizada para resolver la situación, mientras que los demás pueden expresar su acuerdo o desacuerdo con la argumentación presentada.
Situaciones de institucionalización: El docente otorga el estatus de conocimiento a las producciones de los alumnos, llegando a un conocimiento matemático general que se integra en la cultura.

Niveles de Van Hiele

Nivel 0: Visualización o reconocimiento:
- Percepción visual de las formas (u otras propiedades básicas).
- Uso de términos comunes o cotidianos.
- Nivel de Educación Infantil y principio de Educación Primaria.
Nivel 1: Análisis:
- Se empiezan a identificar las características de las figuras.
- Reconocimiento de las partes de una figura a partir de las cuales se puede percibir la figura completa.
- Se comprueban los conocimientos de forma inductiva (materiales manipulativos).
- Nivel de segundo y tercer ciclo de Educación Primaria.
Nivel 2: Deducción informal:
- Se distinguen las relaciones entre diferentes figuras geométricas.
- Se abstraen las propiedades necesarias y suficientes de una figura para poder definirla.
- Se pueden realizar clasificaciones geométricas.
- Se pueden seguir y comprender los pasos de una demostración, e incluso realizar demostraciones cortas y sencillas.
Nivel 3: Deducción formal:
- Se comprenden las relaciones entre las propiedades geométricas.
- Alto nivel de desarrollo lógico.
- Se pueden aplicar definiciones o teoremas en diferentes contextos y situaciones.
- Nivel de Bachillerato y primeros cursos universitarios.
Nivel 4: Rigor:
- Visión abstracta de la geometría, propia de profesionales de esta materia.

Modelo de Aprendizaje de Van Hiele

Fase 1: Diagnóstico/Preguntas: Tiene dos objetivos: que los alumnos conozcan el propósito, la estructura de la secuencia de aprendizaje y el objeto de estudio, y que el profesor conozca los conocimientos previos de los alumnos sobre el tema.
Fase 2: Orientación dirigida: El docente guía a los alumnos a través de actividades adecuadas que se trabajan con materiales proporcionados por el profesor.
Fase 3: Explicación: Los alumnos expresan e intercambian sus descubrimientos, con el objetivo de ordenar y analizar sus ideas, y expresarlas de forma comprensible utilizando un lenguaje geométrico adecuado.
Fase 4: Orientación libre: El profesor propone tareas más complejas o abiertas que permiten diversificar el aprendizaje.
Fase 5: Integración: Se realiza una síntesis y un esquema de lo aprendido, con la ayuda del docente.

Errores, Obstáculos y Concepciones

Obstáculos epistemológicos: Relacionados con el contenido, permiten dar respuestas correctas en algunos casos pero no en todos.
Obstáculos ontogénicos: Ligados a las limitaciones propias de las etapas de desarrollo del individuo.
Obstáculos didácticos: Producidos por las decisiones del profesor o del propio sistema educativo en relación con ciertos conocimientos matemáticos.

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Relaciones Angulares en la Circunferencia

Ángulo inscrito: a = b/2

Ángulo seminscrito: a (tangente) = b/2

Ángulo interior: a = (b + e) / 2

Ángulo exterior: a = (b – e (cercano al a)) / 2

Teorema de Tales y Relaciones en Triángulos Rectángulos

Teorema de Tales: b/B = a/A

Altura en un triángulo rectángulo: n/h = h/m

Cateto en un triángulo rectángulo: c/b = b/n ; c/a = a/m

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Tabla de Áreas y Volúmenes

TABLA DE ÁREAS Y VOLÚMENES
	Cuadrado A = a²	Triángulo A = B · h / 2
	Rectángulo A = B · h	Romboide A = B · h
	Rombo A = D · d / 2	Trapecio A = (B + b) · h / 2
	Polígono regular A = P · a / 2 ⁽¹⁾	Círculo A = π · R² P = 2 · π · R
	Corona circular A = π · (R² – r²)	Sector circular A = π · R² · n / 360
	Cubo A = 6 · a² V = a³	Cilindro A_Lateral = 2πrh A_Base = πr² A_Total = 2πr² + 2πrh V = π · R² · h
	Ortoedro A = 2 · (a · b + a · c + b · c) V = a · b · c	Cono A_Lateral = π · r · g A_Total = π · r · (g + r) V = π · R² · h / 3
	Prisma recto A_Prisma = A_Lateral (P · h) + 2 · A_Base V = A_Base · h ⁽³⁾	Tronco de cono A = π · [g · (r + R) + r² + R²] V = π · h · (R² + r² + R · r) / 3
	Tetraedro regular A = a² · √3 V = a³ · √2 / 12	Esfera A = 4 · π · R² V = 4 · π · R³ / 3
	Octaedro regular A = 2 · a² · √3 V = a³ · √2 / 3	Huso/Cuña esférica A = 4 · π · R² · n / 360 V = V_Esfera · n / 360
	Pirámide recta A_Lateral = P_Base · a’ / 2 A_Total = A_Lateral + A_Base V = A_Base · h / 3	Casquete esférico A = 2 · π · R · h V = π · h² · (3 · R – h) / 3
	Tronco de pirámide A = ½ (P + P’) · a + A_Base + A_Base’ V = (A_Base + A_Base’ + √A_Base · √A_Base’) · h / 3	Zona esférica A = 2 · π · R · h V = π · h · (h² + 3 · r² + 3 · r’²) / 6
⁽¹⁾ P es el perímetro (suma de la longitud de los lados) ; a es la apotema ⁽²⁾ g es la generatriz ; √ es la raíz cuadrada del número ⁽³⁾ A_B es el área de la base; h es la altura