Competencia en Mercados: Modelos de Bertrand, Cournot, Stackelberg y Ciudad Lineal
1. Considere un mercado con n firmas que producen un producto homogéneo, sin restricciones de capacidad y con información perfecta. La función de demanda inversa se puede expresar como P(Q) = 100 − Q, donde Q es la cantidad total producida en el mercado. Los costos de cada firma se pueden expresar como C(qi) = 2qi .
(a) Encuentre el equilibrio de mercado bajo los supuestos de competencia perfecta. Respuesta: En ese caso, p = CMg por lo que p ∗ = 2; Q ∗ = 98
(b) Suponga ahora que las firmas compiten a la Bertrand. ¿Cual es el equilibrio de Nash en este caso?Respuesta: Bajo los supuestos del enunciado, se da la paradoja de Bertrand en que cada firma cobra un precio igual a su costo marginal. Por lo tanto, en el EN cada firma cobra un precio de pi = 2. Dado que Q = 98, cada firma produce qi = 98/n.
(c) ¿Como cambian sus resultados si las firmas compiten a la Cournot? Respuesta: Dado que estamos en el caso con n firmas con costos homogéneos, tenemos que qi = a − c b/(n + 1) = 100 − 2 1/(n + 1) = 98/ n + 1 ,p = a + nc /n + 1 = 100 + 2n>/ n + 1, Q= n(a − c) /b(n + 1) = 98n/n + 1
(d) Suponiendo que n = 1, plantee y resuelva el problema que enfrenta el monopolista si es que su objetivo es maximizar sus beneficios econ´omicos. Respuesta: El monopolista enfrenta el siguiente problema: max Q π = (100 − Q)Q − 2Q
CPO: dπ/dQ = 100 − 2Q − 2 = 0 ⇒ Q M = 49; P= 51; π M = 49 × (51 − 2) = 2401
(e)Suponga que ahora las firmas compiten a la Stackelberg, donde una firma actúa como lıder y la otra firma actúa como seguidora. Calcule la cantidad que produce cada firma, el precio de mercado los beneficios que obtienen. Respuesta: Primero resolvemos para lafirma seguidora: max qF πF =P(qL+qF)qF-C(qF); max qF πF = (100 − qF − qL)qF − 2qF, CPO: ∂π ∂qF = 100 − 2qF − qL − 2 = 0 ⇒ qF (qL) = 98 − qL/2 .Ahora, con la función de reacción de la firma seguidora podemos resolver para la firma lıder: max qL πL;a/2(qL)-q¨L/2+C/2(qL)-C(qL); max qL πL = (100 − qL − qF (qL))qL − 2qL = 100qL − q¨2 L − qF (qL) × qL − 2qL = 98qL − q¨2 L − ( 98 − qL/2 ) × qL = 98qL − q¨2 L − 49qL + q¨2L/2 = 49qL − q¨2L/2 .CPO: dπL/dqL = 49 − qL = 0 ⇒ qL = 49; qF = 49/2 ; P = 100 − 49 − 49/2 = 53/2 πL = (p − c)qL = (49 − 2) × 49/2 = 2303/2 ∼ 1152 πF = (p − c)qF = (53/2 − 2) × 49/2 = 2401/4 ∼ 600 : πF + πL = 7007 4 ∼ 1752
Considere una variación del modelo estándar de ciudad lineal. Viajar a la tienda ubicada en la posición 0 cuesta lo mismo que la distancia, pero viajar a la tienda ubicada en la posición 1 cuesta 3 veces la distancia viajada. Las tiendas cobran precios p0 y p1 respectivamente. (a) Asuma que los consumidores valoran el bien en 10. Cada consumidor compra solamente una unidad del bien. Represente la utilidad de un consumidor ubicado en x dependiendo de si compra en la tienda 0 o en la tienda 1 por separado. Respuesta: utilidad=valor del bien-precio del bien-costo del bien. Si compra en la tienda ubicada en 0: u0 = 10 − p0 − (x − 0); Si compra en la tienda ubicada en 1: u1 = 10 − p1 − 3(1 − x). (b) Plantee la condición que se debe cumplir para que el consumidor ubicado en x prefiera comprar en la tienda 0. Respuesta: Un consumidor ira a la tienda 0 eso le reporta una mayor utiilidad que ir a la tienda 1. Es decir: u0 > u1 ⇒ 10 − p0 − x > 10 − p1 − 3(1 − x) ⇒ −p0 − x > −p1 − 3 + 3x ⇒ 3 − p0 + p1 > 4x ⇒ x < 3 − p0 + p1/4 . (c) Dado que la ciudad es de largo 1, el resultado anterior se puede interpretar como que x = 3 − p0 + p1/4 es la proporción de consumidores que compran en la tienda 0. La proporción de consumidores que prefieren ir a la tienda 1 se puede representar como 1 − x = 1 + p0 − p1/4 Asumiendo que hay 100 consumidores, encuentre las demandas para cada tienda. Respuesta: Tenemos que q0 = 100(3 − p0 + p1/4 ) = 75 − 25p0 + 25p1 q1 = 100(1 + p0 − p1/4 ) = 25 + 25p0 − 25p1. (d) Plantee la funci´on de beneficios para cada firma, expresando todo en función de los precios, asumiendo que no hay costos de producción. Respuesta: π0 = p0(75 − 25p0 + 25p1) π1 = p1(25 + 25p0 − 25p1). (e) Asumiendo que las firmas deciden de manera simultanea, encuentre la función de reacción para cada firma, en función del precio cobrado por su rival. Respuesta: Tienda 0: max p0π0= p0(75 − 25p0 + 25p1) CPO: ∂π0/∂p0 = 75 − 50p0 + 25p1 = 0 ⇒ p0 = 3 + p1/2. Tienda 1: max p1π1 = p1(25 + 25p0 − 25p1) CPO: ∂π1/∂p1 = 25 + 25p0 − 50p1 = 0 ⇒ p1 = 1 + p0/2 (f) Encuentre el precio optimo para cada firma a partir de las funciones de reacción(despejar p). Respuesta: p0 = 14/6 ; p1 = 5/3
FORMULAS: QeqCournot= a-c/b(n+1), PeqCournot=a+nc/n+1, Qtotal=n(a-c)/b(n+1), Benf Monop= ll=(a-bQ)-CT, Benf Firma F= P(qL+qF)qF-C(qF)
Benef L=ll=a/2(qL)-q¨L/2+C/2qL-C(qL)
5. Indique un escenario en los cuales las firmas, compitiendo a la Bertrand o a la Cournot, llegan al mismo precio cobrado o cantidad producida. Sea preciso al momento de indicar los supuestos involucrados. Respuesta: Aquı hay varios posibles ejemplos. Un escenario es con firmas homogéneas, información perfecta y producto homogéneo, a medida que el numero de firmas tiende a infinito, entonces en ambos tipos de competencia los resultados convergen hacia los de competencia perfecta.
6. Explique la paradoja de Bertrand. Respuesta: La paradoja de Bertand se da cuando dos o mas firmas deciden competir por precio. En el caso que las firmas tengan el mismo costo marginal, entonces cobraran un precio igual al de competencia perfecta, con un beneficio económico de 0.
7. En el modelo de Cournot con firmas heterogéneas, ¿que parámetros inciden en los beneficios de una determinada firma i? Indique al menos dos parámetros y senale si se asocian positiva o negativamente con los beneficios. Respuesta: Un criterio es el costo marginal propio. Firmas mas eficientes (costo marginal mas bajo) obtendrán mayores beneficios. Otro criterio es el costo marginal de las rivales. Si las firmas rivales se hacen mas eficientes, entonces los beneficios de la firma i disminuyen. Un tercer parámetro es el numero de firmas. Un mayor numero de firmas hace que el beneficio de cada firma disminuya.
8. En clases vimos el modelo de Bertrand con información imperfecta. ¿Que ocurre con el precio cobrado por una firma i a medida que aumenta el numero de rivales? Explique. Respuesta: A medida que aumenta el numero de rivales de la firma i, el precio cobrado por la firma i converge hacia el precio que cobraría en un mercado perfectamente competitivo. Notar que para la firma con costo marginal de 1, su precio no se ve afectado por el numero de firmas.
9. En el modelo de Bertrand con restricciones de capacidad se menciono un supuesto llamado racionamiento eficiente. Explique a que se refiere. Respuesta: El supuesto indica que los consumidores con mayor disposición a pagar compran primero.
10. En el modelo de ciudad lineal clásico con 2 firmas, el equilibrio de Nash esta dado por ambas firmas ubicándose al centro de la ciudad. Este equilibrio no es socialmente eficiente, ya que si las firmas se ubicaran equidistantes del centro y de los extremos (1/4 y 3/4), se reducir´a el costo de transporte 6 total y ambas firmas seguirıan con el mismo numero de consumidores. Explique por que el resultado socialmente eficiente no es un equilibrio de Nash. Respuesta: Las firmas tienen incentivos para moverse hacia el centro intentando capturar clientes de la firma rival. En ausencia de regulación, las firmas vuelven al equilibrio de Nash que no es socialmente eficiente.
11. Comente sobre las similitudes y diferencias de la competencia monopolıstica respecto a un mercado perfectamente competitivo. Respuesta: Algunas similitudes: no hay barreras de entrada, gran numero de firmas, beneficios económicos de 0 en el largo plazo. Algunas diferencias: cada firma produce una variedad de un producto diferenciado y es un monopolista en su nicho. Las firmas poseen poder de mercado en el corto plazo.
12. De dos ejemplos de mercados en que se da la diferenciación vertical, justificando claramente su respuesta.
Respuesta: Un ejemplo puede ser el mercado de los computadores. Dentro de una misma marca o para marcas muy similares, una persona entendida por lo general va a preferir, a igual precio, un computador con un procesador mas rápido/disco duro con mas capacidad, mas memoria RAM, etc. Otro ejemplo puede ser relacionado con las aerneas y los pasajes aéreos, especialmente en vuelos de larga distancia. Por ejemplo, uno puede elegir un asiento en business, premium economy o economyoli. Los asientos de business son mas espaciosos y la atención es mucho mejor que en categoría económica. Si todos los asientos costaran lo mismo, todos elegirıamos ir en business probablemente. Lo importante es dar ejemplos en que la diferenciación sea a través de criterios lo mas objetivo posibles. En el caso de los pasajes, ventana vs pasillo no seriıa un buen ejemplo ya que hay un tema de preferencias personales asociado, por lo que serıa mas cercano a diferenciación horizontal. Lo mismo con las dimensiones de la pantalla de un computador.