Cinemática y Dinámica del Sólido Rígido: Un Análisis Completo

6.4 problema d poinsot

el problema d poinsot es el siguiente: estudiar el movimiento  d un sólido rígido, q tiene  un  punto  fijo,  sabiendo  q  el  momento  cinético  respecto  a  dicho  punto  esconstante.

sea o el punto fijo. puesto q  

t = ½ l . ω  

derivando respecto del tiempo y teniendo en cuenta la constancia d  l y su relación con t, se obtiene

2 ( dt / dt ) = grad t . ( dω / dt)   luego   (dt / dt) = 0

el  resultado  obtenido   muestra  q  durante  el  movimiento   permanece constante   la energía cinética. como consecuencia d ello, el lugar geométrico del extremo del vector ω, es 1 d los elipsoides  d la familia q se tiene al variar  t, y q se denomina elipsoide d poinsot.

al  ser  constantes  el  momento  cinético   l  y  la  energía  cinética  t,  es constante  la proyección d  ω según la dirección d l . esto, junto la constancia d  l, indica q el plano tangente al elipsoide, como se muestra en la f. 6.2, es fijo, y dista ωl d o.

como el elipsoide en o esta definido x la masa del sólido rígido, el conocimient0 del movimiento  del elipsoide,  implica el del movimiento  del sólido rígido. el movimiento está  determinado   mediante  un  pivotamiento  y  una  rodadura  sin  deslizamiento   del elipsoide sobre el plano tangente fijo, ya q el eje instantáneo d rotación, pasa x el punto d contacto con el plano tangente.

6.5 angulos d euler

para  determinar   la  posición  d  un  sólido  rígido,  en  un  instante  cualquiera  d  su movimiento,  respecto  d un triedro cartesiano  ortogonal ox’y’z’, fijo, en generase determina la d un triedro cartesiano ortogonal xyz unido al sólido rígido. la posición d  este  triedro,  está  determinada  si  lo está  la traslación  d  su  origen,  y la rotación alrededor d un eje q pasa x dicho punto. la traslación esta determinada, mediante las  coordenadas  del  origen  respecto  del triedro  fijo,  y  la  rotación  está  determinada mediante los ángulos d euler.los ángulos d euler son los ángulos d 3 rotaciones q determinan el movimiento d rotación del triedro  unido al sólido rígido,   del cual se detallan,  a continuación,  sus fases sucesivas. en ellas, se describe como se llega a una posición cualquiera del triedrounido  al sólido  rígido  xyz, a  partir  d  una  posición  inicial  coincidente  con  la del triedro fijo, y con su mismo origen.

a.  movimiento d rotación, denominado d precesión, alrededor del eje oz’ d ángulo d φ. en este movimiento:

-ox’ pasa a la posición oa, en el plano ox’y’

-oy’ pasa a oy1, q forma un ángulo φ con oy’.

-oz’ no se altera x ser eje d rotación.

b.   movimiento  d rotación, denominado  d nutación,  alrededor  d  oa, denominadalínea d no2, d ángulo ө. en este movimiento:

-oa no se altera x ser eje d rotación.

-oy1 pasa a oj, situada en el plano oxy, al ser ө el ángulo q forman oz con oz’.

-oz’ pasa a oz.

c.   movimiento d rotación alrededor d oz, d ángulo ψ. en este movimiento:

-oa pasa a ox, situada en el plano oxy, formando el ángulo ψ.

-oj, perpendicular a oa, pasa a oy, situada en el plano oxy, formando el ángulo ψ

-oz no se altera x ser eje d rotación.

el triedro  oxyz, ha pasado d la posición inicial d ejes coordena2  paralelos a los del triedro fijo ox’y’z’, a la posición en un instante t, mediante 3 movimientos d rotación  d ángulos  φ, ө y ψ. el paso a la posición   en un instante t + dt, se efectúa mediante  los mismos  movimientos  d rotación d ángulos infinitesimales.  como en el instante t el movimiento  d rotación alrededor del punto o se puede definir x el vector rotación  ω, se tiene ω = φ + ө + ψ

si en el instante t se proyecta sobre los ejes móviles oxyz se obtiene

ω1= φ sen ө sen ψ + ө cos ψ(1)

ω2 = φ sen ө cos ψ – ө sen ψ(2)

ω3=φ cos ө+ψ (3)

siendo ω1, ω2  y ω3  las componentes d ω  en los ejes móviles oxyz.

para hallar las componentes d ω, es preciso tener en cuenta q oh proyección d  φ, se halla en el plano q forman z y z’.

las relaciones (1), (2) y (3) se utilizan para determinar  el movimiento  d rotación del sólido rígido x medio d los ángulos d euler.

7.1. aplicación d los teoremas generales d la dinámica al sólido rígido

a continuación se aplican los teoremas generales d la dinámica,  teorema del centro d masas y teorema del momento cinético al sólido rígido libre y ligado, para determinar su movimiento.  para   ello,  se  han  d  determinar   los  movimientos   fundamentales   d traslación y rotación  en un punto. el sólido rígido ligado, se puede considerar como sifuera  libre, sustituyendo  las ligaduras  x  las correspondientes  acciones  q  ejercen sobre él.

– sólido rígido en movimiento plano

sea  ox’y’  un sistema d referencia cartesiano ortogonal plano, fijo, y cxy un sistema d referencia cartesiano  ortogonal plano, móvil, ligado  al sólido rígido en movimiento plano, d origen el centro  d masas c. la posición  del sólido  rígido en movimiento plano, está determinada  x las coordenadas  xc’ e yc’ del centro  d masas c y x  el ángulo  e d  la  rotación  d  cxy  respecto  d  ox’y’. luego  el  sólido  rígido  en movimiento plano, es un sistema material q tiene 3 gra2 d libertad. según el teorema del centro d masas r = m ac  d donde resultan las ecuaciones escalares  x = m xc’ (1)  y = m ÿc’ (2)  siendo m la masa del sólido rígido, x, y las componentes d la resultante d las fuerzas exteriores  r, y xc’  e yc’ las coordenadas d c respecto d ox’y’. según el teorema del momento cinético respecto al centro d masas n = (dl / dt) como l = i . ω  al proyectar sobre la dirección d oj, se obtiene n = iuu (dω / dt) (3)

mediante las ecuaciones (1), (2) y (3) se obtienen xc’, yc’  y el ángulo ө girado x el sólido rígido en función d t.

– sólido rígido libre

sea   ox’y’z’ un sistema d referencia cartesiano ortogonal fijo, y cxyz un sistema d referencia cartesiano  ortogonal, móvil, ligado al sólido rígido en movimiento  libre, d origen el centro d masas c y tal q las direcciones d sus ejes, son las direcciones principales d  inercia   centrales.   la  posición  del  sólido   rígido   libre  respecto d ox’y’z’, está determinada  x las coordenadas xc’, yc’ y zc’ del centro d masas c ylos  ángulos d euler φ, ө y ψ d la rotación d cxyz respecto d ox’y’z’. luego elsólido rígido libre, es un sistema material d 6 gra2 d libertad.

según el teorema del centro d masas r = m acd donde resultan las ecuaciones escalaresx =  m xc’ (4)y = m yc’ (5)z = m zc’ (6)siendo  m la masa del sólido rígido, x, y, z las componentes d la resultante d las fuerzas exteriores  r, y xc’, yc’  y zc  las coordenadas d c respecto d ox’y’z’.

según el teorema del momento cinético respecto al centro d masas n = (dl / dt)

y puesto q (dl/dt)=(dl/dt)_cxyz + ω x l se tiene n =(dl/dt)_cxyz + ω x l y como l = i.ω

se obtienen las ecuaciones escalares   n1 = a (dω1/dt) + ω2 ω3 (c – b) (7)

n2 = b (dω2 /dt) + ω3 ω1 (a – c) (8)   n3 = c (dω3/dt) + ω1 ω2 (b – a) (9) denominadas ecuaciones d euler.

teniendo en cuenta las relaciones q existen entre las componentes d ω y los ángulos d euler, d (4), (5), (6), (7), (8) y (9) se obtienen, x integración, si es posible, xc’, yc’, zc’, φ, ө y ψ en función d t.

– sólido rígido con un punto fijo

sea  ox’y’z’ un sistema d referencia cartesiano ortogonal fijo, y oxyz un sistema d referencia cartesiano ortogonal, ligado al sólido rígido móvil, ambos d origen en el punto fijo o del sólido rígido y tal q las direcciones d sus ejes, son las direcciones principales d inercia en o. la posición del sólido rígido respecto d ox’y’z’, está determinada x los ángulos d euler φ, ө y ψ d la rotación d oxyz respecto a ox’y’z’. luego el sólido rígido con un punto fijo, es un sistema material d 3 gra2 d libertad. además, en este caso, es desconocida la fuerza d ligadura en o.

según el teorema del centro d masasra + ro = m ac        (10)siendo  m  la masa  del  sólido  rígido,  ra   la resultante  d  las  fuerzas directamente aplicadas y ro la fuerza d ligadura en o.según el teorema del momento cinético respecto al punto fijo o

n = (dl/dt) y puesto q (dl/dt) = (dl/dt)oxyz + ω x l se tiene n = (dl/dt)oxyz + ω x l y como l = i . ω se obtienen las ecuaciones escalares d euler

n1 = a (dω1/dt) + ω2 ω3 (c – b) (11) n2 = b (dω2 /dt) + ω3 ω1 (a – c) (12)  

n3 = c (dω3/dt) + ω1 ω2 (b – a) (13)

teniendo en cuenta las relaciones q existen entre las componentes  d  ω   y los ángulos d euler, d (11), (12) y (13) se obtienen,  x integración,  si es posible, φ, ө y ψ en función d t.

puesto q vc = ω x oc  se obtiene  a partir d (10) la fuerza d ligadura en o

ro = m d/dt (ω x oc) – ra

-sólido rígido con un eje fijo

sea un sólido rígido q mantiene un eje fijo definido x 2 d sus puntos o1 y o2.

sea  o1x’y’z’ un sistema d referencia cartesiano ortogonal fijo, y o1xyz un sistema d referencia cartesiano ortogonal, ligado al sólido rígido móvil, tales q los ejes  o1y’, y o1y coinciden con el eje fijo, definido x 2 d sus puntos o1 y o2.  la posición del sólido  rígido respecto  d o1x’y’z’, está determinada  x el   ángulo φ q define el movimiento d rotación del sólido rígido, q es el ángulo q el eje o1x forma con el eje o1x’ en el plano x’z’. luego el sólido rígido con un eje fijo, es un sistema material d un grado d libertad. además, en este caso, son desconocidas  las fuerzas d ligadura en o1 y o2.

según el teorema del centro d masas ra + r1 + r2 = m ac (14) siendo  m  la masa  del  sólido  rígido,  ra  la  resultante  d  las  fuerzas directamente aplicadas y r1 y r2 las fuerzas d ligadura en o1 y o2 respectivamente.

según el teorema del momento cinético respecto al punto o1, fijo n + n2 = dl / dt (15) siendo  n y  n2  los momentos respecto a o1, d las fuerzas directamente aplicadas y d la fuerza d ligadura en o2, respectivamente.

d  cada una d las ecuaciones (14) y (15), se obtienen 3 ecuaciones escalares, 6 en total, q son insufi100tes para determinar las 6 componentes escalares d las fuerzas d ligadura y el ángulo φ. x tanto, en general, el problema es indeterminado.

si se proyecta (15) sobre o1y, se obtiene ny = dly / dt

y puesto q ly = ω i22   resulta ny = i22 (dω/dt) (16)  siendo i22 el momento d inercia  respecto al eje d rotación.

integrando  (16) se obtiene el ángulo  φ en función d  t, q  resuelve el  problema cinemático.

el problema dinámico, en general, no es posible resolverlo, ya q se dispone d 5 ecuaciones y son precisas 6 para determinar las 6 componentes d las fuerzas d ligadura en los puntos o1 y o2.  la eliminación d una d las componentes d las fuerzas d ligadura, mediante la fijación adecuada d 1 d los puntos del eje, hace posible resolver el problema dinámico.

7.2. ejes permanentes y espontáneos d rotación

sea un sólido rígido q mantiene un eje fijo definido x 2 d sus puntos   o1 y o2. acontinuación se analizan 2 casos particulares.

en el primer caso, las fuerzas directamente aplicadas equivalen a una única fuerza qpasa x o1, y se trata d determinar las condiciones para q la fuerza d ligadura en o2 sea nula, es decir, q el punto o2 no sea fijo.

según el teorema del momento cinético respecto al punto fijo o1  dl / dt = 0 (1)

el momento cinético  l , es en general un vector giratorio con el sistema móvil, pero si según (1) no ha d variar con el tiempo, entonces ha d ser colineal con ω, es decir, q el eje d giro ha d ser principal d inercia en o1, y además ser constante el módulo d ω. a esta misma conclusión se llega teniendo en cuenta q d (1) se tiene

(dl/dt)_o1xyz + ω x l = 0

x tanto, si un sólido rígido con un punto fijo comienza un movimiento d rotación alrededor d un eje principal d  inercia en dicho punto, el movimiento d rotación persistirá indefinidamente con velocidad angular constante. estos  ejes se denominan ejes permanentes d rotación.

en el 2º caso, el sólido rígido no está sometido a fuerzas directamente aplicadas, y se trata d determinar las condiciones para q las fuerzas d ligadura en o1  y o2 sean nulas, es decir, q los puntos o1 y o2 no sean fijos.

según el teorema del centro d masas m ac = 0  luego ha d ser constante la velocidad del centro d masas, para lo cual éste ha d estar en el eje d rotación.

según el teorema del momento cinético en el punto fijo o1  dl / dt = 0  luego, como se ha visto en el primer caso, el eje d rotación ha d ser principal d inercia en o1, q en este caso será principal central d inercia al contener al centro d masas c.

x tanto, si un sólido rígido libre comienza un movimiento d rotación alrededor d un eje principal central d inercia, el movimiento d rotación persistirá indefinidamente con  velocidad  angular  constante.  estos  ejes  se  denominan  ejes  espontáneos d rotación.

7.3 equilibra2 estático y dinámico

sea un sólido rígido en movimiento d rotación, d velocidad angular constante, alrededor d un eje fijo definido x los puntos o1 y o2  y tal q su centro d masas se halle a la distancia δ del eje d rotación.

según el teorema del centro d masas r = m ac (1)   siendo  r  la resultante  d las fuerzas exteriores,  q son el peso  p del sólido rígido, considerada como fuerza directamente aplicada, las fuerzas d ligadura estáticas en o1 y o2,  r1  y  r2 respectivamente y las fuerzas d ligadura dinámicas en o1 y o2, r1’ y r2’ respectivamente.

teniendo  en  cuenta  q  el  peso  y  las  fuerzas  d  ligadura  estáticas  constituyen  un sistema  d  fuerzas  nulo,  para  lo  cual  ha  d  ser  nula  la  resultante  y  su  momento resultante, d (1) se obtiene r1’ + r2’ = m (vc² / δ) n (2)

las fuerzas  r1’  y  r2’   son giratorias,  al serlo el vector  n, y d gran  magnitud. en el caso d q el centro d masas diste 1 milímetro del eje d rotación y q la velocidad angular sea d 3000 revoluciones x minuto, su orden d magnitud, resulta ser aproximadamente  10 veces el peso del sólido rígido, ejercién2e en los puntos o1 y o2, generalmente apoyos del eje d una máquina.

según el teorema del momento cinético respecto al centro d masas n = dl / dt

y puesto q ω es constante, se tiene n = ω x l

si en el momento d las fuerzas exteriores se excluye el momento del peso y d las fuerzas d ligadura estáticas, x ser un sistema nulo, además d estar excluido el d otras fuerzas directamente aplicadas al ser constante la velocidad angular se tiene

n’=ω x l (3) siendo  n’  el momento d las fuerzas d ligadura dinámicas, únicamente. d las ecuaciones (2) y (3) se obtienen las fuerzas d ligadura dinámicas r1′ y r2′.

se dice q existe equilibrado estático, cuando el centro d masas se halla en el eje d rotación, ya q abandonado a la acción d la gravedad el sólido rígido no se mueve. d (2) se obtiene r1’ + r2’ = 0 (4) lo cual indica q es nula la resultante d las fuerzas d ligadura dinámicas, pero cada una d ellas no.

se dice q existe equilibrado dinámico, cuando son nulas las fuerzas d ligadura dinámicas, es decir, q constituyen un sistema d fuerzas nulo, para lo cual ha d ser nula su resultante y su momento resultante n’. la anulación d la resultante implica q el centro d masas se halle en el eje d rotación, es decir, q se cumpla (4) y la anulación del momento resultante da ω x l = 0 (5)

d la ecuación (5) se deduce q  l  ha d ser colineal con  ω,  lo cual indica q el eje d rotación ha d ser principal central d inercia.

8.1. contacto d sóli2 rígi2

sean 2 sóli2 rígi2 a y b, d superficies rugosas, en contacto, supuesto puntual, pero q en realidad es superficial, según una pequeña área q rodea al punto p d contacto d la figura  8.1.

el movimiento del sólido a con respecto al sólido b, se define en el punto d contacto p, mediante la velocidad d deslizamiento v y la velocidad angular ω.

la velocidad d deslizamiento se halla contenida en el plano tangente π a la superficie d los sóli2 en p y la velocidad angular  tiene las componentes d rodadura y pivotamiento  ω_t y  ω_n respectivamente.

las acciones q ejerce el sólido b sobre el a, consecuencia del contacto entre ambos, son el resultado d acciones elementales en cada punto d la pequeña área en la q se produce.

estas acciones elementales, reducidas en el punto d contacto   p, dan una resultante d fuerzas r  y un momento resultante k d pequeña magnitud.

teniendo en cuenta las componentes d r  y k  según el plano tangente π y la normal se tiene

r = r_t + r_n

en el caso d q el contacto sea entre un punto material y un sólido rígido, el movimiento con respecto al sólido, estaría determinado x la velocidad  v y la acción d contacto x  r.

8.2. leyes del rozamiento

las relaciones q existen entre las componentes d la resultante  r  y del momento resultante k definen las leyes del rozamiento y fueron establecidas x coulomb.

en el rozamiento al deslizamiento,   si la velocidad d deslizamiento  v no es nula, la fuerza d resistencia al deslizamiento o fuerza d rozamiento r_t tiene la dirección d v sentido opuesto y se verifica q r_t = μ r_ny si la velocidad d deslizamiento es nula la fuerza d rozamiento r_t es desconocida y se verifica q r_{t n}siendo μ un coefi100te adimensional, denominado coefi100te d rozamiento al deslizamiento, el  cual  depende  únicamente d  la  naturaleza  d  las  superficies  en contacto y es independiente d la velocidad d deslizamiento y del área d contacto.

se denomina cono d rozamiento, al cono d revolución d eje la normal común a las superficies d los sóli2 en el punto d contacto p, vértice en él y semiángulo cónico

ө = arctg μ

el rozamiento se denomina cinético  o dinámico  cuando hay movimiento, y estático cuando no lo hay.

experimentalmente, se observa q la fuerza d rozamiento estática r_te es mayor q la fuerza d rozamiento cinética r_tc  x lo q para r_n constante se tiene q

(μe > μc)

lo cual indica q el coefi100te d rozamiento estático es mayor q el coefi100te d rozamiento cinético. en general salvo q se haga tal distinción, ambos coefi100tes se considerarán iguales.

en el rozamiento a la rodadura  si la velocidad angular d rodadura ω_t no es nula el momento resistente a la rodadura k_t tiene la dirección d ω_t, sentido opuesto y se verifica q k_t = ρ r_n  y si la velocidad angular d rodadura en nula k_t es desconocido y se verifica q k_{t n}  siendo ρ un coefi100te q tiene dimensiones d longitud denominado coefi100te d resistencia a la rodadura.

la resistencia a la rodadura, es debida a la deformación d las superficies en contacto, d manera q  los  contactos teóricamente   puntuales  no lo  son  y  el efecto d  su presencia se traduce en el desplazamiento d la fuerza r_n una distancia ρ medida en el sentido d la rodadura.

en el rozamiento al pivotamiento,  si la velocidad angular d pivotamiento ω_n no es nula, el momento  resistente al  pivotamiento k_n   tiene  la dirección  d  ω_n, sentido opuesto y se verifica q k_n = α r_n y si la velocidad angular d rodadura es nula k_n es desconocido y se verifica q k_{n n}  siendo α un coefi100te q tiene dimensiones d longitud denominado coefi100te d resistencia al pivotamiento.

en general, salvo q se advierta d lo contrario, los rozamientos a la rodadura y al pivotamiento son despreciables frente al rozamiento al deslizamiento.

9.1. fenómenos impulsivos

los fenómenos impulsivos, se caracterizan x ser fenómenos d muy corta duración, centésimas o milésimas d 2º, o .aún -, pudiendo considerarse prácticamente instantáneos, en los q se producen cambios bruscos, pero finitos, d velocidad, sin q se produzcan variaciones apreciables d la posición y en los q actúan fuerzas muy grandes.

estas  características,  hacen  q  sean  diferentes  a  los  fenómenos  d  la  dinámicaordinaria, efectuán2e su estudio siguiendo un camino paralelo, pero diferenciado, llegando a resulta2 + sencillos, ya q se obtienen ecuaciones algebraicas.

se define el vector percusión o simplemente percusión correspondiente a la fuerza f , d gran magnitud q actúa sobre un punto material, al impulso d dicha fuerza en un intervalo d tiempo tf – ti, muy pequeño, es decir,

p =∫ f dt (entre el intervalo ti , tf)

el vector percusión p, es un vector localizado, d origen en el punto material y sus dimensiones son las d un impulso o d una cantidad d movimiento.

d lo anterior se desprende, q las fuerzas d magnitud ordinaria, entre las q se halla el peso, no dan lugar a percusiones.

d acuerdo con las  fuerzas q las originan las percusiones, estas se clasifican en interiores, debidas a fuerzas interiores y exteriores debidas a fuerzas exteriores.

las exteriores a su vez, se subdividen en directamente aplicadas y d ligadura y son debidas a fuerzas directamente aplicadas y a fuerzas d ligadura respectivamente.

9.2. dinámica impulsiva  del punto material

sea un punto material d masa m, sobre el q actúan las fuerzas d gran magnitudf1, f2,…, fn en el intervalo d tiempo tf -ti, muy pequeño.

-teorema d la cantidad d movimiento

a partir del teorema d la cantidad d movimiento d la dinámica, del punto material, se tiene

 ∫ (f1 + f2 + … + fn) dt = ∫ dp  (intervalos ti y t) y (intervalo ti y tf) // p=δp siendo  p   la 

resultante  d  las  percusiones  e  δp    la  variación  d  la  cantidad  d movimiento.

este resultado, expresa el teorema d la cantidad d movimiento d la dinámica impulsiva del punto material, según el cual:

la variación d la cantidad d movimiento d  un  punto  material  en  fenómenos  impulsivos,  es  =  a  la  resultante  d  las percusiones q actúan sobre él.

-teorema del momento cinético

a partir del teorema del momento cinético d la dinámica del punto material, se tiene

∫ r x (f1 + f2 + … + fn) dt = ∫ dl (entre ti y tf) (entre t y tf) // r x p = δl o bien k = δl siendo

k el momento resultante d las percusiones con respecto a un punto fijo a δl  la variación del momento cinético con respecto al mismo punto.

este resultado expresa el teorema del momento cinético d la dinámica impulsiva del punto material, según el cual: la variación del momento cinético con respecto a un punto f o, d  un  punto  material, en  fenómenos  impulsivos, es  =  al  momento resultante con respecto al punto fijo citado, d las percusiones actuantes o bien al momento con respecto al punto d la resultante d percusiones.

9.3. dinámica impulsiva  d los sistemas d puntos materiales.

sea un sistema d puntos materiales   a1, a2, … ,an d masas m1, m2, … ,m n cuyos vectores d posición respecto d un punto fijo o son  r1, r2, …, r n. sobre cada punto actúa la fuerza exterior  fi  y la resultante d fuerzas interiores    ∑ fij   d fuerzas interiores,todas ellas d gran magnitud dando lugar a las correspondientes percusiones.

-teorema d la cantidad d movimiento

a partir del teorema d la cantidad d movimiento d la dinámica impulsiva del punto material para el punto ai, se tiene

pi + ∑ pij =δpi

y para el sistema material, se tiene ∑ pi +∑ ∑ pij = ∑ δpi  // ∑ pi + ∑∑ pij = δ ∑ pi

puesto q las percusiones interiores verifican la ley d acción-reacción, se tiene

∑ pi = δp  o bien   h = δp  si h  representa la resultante d las percusiones exteriores.

este resultado, expresa el teorema d la cantidad d movimiento d la dinámica impulsiva d los  sistemas d  puntos materiales, según el cual: la variación d  la cantidad d movimiento d un sistema d puntos materiales es = a la resultante d las percusiones exteriores q actúan sobre el mismo.

puesto q la cantidad d movimiento d un sistema d puntos materiales se expresa x 

p = m vc   la expresión del teorema toma la forma habitual h = m δvc

-teorema del momento cinético

a partir del teorema del momento cinético con respecto a un punto fijo d la dinámica impulsiva del punto material para el punto ai, se tiene 

ri x (pi + ∑ pij) =δli

y para el sistema ∑ ri x (pi + ∑ pij) = ∑ δli  //  ∑ ri x (pi + ∑ pij) = δ ∑ li 

puesto q las percusiones interiores verifican la ley acción-reacción, se tiene

∑ ri x pi = δl  o bien k = δl  si k  representa el momento d las percusiones exteriores

respecto al punto fijo.

este resultado, expresa el teorema del momento cinético d la dinámica impulsiva d los sistemas d puntos materiales con respecto a un punto fijo, según el cual: la variación del momento cinético con respecto a un punto fijo, d un sistema d puntos materiales, es = al momento resultante con respecto a dicho punto fijo d las percusiones exteriores q actúan sobre el mismo.

9.4. dinámica impulsiva del sólido rígido

– dinámica impulsiva del sólido rígido libre

sea un sólido rígido libre cuyo movimiento es conocido, y sobre el q actúan en un determinado instante las percusiones pi.

a partir del teorema d la cantidad d movimiento d la dinámica impulsiva d los sistemas d puntos materiales, se tiene ∑ pi = m δvc (1)

a partir del teorema  del momento  cinético  d  la dinámica  impulsiva            d los  puntos materiales con respecto al centro d masas, se tiene ∑ ri x pi = δl

como l = i . ω  se tiene  ∑ ri x pi = i . δω (2)  siendo  i el tensor central d inercia, invariable en el pequeño intervalo d tiempo q dura el fenómeno impulsivo, al no variar la posición del sólido rígido.

d (1) y d (2) se obtienen 6 ecuaciones  escalares,  q dan las variaciones  δvc y δω

si  el  estado   d   velocidades   inmediatamente   antes   del  comienzo   del  fenómeno impulsivo,   está   definido   x   los  vectores   vco           y ω, el  estado   d  velocidades inmediatamente después del cese del fenómeno impulsivo, estará definido x vc1 = vco + δvc // ω1 = ωo + δω

– dinámica impulsiva del sólido rígido con un punto fijo

sea un sólido rígido q tiene un punto fijo o, cuyo movimiento es conocido y sobre el q actúan en un determinado instante las percusiones  pi.

a  partir  del  teorema d  la  cantidad d  movimiento d  la  dinámica impulsiva d  los sistemas d puntos  materiales, se tiene po + ∑ pi = m δvc (3) siendo  po  la percusión d ligadura en o

a partir del teorema del momento cinético d la dinámica impulsiva d los sistemas d puntos materiales respecto al punto fijo o, se tiene

∑ ri x pi = δl  //  ∑ ri x pi = i . δω (4) siendo  i  el tensor  d inercia  en el punto fijo o, invariable durante  el pequeño  intervalo d tiempo q dura fenómeno impulsivo, al no variar la posición del sólido.

d (3) y (4), se obtienen 6 ecuaciones escalares  q dan la variación d  δω y po

si el estado d velocidades inmediatamente antes del comienzo del fenómeno impulsivo está  definido  x  el  vector   ro0  , alrededor d  un  eje  q  pasa  x  o,  el  estado   d velocidades inmediatamente después del fin del fenómeno impulsivo será ω1 = ωo + δω alrededor d un eje q pasa x o, y la percusión  d ligadura es

po = mδω x oc – ∑ pi  ya q  δvc = δω x oc

– dinámica impulsiva  del sólido rígido con 2 puntos fijos

sea un sólido rígido en el q 2 d sus puntos  o y o’  son fijos, cuyo movimiento  es conocido, y sobre el q actúan las percusiones  pi

a partir  del teorema  d la cantidad  d movimiento  d la dinámica  impulsiva  d  los sistemas d puntos materiales, se tiene

po +  po’ + ∑ pi = mδvc  //  po + po’ + ∑ pi = mδω x oc (5)siendo   po   y  po’   las percusiones d ligadura en o y o’ respectivamente.

a partir del teorema del momento cinético d la dinámica impulsiva d los sistemas d puntos materiales respecto al punto fijo o, se tiene

oo’ x po’ + ∑ oai x pi = δl  //  oo’ x po’ + ∑ oai x pi = i . δω (6)siendo  i el tensor d inercia en o.

d  (5)  y  (6),  se  obtienen  6  ecuaciones   escalares   para  determinar   δω  y  las percusiones  d ligadura  po  y  po’.  el  problema es, en general, indeterminado,  ya q existen 7 incógnitas escalares.

es posible resolver el problema cinemático,  ya q si en la ecuación  (6) se multiplican escalarmente  ambos  miembros  x el vector  unitario  u según   el eje d rotación,  se tiene u . ∑ oai x pi = u . i . δω  //  ke = je δω (7) siendo ke  el momento d las percusiones  exteriores respecto al eje d rotación y je   el momento d inercia respecto al citado eje.

d (7), se tiene δω = ke / jeq resuelve el problema cinemático, ya q si se conoce el estado d velocidades inmediatamente antes del fenómeno impulsivo, definido  x el vector  ωo , el estado  d velocidades inmediatamente después del fin del fenómeno impulsivo será ω1 = ωo + δω

9.5. centro d percusión

se define, en un sólido rígido con 2 puntos fijos o y o’, figura 9.1, como centro  d percusión,  al  punto,  si existe,  en  el  q  aplicada  una  percusión   p ,  sean  nulas  las percusiones d ligadura.a partir del teorema d la cantidad d movimiento  d la dinámica  impulsiva del sólido rígido, si son nulas las percusiones d ligadura, se tiene

p = m δvc  //  p = mδω x oc (8)

d (8) se deduce q la percusión p ha d ser perpendicular al plano π  definido x el eje d rotación y el centro d masas c. esta es la primera condición q se ha d cumplir.

a partir del teorema del momento cinético d la dinámica impulsiva del sólido rígido respecto al punto a’,  proyección sobre el eje oo’ del  punto   a d intersección d la dirección d p con el plano π, se tiene aa’ x p = i . δω (9) siendo i el tensor d inercia en a’.

d (9) se deduce q el eje oo’ es una dirección principal d inercia en a’. esta es la segunda condición q se ha d cumplir. si se considera un triedro cartesiano ortogonal  oxyz, d (8) y (9) se tiene

p = m xc δω (10)  //  p x_a = jz δω (11)

d (10) y (11) se tiene x_a = jz / mxc (12)

d (12), se deduce q el centro d percusión no existe, si el centro d masas c se halla en el eje d rotación al ser la coordenada  x_a  infinita.

la coordenada  z_a  ha d cumplir la segunda condición antes obtenida, y según ella

∑ my’z’ =0 (13)  //  ∑ mx’z’ = 0 (14)

puesto q x = x’ // y = y’ // z = z’ + z_a

d (13) y (14) se tiene my (z – z_a) = 0  //  mx (z – z_a) = 0

d donde z_a = ∑ myz / ∑ my  //  z_a = ∑ mxz / ∑mx (15)

en general, los valores q se obtienen d (15) son diferentes, no existiendo centro d percusión.

en el caso d una placa plana, sólido rígido en el plano oxz, al ser y e y’ nulas, la primera d las expresiones (15) se verifica para cualquier valor d z_a,  obtenién2e el valor d z_a  a partir d la segunda expresión (15), teniendo q ser no nulo el denominador, es decir, q c no esté en el eje d rotación.

9.6. choque

se define el choque como el fenómeno impulsivo q ocurre al entrar en contacto 2 sóli2. x tanto, como tal fenómeno impulsivo, posee las características ya mencionadas.

sean 2 sóli2 s1 y s2, figura 9.2, q entran en contacto, en principio puntual, siendo este punto a en si y b en s2.  se define la línea d choque o línea d acción, como la normal común al plano tangente a las superficies d los sóli2 en el punto d contacto.

el choque puede ocurrir entre sóli2 con deformaciones no permanentes y tiene 2 fases, la d deformación y la d restitución o entre sóli2 con deformaciones permanentes, en  cuyo caso sólo existe la fase d deformación, pudiendo los sóli2 quedar adheri2.

en la fase d deformación, como consecuencia d la diferencia d velocidades en a y b según n , la aproximación va + alla del contacto puntual, es superficial, según una zona alrededor d a y b, desarrollán2e fuerzas acción-reacción entre los sóli2 muy grandes, tanto + grandes cuanto mayor sea la aproximación. la fase d deformación cesa al anularse la diferencia d velocidades mencionada.

en la fase d restitución, los sóli2 recuperan su forma como consecuencia d fuerzas elásticas internas. se invierte la diferencia d velocidades en a y b según  n y se separan los sóli2, disminuyendo las fuerzas acción-reacción hasta anularse cuando se llega al contacto puntual.

en los sóli2 rígi2 con deformaciones no permanentes, si bien existe deformación, al ser esta d corta duración, puede suponerse la indeformabilidad.

– coefi100te d restitución

puesto q el choque es un fenómeno impulsivo, se aplican los teoremas d la cantidad d movimiento y del momento cinético d la dinámica impulsiva del sólido a los 2 sóli2 q chocan, lo cual da como consecuencia doce ecuaciones escalares q relacionan trece incógnitas. x tanto, existe indeterminación. en el caso d q las superficies d los sóli2 sean rugosas, existe una incógnita +, pero existe una ecuación adicional +, análoga formalmente a la q se tiene en la dinámica ordinaria.

experimentalmente, se observa q los resulta2 dependen d la naturaleza física. d los sóli2 q entran en contacto para unas mismas condiciones en el instante en q se produce este. es pues indispensable, considerar una hipótesis basada en la naturaleza física d los sóli2, para resolver la indeterminación del choque, aportando la ecuación necesaria.

 la hipótesis habitual es la d newton, según la cual: la diferencia d velocidades d los puntos d contacto  según  n, puede anularse o cambiar  d sentido  en el choque  y se define un coefi100te  denominado coefi100te d restitución.

el  coefi100te   d  restitución   e  se  expresa  como  el  co100te   d  la  diferencia   d velocidades  d los puntos d contacto según  n después del choque y antes del choque, es decir = – n . (v_a’ – v_b’) / n . (v_a – v_b)

el coefi100te  d restitución  depende d la naturaleza  d las superficies  q entran  en contacto, d su forma  y d las posiciones d los sóli2  respecto a la línea d choque. los valores q toma son tales q 0 ≤ c ≤ 1

9.7. clasificación d los choques

los choques pueden clasificarse d diversas maneras: según el coefi100te d restitución:

– elásticos, c = 1

– plásticos, c = 0

– imperfectamente  elástico, 0

según la dirección d la velocidad d los centros d masa d los sóli2 en el instante d contacto:

– directos, velocidades d los centros d masas paralelos a la línea d choque

– oblicuos, direcciones cualesquiera

según la posición d los centros d masas con respecto a la línea d choque:

– centrales, si están en la línea d choque

– excéntricos, si no están  en la línea d choque

según el estado d las superficies d los sóli2:

– sin rozamiento, superficies lisas

– con rozamiento, superficies rugosas

además, tb existen los choques entre sóli2 someti2 a ligaduras.

9.8. choque central directo

sean 2 esferas s1 y s2, figura 9.3, homogéneas d masas m1 y m2 q se mueven en traslación, con sus centros d masas movién2e según la línea d choque.

a partir del teorema d la cantidad d movimiento d la dinámica impulsiva del sólido rígido, se tiene para las esferas

 p1 = m1 (va’ – va) (17) //  p2 = m2 (vb’ – vb) (18)

siendo va  y vb  son las velocidades d los puntos d contacto inmediatamente antes del choque y va’ y vb’ las velocidades d los mismos puntos inmediatamente después del choque.

a partir del coefi100te d restitución, si el choque es elástico

1 = – n. (va’ – vb’) / n . (va – vb) (19)

además las percusiones d ligadura verifican p2 = – p1 (20)

d (17), (18), (19) y (20) se obtienen  va’, vb’,  p1 y p2.

en el choque elástico se conserva la energía cinética, lo cual equivale a q se verifique (19) como puede comprobarse fácilmente.

10.1. estática

la estática es la  parte d la mecánica q estudia  el equilibrio del punto y  d los sistemas d puntos materiales.

se dice q un punto o un sistema d puntos materiales está en equilibrio, con respecto a un sistema d referencia, si abandona2 es reposo con respecto a este, permanecen indefinidamente en ese estado si persisten las condiciones iniciales.

el sistema d referencia se supone inercial o galileano, si no se dice lo contrario.

10.2. ligaduras

se denominan ligaduras a las condiciones geométricas o cinemáticas impuestas al punto o   a    los   sistemas   d   puntos   materiales   y   q   restringen   sus movimientos. matemáticamente, estas condiciones, se expresan mediante ecuaciones q relacionan las coordenadas o las velocidades. las ligaduras pueden clasificarse d diversas maneras:

según el número d ecuaciones q las expresan:

– simples, una ecuación

– dobles, 2 ecuaciones

-etc.

según q las restricciones se refieran a la posición o al movimiento:

– geométricas, restringen la posición

– cinemáticas, restringen el movimiento

según q la restricción d la posición sea en 1 o 2 senti2:

– unilaterales

– bilaterales

según q las ligaduras sean condiciones entre los puntos d un sistema material, o bien q relacionen los puntos d un sistema material con los d otro:

– interiores

– exteriores

según como sea la evolución respecto al tiempo:

– esclerónomas o estacionarias, no contienen el tiempo en forma explícita

– reónomas, contienen el tiempo d forma explícita

según el tipo d ecuación:

– holónomas, expresables en términos finitos

-no  holónomas, sólo expresables en términos diferenciales

según el contacto superficial:

– sin rozamiento, acciones d contacto normales

– con rozamiento, acciones d contacto no normales

10.3. estática del punto material

– equilibrio del punto material

para q un punto material d masa m, sometido a la acción simultánea d varias fuerzas, esté en equilibrio, ha d ser nula su aceleración a. según el 2º axioma d newton, se tiene  r = m a  siendo  r   la resultante d fuerzas  q actúan  sobre  el punto material. luego en el equilibrio se tiene r = 0. x tanto,  para q  un punto  material  está en equilibrio, ha d ser nula la resultante d las fuerzas q actúan sobre él. en el estudio del equilibrio del punto material  se pueden  presentar 2 casos: – punto material  libre. – punto material  sometido a ligaduras. se  dice  q  un  punto   material   es  libre,  cuando   no  se  halla  sometido  a  ligaduras, pudiendo ocupar  cualquier posición en el espacio. como  consecuencia, la resultante d fuerzas  consta únicamente d las fuerzas directamente aplicadas. si la resultante d las fuerzas deriva d un potencial  v   r = – grad  v verificán2e en el equilibrio ᵹv / ᵹxi = 0 (i = 1,2,3) lo cual indica q el potencial  v ha d ser extremal (máximo o mínimo). se  dice q un  punto material está  sometido a  ligaduras, cuando no puede  ocupar cualquier posición en el espacio. como consecuencia d esto, la resultante d fuerzas consta d las fuerzas directamente aplicadas y d las fuerzas d ligadura.

– estabilidad del equilibrio del punto material

la estabilidad del equilibrio del punto material presenta los mismos casos q el equilibrio: – punto material libre  – punto material ligado. sea un punto material libre en equilibrio en una posición p. en tal posición, es nula la resultante d las fuerzas. si el punto material se somete a un desplazamiento elemental dr  q lo lleva a ocupar otra posición p1, en ella, no se hallará en equilibrio, estando sometido x tanto a una resultante d fuerzas r no nula. se dice q un punto material libre se encuentra en equilibrio estable en la posición p, si la componente según,  dr d la resultante d las fuerzas q actúan sobre él, en una posición infinitamente próxima p1 , tiene sentido opuesto a dr, tendiendo a devolver al punto material a la posición p. se verifica q  r•dr 0 x tanto, al pasar el punto material d la posición p a la p1  aumenta su potencial, lo cual indica q la posición p d eq. es d potencial mínimo. se dice q un punto material libre se encuentra en equilibrio inestable en la posición p, si la componente según   dr  d la resultante d las fuerzas q actúan sobre él, en una posición infinitamente próxima p1, tiene el mismo sentido q  dr , tendiendo a no devolver el punto material a la posición p. se verifica q   r•dr > 0  en el caso d q r  derive d un potencial v, se tiene    -grad v•dr > 0    //  dv

se somete al punto material a un desplazamiento elemental  dr,  compatible con las ligaduras, hallán2e sometido a las fuerzas  q  actúan   sobre  él,   es   decir,   directamente  aplicadas   y   d  ligadura, determinando el signo d  r • dr. en el caso d q las ligaduras sean sin rozamiento, únicamente se considerarán las fuerzas directamente aplicadas x ser las d ligadura perpendiculares a dr .

– equilibrio relativo del punto material

si  r  es la resultante d las fuerzas q actúan sobre un punto material d masa m en un sistema inercial s¡, su aceleración a, respecto d este sistema, se obtiene a partir del 2º axioma d newton   r = ma  si se considera un sistema d referencia acelerado s2, la aceleración del punto material respecto a este sistema d referencia, ar, está relacionada con  a , según a = aa + ac + ar   siendo aa la aceleración  d arrastre y ac la aceleración complementaria. luego r’ = 0  y x tanto r – maa  – mac  =0  lo cual permite establecer, q para q el punto material se halle en equilibrio relativo, el cual no implica el reposo, ha d ser nula la resultante  d las fuerzas absolutas, d la fuerza d inercia d arrastre   – maa y d la fuerza d inercia complementaria  – mae.

– equilibrio dinámico del punto materia

si  r  es la resultante d las fuerzas q actúan sobre un punto material d masa m en un sistema inercial s1, su aceleración a, respecto d este sistema, se obtiene a partir del 2º axioma d newtonr=masi se considera un sistema d referencia acelerado s2, al cual está ligado el punto material, entonces este estará en equilibrio relativoar  = 0y además en reposo relativovr  =0luego teniendo en cuenta a = aa + ac + ar en el equilibrio del punto material respecto al sistema s2, se tiene r – m aa = 0 x tanto, para q un punto material se halle en equilibrio dinámico, lo cual supone el eq. y el reposo relativos, ha d ser nula la resultante d las fuerzas absolutas  r y d la fuerza d inercia d arrastre – maa. este resultado se conoce como el teorema del equilibrio dinámico del punto material según el cual: el estudio del movimiento d un punto material, respecto d un sistema d referencia inercial, es equivalente a estudiar su equilibrio dinámico.

10.4. estática d, los sistemas d puntos materiales

– equilibrio d los sistemas d puntos materiales

sea un sistema material constituido x los puntos materiales p1, p2, … , pn la resultante d las fuerzas q actúan sobre el punto pi, es ri =fi + ∑fij  siendo   fi   las fuerzas exteriores y fij  las fuerzas interiores. el sistema material estará en equilibrio, si lo está cada 1 d sus puntos, es decir, si ri  = 0 la resultante  r  d las fuerzas q actúan sobre el sistema material r = ∑ ri  ha d ser nula al serlo cada una d las resultantes  ri.

luego ∑ ri = 0  //  ∑fij + ∑∑fij = 0  y puesto q se anula la resultante d las fuerzas interiores, se tiene ∑fi = 0  esta ecuación es la primera condición d equilibrio d los sistemas d puntos materiales según la cual: ha d ser nula la resultante d las fuerzas exteriores q actúan sobre el sistema material.

el momento d la resultante d fuerzas  ri  respecto a un punto cualquiera es ri x ri = 0 al ser ri nula. luego  ri x fi + ri x ∑ fij = 0 y para el sistema material ∑ ri x fi + ∑∑ ri x fij = 0 puesto q es nulo el momento d las fuerzas interiores, se tiene ∑ ri x fi = 0

esta es la segunda condición d equilibrio d los sistemas d puntos materiales, según la cual: ha d ser  nulo  el momento  d las fuerzas  exteriores  con  respecto  a  un  punto cualquiera. las condiciones d equilibrio obtenidas, son necesarias, pero no sufi100tes,  en el caso d sistemas deformables, como puede comprobarse al considerar una barra deformable a la q se aplican en sus extremos fuerzas opuestas según su dirección. se cumplen  las 2 condiciones d equilibrio, pero la barra no se halla en equilibrio, ya q se produce acortamiento o alargamiento d su longitud.

-equilibrio relativo d los sistemas d puntos materiales

se consideran al = q para el punto material, las fuerzas absolutas constituidas x las fuerzas directamente aplicadas y las d ligadura y las fuerzas d inercia  constituidas x la d inercia d arrastre y la complementaria. la aplicación d las 2 condiciones d equilibrio d los sistemas d puntos materiales, determina el equilibrio relativo.

-equilibrio dinámico d los sistemas d puntos materiales

se consideran al = q para el punto material las fuerzas absolutas, constituidas x las fuerzas directamente aplicadas y las d ligadura y la fuerza d inercia d arrastre. la aplicación d las 2 condiciones d equilibrio d los sistemas d puntos materiales, determina el equilibrio dinámico. teniendo en cuenta las ecuaciones d los teoremas generales d la dinámica d los sistemas d puntos materiales, teorema del centro d masas

r = m ac  y  teorema del momento cinético n =dl / dt 

se tiene r – mac = 0  //  n – (dl/dt) =0  //  r + r’ = 0  //  n + n’ = 0 siendo  r y  n  la resultante   y el momento resultante y el momento resultante respectivamente,  d las fuerzas  absolutas  y  r’  y  n’  las mismas  magnitudes  para las fuerzas d inercia d arrastre.

consecuencia  d lo anterior es el teorema del equilibrio  dinámico  d los sistemas  d puntos materiales, según el cual: todo sistema d puntos materiales en movimiento  con respecto  a un sistema  inercial,  puede  considerarse  en equilibrio,  si se  considera  q sobre él actúan las fuerzas absolutas y las d inercia d arrastre.

10.5. estática del sólido rígido

– principio d traslación d las fuerzas

sea un sólido rígido, figura 10.1, sobre el q actúa una fuerza  f en el punto a. si se añaden en el punto b las fuerzas  f1 y –f1 colineales con  f, y d = módulo,  el efecto d la fuerza   f sobre el sólido no se altera.

puesto q las fuerzas  f  y –f1 constituyen un sistema d fuerzas nulo, al ser rígido el sólido, pueden ser suprimidas, quedando como única acción sobre el sólido la fuerza idéntica a la fuerza   f, pero aplicada en el punto b. teniendo en cuenta  lo anterior, puede establecerse el principio d traslación d las fuerzas en sóli2 rígi2, según el cual: el efecto d una fuerza sobre un sólido rígido no se altera si el punto d, aplicación se desplaza a lo largo d su recta soporte. del principio d traslación d las fuerzas, se deduce q las fuerzas q actúan sobre un sólido rígido, aunque realmente son vectores localiza2, se pueden considerar como si fueran vectores deslizantes, y d ahí la sufi100cia d las condiciones d equilibrio obtenidas para los sistemas d puntos materiales, en el caso d q estos sean rígi2.

– equilibrio del sólido rígido

el estudio del equilibrio del sólido rígido se efectúa aplicando las 2 condiciones d equilibrio d los sistemas d puntos materiales, lo cual da lugar a 2 ecuaciones vectoriales o lo q es = a 6 ecuaciones escalares en las q figuran, en general, como incógnitas, las fuerzas d ligadura y los parámetros q determinan el equilibrio.

si el número d ecuaciones es = al d incógnitas, el sistema material se denomina isostático o estáticamente determinado, hiperestático o estáticamente indeterminado si el número d ecuaciones es menor q el número d incógnitas e hipostático si el número d ecuaciones es mayor q el d incógnitas.

para el estudio d los sistemas hiperestáticos son precisas ecuaciones complementarias a las d la estática q igualen al número d incógnitas y q provienen d la resistencia d materiales. los sistemas hipostáticos no pueden estar en equilibrio ya q el sistema d  ecuaciones  no  tiene  solución.  el  número  d  ecuaciones  complementarias  se denomina grado d hiperestáticidad del sistema.

en el equilibrio del sólido rígido, este puede ser libre o estar sometido a ligaduras. el sólido libre constituye un sistema isostático al ser el número d incógnitas 6, las 3 coordenadas d su centro d masas y los 3 ángulos d euler, = al d ecuaciones. en el caso del sólido sometido a ligaduras, el sistema es isostático si tiene un punto fijo, al ser el número d incógnitas 6, los 3 ángulos d euler y las 3 componentes d la fuerza d ligadura y es hiperestático, d grado d hiperestáticidad 1 o 3, en los casos d tener 2 puntos fijos o 3, respectivamente.

11.1. estatica analitica

– coordenadas generalizadas

la posición o configuración d un sistema d n puntos materiales, queda determinada x medio d 3n coordenadas cartesianas ortogonales.

si el sistema material se halla sometido a ligaduras, dadas matemáticamente x k ecuaciones, habrá 3n-k coordenadas libres y las k restantes se determinarán en función d las 3n-k libres. se dice entonces, q el sistema tiene 3n-k gra2 d libertad.las 3n-k coordenadas cartesianas ortogonales, pueden ser expresadas en función d otras variables independientes q1, q2, … , q3n-k, q pueden ser longitudes, ángulos, etc. x tanto

ri = ri (q1, q2, …, q3n-k, t)

a q1, q2, … , q3n-k,  se las denomina coordenadas generalizadas, las cuales a diferencia d las cartesianas, no son susceptibles d ser agrupadas d 3 en 3 para definir un vector.

si un sistema d puntos materiales tiene su posición o configuración definida x 3n-k coordenadas generalizadas, esta, quedará definida x un punto en un espacio d 3n-k dimensiones, denominado espacio d configuración,  correspondiendo cada dimensión a una coordenada generalizada.

– desplazamiento virtual

se denomina desplazamiento virtual (imaginado) d un punto material, a un desplazamiento elemental, q se efectúa en un instante y es compatible, o no, con las ligaduras.

si r es el vector d posición del punto, el desplazamiento virtual se representa x δr para distinguirlo del  desplazamiento real    dr y matemáticamente se trata d forma análoga al real, siendo sus componentes cartesianas δx, δy  y δz.

-trabajo virtual

si sobre un punto material actúa, entre otras, una fuerza  f, el trabajo virtual d esta fuerza en el desplazamiento virtual  δr, se define como el trabajo elemental  δw dado x el producto escalar d f x δr , es decirδw= f • δr

-ligaduras perfectas

se denominan ligaduras perfectas, ideales o sin rozamiento, a aquellas en las q la suma   d  los  trabajos   virtuales  d  las  fuerzas  d   ligadura,  es  nula,  para   los desplazamientos virtuales compatibles con las mismas haya o no equilibrio.

11.2. principio  d los trabajos virtuales

establece q: la condición necesaria y sufi100te para q un sistema d puntos materiales, sometido a ligaduras perfectas, se halle en equilibrio, es q sea nula la suma d los trabajos virtuales d las fuerzas directamente aplicadas para cualquier desplazamiento virtual compatible con las ligaduras.

para demostrar q la condición es necesaria, se considera q el sistema material está en equilibrio, para lo cual han d estarlo to2 sus puntos. si pi es un punto genérico del sistema y está en equilibrio, se ha d verificar qfi  + fi’  = 0siendo fi y fi’ las resultantes d las fuerzas directamente aplicadas y d ligadura respectivamente, q actúan sobre el punto pi.

si  se  somete  el  sistema  material  a  un  desplazamiento  virtual  compatible  con  las ligaduras, el trabajo virtual d las fuerzas q actúan sobre el punto p¡ es

f .δ ri + fi . δri = 0

para el sistema se tiene

∑ f . δri + ∑ fi’ . δri = 0

al ser el desplazamiento virtual compatible con las ligaduras y estas perfectas

∑ fi’ . δri = 0

x tanto ∑ fi . δri = 0 (1) q demuestra q la condición es necesaria.

para demostrar q la condición es sufi100te se supone q se verifica (1) y q el sistema no está en equilibrio. se hace x reducción al absurdo.

si verificán2e (1) el sistema no estuviera en equilibrio, al abandonarlo a si mismo, en reposo,  el sistema se pondría en movimiento d manera q sus puntos tendrían una aceleración d dirección y sentido los d la resultante d las fuerzas q actúan sobre cada 1 d ellos (directamente aplicadas y d ligadura) d modo q

 ∑ f . dri + ∑ fi’ . dri > 0

si se considera el desplazamiento virtual δr¡ q coincide con el real dr¡, se tiene

∑ f . δri + ∑ fi’ . δri > 0

al ser las ligaduras perfectas ∑ fi’ . δri = 0   y x tanto ∑ f . δri > 0 en contradicción con la hipótesis d partida. luego la hipótesis d partida no es cierta y se  verifica  (1),  es  decir,  q  el  sistema  está  en  equilibrio,  lo  cual  demuestra  la sufi100cia d la condición.

11.3. condiciones  generales  d equilibrio  deducidas  del principio  d los trabajos virtuales

el principio d los trabajos virtuales tiene como expresión ∑ f . δri = 0 denominán2e a esta ecuación, ecuación general d la estática, dado q a partir d ella se deducen las condiciones generales d equilibrio d los sistemas d puntos materiales.

si ri = ri ( qj ) es  el  vector d  posición  d  un punto  genérico del  sistema  material, siendo qj las coordenadas generalizadas q definen su posición o configuración, el desplazamiento virtual está dado x

δrj = ( ᵹri / ᵹqj ) δqj

si el sistema material  es holónomo,  los desplazamientos virtuales  da2 x (2), son compatibles con las ligaduras, al corresponder  δqj   al número mínimo  d coordenadas

generalizadas  q defmen la posición o configuración  del sistema material, coincidente dicho número con el d gra2 d libertad del sistema. si k es el número d gra2 d libertad y n el número d puntos, d (1) y (2) se tiene

∑∑ fi . (ᵹri / ᵹqj) δqj = 0  si qj = ∑ fi . (ᵹri / ᵹqj )

se define como la fuerza generalizada q corresponde a la coordenada qj, se tiene

∑ qj δqj = 0 (3)

dado q el sistema material se ha supuesto q es holónomo, (3) ha d verificarse para

cualquier   conjunto   d  8q¡  arbitrarias,   entonces   han   d   ser   nulas   las  k   fuerzas generalizadas, es decir, qj = 0  (4)

a  partir  d  (4),   se  obtienen   k  ecuaciones   con   k  incógnitas,   las  k  coordenadas generalizadas q¡ q dan la configuración d equilibrio. x tanto, puede establecerse  q: las posiciones  o configuraciones d equilibrio d un sistema  d puntos  materiales  sometido  a ligaduras  perfectas  se obtienen  anulando  las fuerzas generalizadas.

en el caso d q las fuerzas directamente aplicadas  fi deriven d un potencial v¡

fi = – grad   vi  se tiene q

qj = ∑ – grad vi . (ᵹri / ᵹqj)  //  qj = – ∑ (ᵹvi / ᵹqj )  //  qj = – ( ᵹv / ᵹqj) siendo  v el potencial

total del sistema material.

las condiciones d equilibrio son en este caso las k condiciones ( ᵹv / ᵹqj) = 0  q expresan las condiciones d extremo del potencial total del sistema material.

12.1.  dinámica analítica

la utilización d los teoremas generales d la dinámica para determinar el movimiento d sistemas materiales, presenta dificultades cuando se trata d sistemas complejos, siendo la principal, la imposibilidad d prescindir d las fuerzas d ligadura, además d obligar al estudio particular d cada caso, x no disponer d una formulación única.

mediante la dinámica analítica, se dispone d una formulación única, ecuaciones d lagrange o d hamilton, aplicable a cualquier sistema material x complejo q sea y d q las ligaduras y el sistema d referencia se hallen o no en movimiento, si bien su máximo interés es el del estudio d los sistemas someti2 a ligaduras perfectas y a ligaduras holónomas.

los procedimientos d la dinámica analítica, se basan en el empleo d magnitudes escalares, tales como energía cinética, energía potencial y  trabajo virtual expresadas en función d las coordenadas generalizadas elegidas para definir la posición o configuración del sistema material.

así como en el 2º axioma d newton, es preciso distinguir si el sistema d referencia  es inercial o acelerado, en las ecuaciones d lagrange y d hamilton no es precisa tal distinción, bastando con considerar las coordenadas generalizadas respecto a un sistema inercial.

12.2. energía cinética

la energía cinética para un sistema d n puntos materiales es

t = ∑ ½ mi vi²

como el vector d posición, en el caso + general, d  ligaduras dependientes del tiempo  y sistemas  d  referencia móviles, está dado  en función d  las coordenadas generalizadas qj y del tiempo x

ri = ri ( qj , t) (j = 1, 2, … , k)

la velocidad es vi = ( ᵹri / ᵹqj ) . qj + ( ᵹri / ᵹt)

luego

t =∑∑ ½ mi ( ᵹri / ᵹqj ) . ( ᵹri / ᵹq1 ) qj q1 + ∑∑ mi ( ᵹri / ᵹqj ) . ( ᵹri / ᵹt ) qj + ∑ ½ mi ( ᵹri / ᵹt )²

q puede ponerse en la forma

t = ∑ aj1 qj q1 + ∑ bj qj + c

en la q las expresiones d aj1, bj y c son evidentes.

cuando las ligaduras son independientes del tiempo y no hay sistemas d referencia móviles al no aparecer explícitamente el tiempo en la expresión del vector d posición se anulan bj y c.

habitualmente, para obtener la energía cinética d un sistema material, no se utiliza la expresión anterior, y si se utiliza el 2º teorema d könig sumando las energías cinéticas d to2 los sóli2 q constituyen el sistema material.

12.3. principio d d’alembert

sea un sistema den puntos materiales p1, p2, … , pn, d masas m1 , m2, … ,m n, sometido a ligaduras perfectas.

si fi y fi’  son la fuerza directamente aplicada y la fuerza dligadura q actúan sobre el punto pi, respectivamente, según el 2º axioma dnewton se tiene

fi + fi’ = mi ai   o bien fi + fi’ = mi ai   donde  -m¡a¡ es la fuerza d inercia.

esta ecuación, q expresa el equilibrio dinámico del punto material p1 según el cual es nula la resultante d fuerzas q actúan sobre él, directamente aplicadas, d ligadura y d inercia d arrastre, es conocida como principio d d’alembert.

si se somete al sistema material a un desplazamiento compatible con las ligaduras, según el principio d los trabajos virtuales se tiene

∑ (fi + fi’ – mi ai ) δri = 0  //  ∑ (fi – mi ai ) δri = 0 ya q las ligaduras son perfectas.

esta ecuación denominada ecuación general d la dinámica d los sistemas materiales, es  otra forma del  principio d  d’alembert,  según  el cual: en  un sistema material sometido a ligaduras perfectas, es nula la suma d los trabajos virtuales d las fuerzas directamente aplicadas y d las d inercia.

12.4. ecuaciones d lagrange para sistemas.holónomos

sea un sistema material holónomo, constituido x  n  puntos materiales p1, p2, … , pn, d masas m1, m2, … ,m n.

al ser el sistema material holónomo, las ecuaciones d ligadura están expresadas   en terminas finitos en la forma f1 ( qj , t ) = 0pudiendo definir la posición o configuración del sistema material, mediante un número mínimo d coordenadas generalizadas independientes q, coincide con el número d gra2 d libertad del sistema material, ya q en este caso, es posible eliminar d las magnitudes características un número d coordenadas generalizadas = al número d ecuaciones d ligadura.si k es el número d gra2 d libertad, el vector d posición d un punto genérico del sistema material, estará definido, en el caso + general d ligaduras dependientes del tiempo o sistemas d referencia móviles, en función d la k coordenadas generalizadas qj y del tiempo x ri = ri (qj , t)

los desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras están da2 x

δri = (ᵹri / ᵹqj ) δqj

a partir d la ecuación general d la dinámica se tiene

(fi – mi (d²ri / dt²) (ᵹri / ᵹqj ) δqj = 0

ya q al ser la velocidad vi = (ᵹri / ᵹqj ) qj + (ᵹri / ᵹt)

se verifica q ᵹvi / ᵹqj = ᵹri / ᵹqj

x tanto

puesto  q las coordenadas  generalizadas qj son  independientes, sus  valores son arbitrarios, debiendo ser nulos to2 los coefi100tes, es decir, qj = d/dt  (ᵹt / ᵹqj ) – (ᵹt / ᵹqj) resultando las ecuaciones primeras d lagrange.

si  las fuerzas directamente aplicadas derivan d un potencial qj = – ᵹv / ᵹqj

luego sustituyendo se tiene d/dt ((ᵹ (t – v)) / ᵹqj ) – ((ᵹ (t – v)) / ᵹqj ) = 0

ya q el potencial v es sólo función d la posición. si l=t – v es la lagrangiana del sistema, se tiene d/dt ᵹl/ᵹqj – ᵹl/ᵹqj = 0  q son las ecuaciones segundas d lagrange.

las ecuaciones d lagrange, en cualquiera d sus formas, son ecuaciones diferenciales d  2º  orden,  q  una vez  integradas,  dan  las coordenadas  generalizadas  qj en función del tiempo, d manera q ello permite obtener  la posición o configuración del sistema material en cualquier instante, x medio del vector d posición ri = ri (t)

12.5. significado d las fuerzas generalizadas

la fuerza generalizada qj q corresponde a la coordenada qj está definida x

y es una magnitud tal q qjδqj  representa un trabajo.

si se fijan todas las coordenadas excepto una, x ejemplo q1,  y el tiempo, qjδqj se transforma en q1δq1. a partir d la expresión d q1, se tiene

q representa el trabajo d todas las fuerzas directamente aplicadas al sistema material, como consecuencia d la variación d la posición o configuración del mismo, producida al variar la coordenada generalizada q1

en general, si la coordenada generalizada qj es una longitud, qj es la proyección d todas las fuerzas directamente aplicadas sobre la dirección d la coordenada qj y si es un  ángulo, qj  es  el  momento áxico  resultante  d  todas  las  fuerzas  directamente aplicadas respecto al eje normal al plano del ángulo en su vértice.

en ambos casos, el sentido d proyección o el del momento áxico son aquellos en los q crece la coordenada generalizada qj, es decir, tomando el sentido positivo para δqj,  resultando positiva o negativa la fuerza generalizada, según q coincida o  no el sentido d la proyección o el momento áxico con el del crecimiento d la respectiva cooordenada generalizada.

12.6. potencial dependiente d la velocidad

es posible utilizar las ecuaciones segundas d lagrange aún en el caso d q  las fuerzas directamente aplicadas no deriven d un potencial. esto es posible si se cumple

siendo u = u (qj, qj, t) el denominado potencial dependiente d la velocidad o potencial generalizado. x tanto a partir d las ecuaciones primeras d lagrange se tiene

siendo en este caso la lagrangiana l=t – u

un caso muy importante d fuerzas q derivan d un potencial dependiente d  la velocidad, es ellas  fuerzas electromagnéticas q actúan sobre cargas móviles.

12.7. ecuaciones  d  lagrange  para  sistemas  no  holónomos.    multiplicadores d lagrange

sea un sistema material no holónomo, constituido x  n  puntos materiales p1, p2,  … , pn d masasm1, m2, …,m n. al ser el sistema material no holónomo, las ecuaciones d ligadura están expresadas en términos diferenciales mediante expresiones q no son diferencial total exacta y son, en general, d la forma aij dqj + a1 dt = 0 no siendo posible, en estos sistemas materiales, expresar  las magnitudes características en función del número  mínimo d coordenadas  generalizadas  independientes  o libres q  definen  su  posición  o  configuración,  coincidente  con  el  número  d  gra2  d libertad  del sistema  material, al  no ser posible, eliminar  en tales  magnitudes,  d  un número d coordenadas generalizadas = al número d ecuaciones d ligadura.los desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras verifican las ecuaciones aij δqj = 0 esta misma situación se plantea en sistemas holónomos en los q las ecuaciones d ligadura están expresadas en términos finitos, en la forma fi (qj , t) = 0 pero  q  hacen    imposible  la  eliminación  en  las  magnitudes  características  d  un número d coordenadas  generalizadas  = al número  d ecuaciones  d ligadura. eneste caso las ecuaciones d ligadura se ponen en forma diferencial (ᵹf1 / ᵹqj ) dqj + (ᵹf1 / ᵹt) dt = 0 formalmente idénticas a las d las ecuaciones d ligadura no holónomas en las q los coefi100tes aij y a1  ahora son  derivadas  y los desplazamientos  virtuales en este  caso verifican las ecuaciones(ᵹf1 / ᵹqj ) δqj = 0 observando las ecuaciones d ligadura y las q verifican los desplazamientos  virtuales compatibles  con  las  ligaduras,  se  concluye,  q   los  desplazamientos   virtuales   no coinciden con  los  reales cuando  las  ligaduras dependen  del tiempo  y  s1 coinciden cuando no existe tal dependencia. x tanto, se dará a los sistemas holónomos someti2 a estas ligaduras hólonomas el mismo tratamiento q a los sistemas no holónomos.a partir del principio d d’alembert se obtienen las ecuaciones

siendo n el número d coordenadas generalizadas qj y los desplazamientos virtuales δqj están relaciona2 mediante las r ecuaciones d ligadura aij δqj = 0  si se multiplica cada una d las ecuaciones d ligadura x un parámetro λ y se suma con la ecuación anterior, se tiene

los n paréntesis q corresponden a los n desplazamientos virtuales       δqj  son nulos debido  a  la elección  d  r  d  los  parámetros  y  a  la  independencia d  los  n  – r desplazamientos virtuales  δqj. x tanto, se tiene

estas n ecuaciones junto con las r ecuaciones d ligadura determinan las n+r incógnitas, q son los r parámetros λy las n coordenadas generalizadas qj. si las fuerzas directamente aplicadas derivan d un potencial, qj = – ᵹv/ ᵹqj siendo v el potencial total del sistema, se tiene

y si las  fuerzas  aplicadas  unas  derivan  d  un  potencial  y  otras  no,  las primeras  se introducen   en   la   lagrangiana   y   las   otras   quedan   como   fuerzas   generalizadas, obtenién2e

12.8. significado físico d los multiplicadores d lagrange

si en un sistema material se sustituyen las ligaduras x las correspondientes fuerzas d ligadura el sistema puede considerarse q se mueve libremente sometido a la acción d estas fuerzas y d las directamente aplicadas.

si qj’ y qj son las fuerzas generalizadas q provienen d las fuerzas d ligadura  y d las fuerzas directamente aplicadas respectivamente,  las ecuaciones d lagrange son

 (1)

teniendo en cuenta las ligaduras, las ecuaciones se tienen las ecuaciones d lagrange

luego qj’ = λ1 aij

x tanto, los multiplicadores d lagrange son 1s coefi100tes q multiplica2 x los correspondientes d las ecuaciones d ligadura dan las fuerzas d ligadura generalizadas.

este procedimiento basado en los multiplicadores d lagrange permite determinar, además del movimiento, las fuerzas d ligadura.

sin embargo para la determinación d fuerzas d ligadura es + útil usar el concepto d fuerza d ligadura generalizada y x tanto, utilizar las ecuaciones (1), en las q mediante el trabajo virtual d todas las fuerzas, las directamente aplicadas y las d ligadura se determinan las fuerzas d ligadura generalizadas qj y  qj’.

13.1. ecuaciones d lagrange en dinámica  impulsiva para sistemas holónomos

sea un sistema material holónomo, d  puntos materiales a1, a2, … , an, d masas m1 ,m2, … ,m n, al q se aplican en un determinado instante las percusiones  pi.

al ser el sistema  material holónomo, como ya se  vio al obtener  las ecuaciones d lagrange, es posible en este tipo d sistemas, definir la posición o configuración del sistema material mediante un número mínimo d   coordenadas   generalizadas independientes q coincide con el número d gra2 d libertad del sistema material, ya q en este caso es posible eliminar, en las magnitudes características un número d coordenadas generalizadas = al número d ecuaciones d ligadura.

a partir d las ecuaciones d lagrange

multiplicando ambos miembros x dt e integrando entre tf y ti, se tiene

si se define la percusión generalizada x pj = ∫ qj dt (límites ti tf)

se tiene pj = ( ᵹt / ᵹqj )_tf – ( ᵹt / ᵹqj )_ti

ya q ∫ (ᵹt / δqj ) dt = 0 (límites entre ti y t)  en el intervalo d tiempo tf – ti  q es muy pequeño.

las ecuaciones algebraicas (2) en número = al d gra2 d libertad del sistema material, permiten  determinar el  estado  d  velocidades del  sistema  material en  el instante tf  conocido el estado d velocidades en el instante ti.

en general, si la coordenada generalizada qj es una longitud, pj es la proyección d todas las percusiones directamente aplicadas sobre la dirección d la coordenada qj y si es un ángulo, pj es el momento áxico resultante d todas las percusiones directamente aplicadas, respecto al eje normal al plano del ángulo en su vértice.

en ambos casos, el sentido d proyección o el del momento áxico son aquellos en los q crece la coordenada generalizada q¡, es decir, tomando el sentido positivo para δqj, resultando positiva o negativa la percusión generalizada, según q coincida o no el sentido d la proyección o el momento áxico con el del crecimiento d la respectiva coordenada generalizada

13.2. ecuaciones d lagrange en dinámica impulsiva  para sistemas no holónomos

si el sistema es no holónomo, como ya se vió al obtener las ecuaciones d lagrange para  este tipo  d •sistemas materiales, no  es  posible expresar  las magnitudes características en función del número mínimo d coordenadas generalizadas independientes o  libres q definen su posición o  configuración coincidente con  el número d gra2 d libertad del sistema material, al no ser posible, eliminar en tales magnitudes un número d coordenadas generalizadas = al número d ecuaciones d ligadura..

en estos sistemas es preciso utilizar los multiplicadores d lagrange, ya vistos anteriormente, siendo posible la determinación d las percusiones d ligadura, además del estado d velocidades en el instante tf conocido el estado  d velocidades en el instante i¡.

sin embargo para la determinación d percusiones d ligadura es + útil usar el concepto d percusión d ligadura generalizada y x  tanto utilizar las ecuaciones correspondientes.