Cinemática y Dinámica del Sólido Rígido: Un Análisis Completo

1. Cinemática del Sólido Rígido: Traslación y Rotación

Los sistemas de puntos, sean materiales o no, según sea la distribución de sus puntos pueden ser discontinuos, si la distribución no es continua, y continuos si lo es. Los sistemas de puntos, tanto discontinuos como continuos, teniendo en cuenta la posición relativa entre ellos, pueden ser rígidos, si no varía la posición relativa entre ellos, y deformables si varía. La posición de un sistema de puntos respecto de un sistema de referencia, queda definida por medio del vector de posición de cada uno de sus puntos. Si el sistema de puntos es rígido, la posición de cualquier punto del mismo, queda determinada conociendo la posición de 3 de sus puntos no situados en línea recta. Cualquier otro punto forma con los 3 anteriores un tetraedro invariable respecto del sistema de puntos, lo que permite determinar de manera inequívoca la posición de dicho punto respecto de los 3 primeros. A los sistemas de puntos materiales continuos y rígidos se les denomina sólidos rígidos o sólidos ideales, por considerarlos entes de razón que sustituyen a los sólidos naturales con mayor o menor aproximación. La determinación de cualquier movimiento del sólido rígido, como se demostrará más adelante, se reduce a la determinación de 2 movimientos fundamentales, un movimiento de traslación y un movimiento de rotación.

El movimiento de traslación, se caracteriza porque las velocidades de todos los puntos del sólido rígido son vectores iguales, quedando determinado por la velocidad de uno de ellos, que se denomina vector traslación. Si P1, P2,…, Pn son puntos del sólido rígido en una posición (Fig. 1.1) y P’1, P’2,…, P’n los mismos puntos en otra posición, las trayectorias descritas por todos ellos son iguales y los vectores P1P’1, P2P’2,…, PnP’n son equipolentes.

El movimiento de rotación se caracteriza porque permanecen fijos 2 puntos del sólido rígido y con ellos los de la recta que los une. En efecto, sean A y B los 2 puntos fijos y C un tercero situado sobre la recta AB. Por hipótesis, en la rotación A y B no cambian de posición. Si C pasase a C’ fuera de la recta AB, resultaría que AC’ + C’B sería mayor que AC + CB en contra de la hipótesis de indeformabilidad.

Los puntos del sólido rígido, Fig. 1.2, describen en sus movimientos circunferencias contenidas en un plano perpendicular al eje y con el centro situado sobre el mismo ya que, ABP es en todo momento un ángulo recto por la indeformabilidad del sistema y por la misma razón BP es constante. La rotación alrededor del eje está determinada por medio del vector deslizante vector angular ω o vector rotación, cuyos elementos son:

  • Módulo: |ω| = dθ / dt, donde θ(t) es el ángulo que describen los puntos del sólido rígido durante la rotación, medido en el plano de sus movimientos.
  • Dirección: la del eje de rotación.
  • Sentido: el de avance de un tornillo dextrógiro al girar en el sentido del movimiento.

La velocidad del punto P, según se observa en la Fig. 1.2 es vp = ω x rp, puesto que los vectores vp y ω x rp tienen iguales módulos, direcciones y sentidos ya que ωr es igual a ω rp sen φ, teniendo en cuenta que vp = ω x ap o bien vp = pa x ω se concluye que la velocidad de un punto coincide con el momento estático de ω respecto del punto.

2. Movimiento General de los Sistemas Rígidos

En la teoría de los sistemas de vectores deslizantes, se demuestra la propiedad característica de un campo de momentos así como su recíproco. A continuación, se va a utilizar esta propiedad para desarrollar la cinemática del sólido rígido.

Sean A y B dos puntos de un sólido rígido cuyos vectores de posición son OA y OB y sus velocidades va y vb. Dado que el sólido es rígido, es invariable la distancia entre los puntos A y B, por lo cual será nula la derivada con respecto al tiempo del cuadrado de la distancia entre A y B, es decir, d/dt (AB2) = 0.

Derivando respecto del tiempo se obtiene 2 AB (dAB / dt) = 0.

Pero AB = OB – OA, luego AB . (dAB / dt) = AB . (d(OB – OA) /dt) // AB . (dAB/dt) = AB . (dOB/dt) – AB . (dOA/dt). Por tanto vb . AB = va . AB y teniendo en cuenta el vector unitario u según AB, vb.u = va.u.

Por tanto, la proyección de la velocidad de todos los puntos de una recta, sobre dicha recta es constante. En particular, el campo instantáneo de velocidades del sólido rígido, es creado por un sistema de vectores deslizantes, que en un punto cualquiera A se reduce a una resultante general que se representará por el vector rotación ω y a un momento resultante, que será el vector de campo en dicho punto, y que se representará por el vector velocidad instantánea va, puesto que en este caso, el campo de momentos es el campo instantáneo de velocidades del sólido rígido. Según se vio al estudiar los sistemas de vectores deslizantes, la resultante general ω es un vector equipolente cualquiera que sea el centro de reducción. A continuación se analiza la significación de esta resultante general. En otro punto cualquiera B, el momento resultante será su velocidad instantánea. Por la teoría de vectores deslizantes se sabe que: vb = va + ω x AB.

La velocidad instantánea de B se obtiene sumando a la de A el producto vectorial ω x AB. Para cualquier otro punto C, se obtendría vc = va + ω x AC.

Por tanto, el movimiento instantáneo del sólido rígido se determina en el punto A, por medio de un movimiento de traslación de vector va, y por un movimiento de rotación de vector ω alrededor de un eje que pasa por A. El movimiento de traslación de vector va es el mismo para todos los puntos y el movimiento de rotación se efectúa alrededor del eje citado, dando en cada punto P un vector ω x AP, es decir, para B vb = va + ω x AB coincidente con el resultado anterior.

Cuando se dice que el movimiento instantáneo del sólido rígido está determinado en A por el vector traslación va y el vector rotación ω, es porque el mismo movimiento puede determinarse de infinitas maneras. Así, si la reducción del sistema de vectores deslizantes se hace en B, se tendrá un vector rotación ω equipolente y el vector traslación o vector de campo en B, que es vb. El vector campo en el punto P, o velocidad de P, es el momento resultante del sistema de vectores deslizantes, es decir vp = vb + ω x BP. Por tanto, ahora se describe el movimiento instantáneo del sólido rígido en B, por el movimiento de traslación definido por el vector traslación vb, el mismo para todo punto, y por el movimiento de rotación definido por el vector rotación ω alrededor de un eje que pasa por B.

Se ha demostrado el teorema de Chasles: “El movimiento general del sólido rígido puede descomponerse en 2 movimientos elementales, el primero de traslación y el segundo de rotación”. El movimiento de traslación, está definido por el vector traslación y el movimiento de rotación por el vector rotación ω deslizante, equipolente, que en cada caso pasa por el punto que se ha utilizado para definir el movimiento de traslación. Si el sólido rígido tiene un punto fijo O, el movimiento en dicho punto se reduce a un movimiento de rotación definido por un vector rotación cuya recta soporte pasa por O, ya que la velocidad del punto O, al ser fijo, es nula. Con ello queda demostrado el teorema de Euler: el movimiento de un sólido rígido en el que se mantiene fijo uno de sus puntos, es un movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por dicho punto. Puesto que los vectores rotación instantánea en diferentes puntos son equipolentes, el módulo del vector rotación instantánea es un invariante. Teniendo en cuenta que vb = va + ω x AB, se obtiene vb . ω = va . ω y en general v . ω = cte. Luego el producto escalar de v por ω, es un invariante, denominado invariante escalar. Es consecuencia de los invariantes anteriores vm = (v . ω) / ω es también un invariante, denominado velocidad mínima. Los puntos en los que la reducción instantánea da como resultado que v sea colineal con ω, definen una recta denominada eje instantáneo de rotación y deslizamiento. También, es denominado eje helicoidal instantáneo, al ser además de eje de la rotación instantánea, la dirección de la traslación instantánea. En la cinemática del sólido rígido se tienen los siguientes tipos de movimientos:

  • Si ω ≠ 0, ω . v ≠ 0, en cualquier punto se tendrá el correspondiente vector traslación v, y el vector rotación ω equipolente. En el eje instantáneo de rotación y deslizamiento los vectores v es paralelo a ω. Es el movimiento más general.
  • Si ω ≠ 0 ; ω . v = 0, en cualquier punto se tendrá el correspondiente vector traslación v, y el vector rotación ω equipolente perpendiculares entre sí. En el eje instantáneo de rotación, se tendrá solamente el vector ω. El movimiento en los puntos del eje instantáneo es una rotación.
  • Si ω = 0 ; v ≠ 0 en cualquier punto se tiene solamente v. El movimiento es una traslación.
  • Si ω = 0 ; v = 0 no existe movimiento.

El conjunto de los sucesivos ejes instantáneos de rotación y deslizamiento, definen, con respecto a un sistema de referencia fijo en el espacio, una superficie reglada denominada axoide fijo, y con respecto al sólido rígido, otra superficie reglada denominada axoide móvil. En cada instante, los dos axoides tienen una generatriz común, que es el eje helicoidal instantáneo. El axoide móvil tiene un movimiento de traslación instantáneo según la generatriz común y un movimiento de rotación instantánea alrededor de la misma generatriz. Como el axoide móvil y el sólido rígido están solidariamente unidos, el movimiento del primero define el del segundo. Si el sólido rígido tiene un punto fijo, el eje instantáneo de rotación pasa por él, no existiendo el movimiento de traslación instantánea. Los dos axoides serán dos superficies cónicas de vértice el punto fijo y el axoide móvil tiene un movimiento de rotación instantánea alrededor de la generatriz común, que pasa siempre por el punto fijo. Puesto que vp = va + ω x AP al derivar con respecto al tiempo, se tiene ap = aa + (dω/dt) x AP + ω x (dAP/dt) y de ahí ap = aa + (dω/dt) x AP + ω x (ω x AP) (1). La ecuación (1) muestra la relación que existe entre las aceleraciones de dos puntos de un sólido rígido, siendo dω/dt la aceleración angular instantánea del movimiento.

2.1. Centro de Aceleraciones

Para ver si existen, en un instante, puntos de aceleración nula, se considera un sistema de referencia cartesiano ligado al sólido rígido, de origen en uno de sus puntos, el A, Fig. 1.3.

La aceleración de un punto cualquiera P del sólido rígido es ap = aa + (dω/dt) x AP + ω x (ω x AP) (2).

Refiriendo las componentes de la ecuación (2) al sistema cartesiano citado, con la particularidad de tomar el eje z coincidente con ω resulta: ω = ω k // ω = li + mj +nk // aa = λi + μj + ʋk // OP = xi + yj + zk.

Sustituyendo en la expresión de la aceleración, e igualando a cero las 3 componentes resulta:

λ + mz – ny – ω2 x = 0 // μ + nx – lz – ω2 y = 0 // ʋ + ly – mx = 0 (ponerlo en sistema),

donde el determinante

     │-ω2  -n  m│

δ= │n   -ω2  -1│

     │-m  1    0  │

δ = -ω2 (m2 + l2),

que es, en general, distinto de cero. En consecuencia, generalmente, hay en cada instante un punto, y solo uno, en el cual se verifica que su aceleración es nula. Dicho punto es el centro de aceleraciones.

2.2. Sólido en Contacto con una Superficie

Sea un sólido rígido S, móvil sobre la superficie S1, fija, Fig. 1.4, con la que mantiene un punto de contacto P que varía con el tiempo.

El movimiento del sólido rígido en el punto de contacto P está determinado por el vector traslación instantánea vp y por el vector rotación instantánea ω.

La velocidad instantánea vp del punto de contacto P, ha de estar contenida en el plano tangente π, para que no exista penetración entre las superficies en contacto, en contra de la hipótesis de rigidez del sólido S y de la superficie S1.

La velocidad instantánea vp del punto en contacto se denomina velocidad de deslizamiento.

La velocidad angular instantánea ω puede descomponerse según el plano π y la normal: ω = ωr + ωp.

A ωp se la denomina componente de pivotamiento y a ωr componente de rodadura.

Si el sólido rígido desliza, el vector traslación vp no es nulo y el punto de contacto no pertenece al eje instantáneo de rotación, salvo que vp sea colineal con ω (movimiento helicoidal) para lo cual es preciso que no exista pivotamiento.

Si el sólido rígido no desliza, el vector traslación vp es nulo, y el punto de contacto pertenece al eje instantáneo de rotación.

El movimiento instantáneo es de rotación alrededor de un eje que pasa por P y, en el caso de no existir el pivotamiento, es de rodadura pura o rodadura sin deslizamiento.

2.2.1. Movimiento Plano

Se caracteriza porque los puntos del sólido rígido se mueven permaneciendo sobre planos fijos paralelos entre sí. Por la indeformabilidad del sólido rígido, el movimiento plano está determinado con solo conocer el de 3 puntos, no situados en línea recta, de uno de los planos del haz y que se denomina plano director.

Sean A, B y C tres puntos del sólido rígido en movimiento plano, pertenecientes al plano director y no situados en línea recta.

Se tendrá vb = va + ω x AB // vc = va + ω x AC.

Por la definición del producto vectorial, ω es perpendicular a vb – va y a vc – va.

Pero al estar los vectores va, vb y vc contenidos en el plano director, el vector ω será perpendicular a dos rectas situadas en el plano director, luego lo será al propio plano director.

Puede llegarse a la misma conclusión con solo tener en cuenta que cuando un plano gira alrededor de un eje que no es perpendicular al plano, la posición final de este no coincide con la inicial, en contra de la hipótesis del movimiento plano.

Puesto que el vector ω es perpendicular al plano director, la velocidad mínima vm, es nula, y el movimiento instantáneo se reduce en el eje instantáneo de rotación a un movimiento rotación pura, sin traslación, alrededor de un eje perpendicular al plano director.

La velocidad y la aceleración instantáneas de un punto cualquiera se obtienen a partir de las de otro punto A mediante las ecuaciones: vp = va + ω x AP // ap = aa + (dω/dt) x AP + ω2 PA.

El punto de intersección del eje instantáneo de rotación con el plano director, se denomina centro instantáneo de rotación y es el único punto que en cada instante tiene velocidad nula.

Si I es el centro instantáneo de rotación, la velocidad de un punto cualquiera es vp = ω x IP.

Al ser vp perpendicular a IP, se deduce que la normal a la trayectoria de P pasa por el centro instantáneo de rotación. Debido a ello, es posible determinar su posición a partir de las tangentes a las trayectorias de dos puntos, como intersección de las normales a dichas trayectorias.

Los lugares geométricos del centro instantáneo de rotación con respecto a un sistema de referencia fijo en el espacio y con respecto al sólido rígido, se denominan curva polar fija o base y curva polar móvil o ruleta, respectivamente. Estas curvas son las intersecciones de los axoides fijo y móvil, que en este caso son superficies cilíndricas, con el plano director.

Teniendo en cuenta las curvas polares, el movimiento puede considerarse como un movimiento de rodadura de la ruleta sobre la base, al estar la ruleta ligada al sólido rígido.

2.2.2. Movimiento del Centro Instantáneo de Rotación

Sean B y R la base y la ruleta del movimiento, ambas en el mismo lado de la tangente común, y cuyo centro instantáneo de rotación es I en el instante t.

Transcurrido el tiempo δt, los puntos en contacto de B y R serán I1 en la base e I2 en la ruleta, de modo que los arcos II1 e II2 son iguales ya que se pasa de I a I1 e I2 por medio de rotaciones elementales instantáneas continuas sin deslizamiento. Por tanto, el centro instantáneo de rotación recorre la base y la ruleta con la misma velocidad w, denominada velocidad propia del centro instantáneo de rotación o también velocidad de sucesión del centro instantáneo de rotación, la cual está definida por w = lim (δt→0) (II1/δt).

Esta velocidad, cuya dirección es la de la tangente común a B y R en el centro instantáneo de rotación, no es la del centro instantáneo de rotación, que es nula en cada instante, sino la de un punto ficticio que recorre la base.

Puesto que δφ = δθ1 – δθ, dividiendo por δt se obtiene (δφ/δt) = (δθ1/δt) – (δθ/δt).

Al ser iguales los arcos II1 e II2, se tiene δs = rrδθ1 // δs = rbδθ, siendo rb y rr los radios de curvatura de la base y de la ruleta respectivamente.

Por tanto lim (δt→0) (δφ/δt) = lim (δt→0) (δs/δt)(1/rr – 1/rb), de donde se deduce que ω = w ( 1/rr – 1/rb), es decir, w = ω ((rbrr)/(rb-rr)).

Si la base y la ruleta se encuentran a distinto lado de la tangente común, se obtiene w = ω ((rbrr) / (rb + rr)).

2.2.3. Aceleración del Centro Instantáneo de Rotación

Sean B y R la base y ruleta del movimiento.

En el instante, el centro instantáneo de rotación es I, punto de tangencia de base y ruleta en dicho instante y la velocidad angular es ω.

El punto I tiene velocidad nula en el instante t por ser el centro instantáneo de rotación, pero su aceleración es distinta de cero ya que en el instante t + δt, ha pasado a la posición I’’, siendo en dicho instante el centro instantáneo de rotación el punto I’ y su velocidad no es nula.

Por tanto, vi = 0 // vi’’ = ω’ x I’ I’’, donde ω’ es la velocidad de rotación instantánea alrededor de un eje que pasa por I’ y es normal al plano del movimiento.

Por definición, ai = lim (δt→0) (vi’’ – vi)/δt = lim (δt→0) (ω’ x I’ I’’) / δt = lim (δt→0) (ω’ x (I’I + II’’)) / δt.

Hallando los límites, se obtiene lim (δt→0) (ω’ x (I’I)/δt) = ω x lim (δt→0) (I’I / δt) = ω x (-w) = w x ω, donde w es la velocidad propia del centro instantáneo de rotación, y lim (δt→0) (ω’ x (I I’’/δt) = ω x lim (δt→0)  (I I’’ / δt) = ω x vi = 0.

Por tanto, la aceleración del centro instantáneo de rotación está dada por ai = w x ω.

Su módulo es wω, tiene como dirección la normal común a la base y a la ruleta, y sentido hacia la ruleta.

2.2.4. Circunferencias de Inversiones e Inflexiones

Sean B y R la base y ruleta del movimiento y un sistema de coordenadas polares, de polo el centro instantáneo de rotación I y eje polar la tangente común a B y R en el que las coordenadas de un punto P son r y θ.

La aceleración de un punto cualquiera P, teniendo en cuenta el centro instantáneo de rotación I es ap = ai + (dω/dt) x IP + ω2 PI. Proyectando ap sobre la tangente y la normal a la trayectoria de P, cuyos vectores unitarios respectivos son t y n, el sentido de t está obligado por el de w, y teniendo en cuenta que ai = w x ω se tienen las componentes tangenciales y normal de la aceleración de P. Por tanto, at = ω r + ω w cos θ // an = ω2 r – ω w sen θ. La circunferencia de inversiones es el lugar geométrico de los puntos del plano móvil que en un determinado instante tiene nula la componente tangencial de la aceleración. Al ser en estos puntos (dv/dt) = 0 el módulo de la velocidad pasa por un valor extremo.

Por tanto, ω r + ω w cos θ = 0 o bien r = -(ωw/ω) cos θ, que es la ecuación de una circunferencia de diámetro ωw / ω.

En coordenadas cartesianas es x2 + y2 = -(ωw / ω) x.

La circunferencia de inversiones y w, se hallan en el mismo lado de la normal común a base y ruleta en el caso de que ω y ω tengan el mismo sentido y degenera en una recta, la normal común, en los instantes en que se anula ω. La circunferencia de inflexiones es el lugar geométrico de los puntos del plano móvil que en un determinado instante tiene nula la componente normal de la aceleración. Al no ser nula la velocidad en estos puntos, el radio de curvatura en ellos es infinito, por lo que las trayectorias de los diferentes puntos del plano móvil tienen en la circunferencia de inflexiones un punto de inflexión. Por tanto ω2 r – ωw sen θ = 0 y se obtiene r = (w / ω) sen θ, que es la ecuación de una circunferencia de diámetro w / ω. En coordenadas cartesianas x2 + y2 = (w / ω) y. La circunferencia de inflexiones está situada siempre en el mismo lado de la tangente t que la ruleta. Las circunferencias de inversiones e inflexiones se cortan en los puntos I y J. El punto J es el centro instantáneo de aceleraciones ya que las componentes normal y tangenciales de la aceleración son nulas. El punto I, centro instantáneo de rotación, en cambio tiene aceleración distinta de cero.

2.2.5. Determinación Gráfica y Analítica de Velocidades y de Aceleraciones

a. Velocidades

conocidas en un instante  la velocidad  d un punto a y la dirección  d la velocidad d otro punto b, se trata d determinar gráfica y analíticamente  el estado d velocidades en el instante considerado. como vb = va+ωxab (1) gráficamente se tiene

d la figura se obtienen los módulos y los senti2 d vb y ω. una vez determinado el vector ω, queda determinado  el estado  d velocidades  en el instante considerado, ya q para un punto cualquiera p se tiene vp=va+ωx ap (2) obtenién2e d (2), gráficamente, el módulo, la direc. y el sentido d vp. a partir d la ec. (1), analíticamente, se obtienen 2 ec. escalares al multiplicar escalarmente ambos miembros d la ec. x 2 vectores unitarios ┴ entre sí, q permiten hallar los módulos d vb y ω. sus senti2 se obtienen del gráfico  d velocidades. para un punto cualquiera p, las 2 ec. escalares  q  proporciona  la  ec (2), dan las componentes d vp en  las direcciones y senti2 d los vectores unitarios. en cualquier caso, los productos escalares x los 2 vectores unitarios (proyecciones según  2  direc. ┴),  se  obtienen  d  acuerdo  con  la  respectiva ec. d velocidades y con el auxilio del gráfico d velocidades correspondiente. una determinación gráfica basada en la propiedad característica del campo instantáneo d velocidades del sólido rígido va•u=vb•u es el q se muestra en la f2.5 q se obtiene la velocidad d un punto cualquiera p, previa determinación d la del punto b. (f2.5)

otra determinación gráfica d velocidades es la se efectúa teniendo el centro instantáneo d rotación i del movimiento. puesto q para los puntos a y b se tiene  va= ωxla (3)   vb = ωx lb (4) se obtiene gráficamente la posición del punto i mediante la intersección d las normales a las direcc. d las velocidades d a y b. una vez hecho esto, se construye la (f2.6)

d la q se obtiene gráficamente los módulos y senti2 d vb  y ω,  así como  la velocidad d un punto cualquiera p, ya q vp =ωxlp (5). analíticamente, d (3) y (4) y (5), se obtienen las ec. escalares va=ω ip // vb = ω lb  // vp=ω  lp. a partir d las q se hallan los módulos d  los vectores ω, vb, y vp, previa  la determinación d la posición d i, y sus senti2 respectivos a partir d las ec. (4) y (5)

  1. aceleraciones

conocidas en un instante la velocidad y la aceleración d un punto a y la direcc. d la velocidad d otro punto b y, además, la direcc. d la aceleración del punto b, o bien su trayectoria, se trata d determinar gráfica y analíticamente el estado d aceleraciones en el instante considerado. puesto q ab = aa + (dω / dt) x ab + ω2 ba (6) en el caso d conocer la direcc. d la aceleración del punto b, gráficamente, se tiene la  (f2.7)

d la f.2.7, se obtienen los módulos d ab y ω; así como sus senti2. en el caso d conocer la trayectoria del punto b, y x tanto su radio d curvatura r, teniendo en cuenta q ab = (dvb/dt)t + (vb2/r)n se tiene la (f2.8)

puesto q se conoce el vector (vb2/r)n d la figura 2.8, se obtienen los módulos d ab y ω así corno sus senti2. una vez q se determina ω, queda determinado el estado d aceleraciones en el instante considerado, ya q para un punto cualquiera p se tiene ap=aa+(dω/dt)xap +ω2pa  (7) obtenién2e, gráficamente, el módulo, dirección y sentido d la aceleración d p. a partir d la ecuación (6), se obtienen analíticamente, 2 ec. escalares al multiplicar escalarmente ambos miembros d la ecuación x 2 vectores unitarios ┴ entre sí, q dan los módulos d ab  y ω. sus senti2 se obtienen del gráfico d aceleraciones. para un punto cualquiera  p, las 2 ec. escalares q proporciona la ec. (7) dan las componentes d ap en las direc. y senti2 d los vectores unitarios. en cualquier caso, los productos escalares x los 2 vectores unitarios (proyecc. según 2  direc. ┴), se  obtienen   d  acuerdo   con  la  respectiva ec. d aceleraciones y con el auxilio del gráfico d aceleraciones  correspondiente. la determinación gráfica del vector  ω2 ba considerado anteriormente, se efectúa d acuerdo con la (f2.9)

puesto q vb=va+ωxab // │vb-va│=ω.ba // ω2ba=(vb–va)2/base traza una semicircunferencia d diámetro ab, y se lleva sobre ella, a partir d b, un segmento d longitud │vb-va│q la corta en m. la proyección d m sobre ab define el extremo del vector  ω2ba cuyo origen es b.


3.1 composición d movimientos

sea  un sólido rígido móvil con respecto   a 2 sistemas d referencia s1, fijo, y s2, móvil con respecto a s1, representa2 x los triedros cartesianos ortogonales cuyos orígenes respectivos son o y o1, respectivamente, f 3.1.

el movimiento d s2 respecto d s1,  se denomina movimiento  arrastre, el del sólido rígido respecto  d  s2 movimiento  relativo  y  el  del  sólido  rígido  respecto  d  s1 movimiento absoluto.

cada 1 d los movimientos está determinado, como se ha visto anteriormente, x un movimiento d traslación y un movimiento d rotación.

mediante la composición d movimientos se determina el movimiento absoluto del sólido rígido en función d los movimientos componentes, d arrastre y relativo. una vez  hecho esto, puede determinarse el movimiento respecto d un tercer sistema d referencia y así sucesivamente.


3.2 velocidad en la composición d movimientos

sea  un sólido rígido móvil con respecto  a 2 sistemas d referencia s1, fijo, y s2, móvil con respecto a s1, representa2 x los triedros cartesianos ortogonales cuyos orígenes respectivos son o y o1, respectivamente, figura 3.2.

d la figura 3.2, se tiene r = o oi + r1

derivando respecto al tiempo, se tiene (dr/dt) = (dooi / dt) + (dr1/dt)

teniendo en cuenta q (dr1/dt) = ω x r1 + (dr1/dt)

ya q la variación del  vector r1 en el arrastre es debida únicamente al movimiento d  rotación,  se obtiene v = vo1 + ω r1 + vr siendo va = vo1 + ω x r1 la velocidad d arrastre y vr la velocidad relativa.

la ecuación (1) da la velocidad  d un punto p del sólido rígido en la composición  d movimientos.

3.3 aceleración en la composición d movimientos

teniendo  en cuenta  la ecuación  d  la velocidad  d  un  punto  en  la composición  d movimientos

v = vo1 + ω x r1 + vr

y derivando respecto del tiempo, se obtiene

(dv/dt) = (dvo1/dt) + (dω/dt) x r1 + ω x (dr1/dt) + (dvr/dt)

y puesto q (dr1/dt) = ω x r1 + (dr1/dt)   //   (dr1/dt) = ω x vr + (dvr/dt)

se obtiene a = ao1 + (d ω /dt) x r1 + ω  x (ω x r1) + 2 ω x vr + ar

siendo ao = ao1 + (d ω / dt) x r1 + ω x (ω x r1)

la aceleración d arrastre, ac = 2 ω x vr

la aceleración d arrastre, ac = 2 ω x vr

la aceleración complementaria o d coriolis, y arla aceleración relativa.

la  ecuación (2)  da  la  aceleración d  un  punto  p  del  sólido   en  la composición d movimientos.



4.1 centro d masas

sea un sistema d puntos materiales   p1, p2, p3, … ,pn d masas m¡, m2, m3, …, mn,  y cuyos vectores d posición respecto d un punto o son r1,r2,r3,…,rn.

se define el centro d masas c del sistema d puntos materiales como el punto respecto del cual se verifica q ∑mi cpi = 0

como cpi = ri – rc

se obtiene ∑ mi ri – (∑ mi) rc = 0

luego rc = (∑ mi ri) / (∑ mi)

la expresión (1) da el vector d posición del centro d masas d la distribución respecto del punto o.

el centro d masas c es único.

si  se  considera   un  triedro  cartesiano   ortogonal   con  origen   en  el  punto   o,  las coordenadas del centro d masas son

xc = (∑ mi xi) / (∑ mi)

yc = (∑mi yi) / (∑ mi)

zc = (∑mi zi) / (∑ mi)

si la distribución es continua se tiene rc = (∫r dm) / (∫dm)

en  vez d (1) y para las coordenadas las siguientes expresiones

xc = (∫ x dm) / (∫ dm)

yc = (∫ y dm) / (∫ dm)

zc = (∫ z dm) / (∫ dm)

las integrales son d línea, d superficie y d volumen si el sistema material es lineal, superficial y volumétrico respectivamente.

para sistemas d puntos materiales, continuos o no, q presenten simetría, según la regla d arquímedes, el centro d masas se halla en el elemento d simetría correspondiente, punto, recta o plano

para sistemas d puntos materiales, continuos o no, constitui2 x diferentes partes d las  q  se conocen  las  posiciones  d  sus  respectivos  centros  d  masas, según  el principio  d descomposición, el centro d masas del sistema se obtiene como si fuera un sistema d puntos materiales, cuyas masas son las d cada una d las partes  situadas en sus respectivos centros d masas.


4.2 teoremas d pappus y guldin

en el caso d sistemas d puntos materiales continuos, planos y homogéneos, es posible determinar la posición del centro  d masas mediante los 2 teoremas d pappus y guldin, el 1º se refiere a sistemas materiales lineales y el 2º a superficiales.

teorema 1

sea la línea plana y homogénea d la figura 4.1 y un elemento ds d ella.

el área   engendrada x el elemento ds al girar 2πradianes  alrededor d una recta t coplanaria q no corta a la línea, es da = 2 π r ds

el área total es a = 2 π  ∫r ds luego a = 2 π  rc l

x tanto,   el primer teorema  muestra, q’ el área engendrada x  una línea plana homogénea  al· girar  alrededor d  una recta  coplanaria q  no  la corta,  es =  al producto d la longitud d la circunferencia q describe su centro d masas x la longitud d la línea.

teorema2

sea la superficie plana y homogénea d la figura 4.2, y un elemento d superficie dσ d ella.

el volumen engendrado x el elemento dσ al girar 2π radianes alrededor d una recta t coplanaria q no corta a la superficie, es dv = 2 π r dσ

el volumen total es v = 2 π  ∫ r dσ luego v = 2 π rc a

x tanto, el 2º teorema muestra, q el volumen engendrado x una superficie plana homogénea al girar alrededor d una recta coplanaria q no la corta, es = al producto d la longitud d la circunferencia q describe su centro d masas x el área d la superficie.

5.1 momentos d inercia

sea un sistema d puntos materiales p1, p2, p3, … ,pn d masas m1, m2, m3, …   ,mn, y cuyos vectores d posición respecto d un punto o son r1, r2,r3,…, r n se denomina, en general, momento d inercia d una sistema d puntos materiales respecto d un punto, recta  o plano, a la suma d los productos d las masas d los puntos del sistema x el cuadrado d sus distancias al punto, recta o plano. el momento d inercia, muestra como se halla dispuesto el sistema d puntos materiales con respecto a elementos geométricos: puntos, rectas o planos.

– momento d inercia central: el momento d inercia central respecto al punto o es jo = ∑ mi ri2 si se considera un triedro cartesiano ortogonal, con origen en o: jo = ∑mi(xi2 + yi2 + zi2) si el sist. d puntos materiales fuera continuo se tendría jo= ∫ r2dm // jo=∫(x2+y2+ z2)dm – momento d inercia axial: el momento d inercia axial d un sistema d puntos materiales respecto d una recta r, d vector unitario u es jr = ∑miδi2

o bien jr = ∑ mi [ u x (ri x u) ]2  //  jr =  ∑ mi (ri x u)2 si se considera un triedro cartesiano ortogonal con origen en un punto o d la recta, se tiene jx = ∑mi (yi2 + zi2)  //  jy = ∑mi (xi2 + zi2)  //  jz = ∑mi (xi2 + yi2)

si el sistema d puntos materiales fuera continuo  jr = ∫ δ2 dn // jr = ∫ [u x (r x u)]2 dm //  jr = ∫ (r x u)2 dm  // jx= ∫ (y2 + z2) dm // jy = ∫(xi2 + zi2)  dm // jz = ∫ (xi2 + yi2) dm

es frecuente representar los momentos d inercia d un sistema material en la forma mk2 ,siendo k, q tiene dimensiones d longitud; denominada radio d giro en el caso d momentos axiales

– momento d inercia planario: el momento d inercia d un sistema d  puntos materiales, respecto al plano π, d vector unitario normal n , es jπ = ∑ mi δi2

o bien, jπ = ∑ mi ( ri . n)2 si se considera un triedro cartesiano ortogonal con origen en o, punto del plano, se tiene jxy =∑mi zijxz =∑mi yi2  jyz = ∑mi xi2  en el caso d q el sistema d puntos materiales fuera continuo

jπ = ∫δ2dm // jπ = ∫ (r . n)2 dm // jxy = z2 dm // jxz = ∫ y2 dm // jyz = ∫ x2 dm

todas las integrales pueden ser d línea, d superficie  o d volumen,  dependiendo  d q el sistema material continuo sea una línea, una superficie o un volumen. d las definiciones d los momentos d inercia se deducen las siguientes relaciones

jo = jπ + jr (1) jr = jπ1 + jπ2 (2) jo = jπ1 + jπ2 + jπ3 (3) jo = ½ (jr1 + jr2 + jr3) (4)

la relación (1), muestra q la suma d los momentos d respecto d una recta y d un plano  ortogonales  entre  si,  =  al  momento  d  inercia  respecto  del  punto  d intersección. la relación (2), muestra q la suma d los momentos d inercia respecto d 2 planos ortogonales  entre  si,  es  =  al  momento  d  inercia  con  respecto  d  la  recta  d intersección. si se considera un triedro cartesiano ortogonal, d (2) se obtiene jx = jxy + jxz // jy = jxy + jyz // jz = jxz + jyz la relaciones (3) y (4), muestran q el momento d inercia con respecto a un punto, es = a la suma d los n.u>mentos d inercia con respecto a 3 planos y a la semisuma con respecto a  3 rectas, ortogonales entre si tanto los planos en un caso como las rectas en el otro. si se considera un triedro cartesiano ortogonal d (3) y (4) se obtiene jo = jxy + jxz + jyz  //  jo= ½ (jx + jy + jz)

5.2 producto  d inercia

sea un sistema d puntos materiales p1, p2, p3, … ,pn d masas m1, m2, m3, … , mn y cuyos vectores d posición respecto d un punto o son r1, r2, r3, …, r n

el producto d inercia d un sistema d puntos materiales respecto d 2 planos π1 y π2 es

jπ1π2 = ∑mi δi1 δ i2  o bien jπ1π2 = ∑mi (ri . n1) (ri . n2)

si se considera un triedro cartesiano d origen en o, punto d la intersección d los 2 planos, se tiene

j12 = ∑mi xi yi  //  j23 =∑ mi yi zi  //  j13 = ∑mi xi zi

en el caso d q el sistema material d puntos materiales sea continuo, se tiene

jπ1π2 = ∫ δ1 δ2 dm o bien

o bien jπ1π2 = ∫(r . n1) (r . n2) dm //j12 = ∫xy dm // j13 = ∫xz dm j23 = ∫yz dm

las integrales pueden ser d línea, d superficie o d volumen, dependiendo d q el sistema material continuo sea una línea, una superficie o un volumen.los productos d inercia, a diferencia d los momentos d inercia, q son positivos, pueden ser positivos, negativos o nulos.


5.3 teorema  d steiner

mediante este teorema, se relacionan los momentos d inercia con respecto a un punto recta y plano, y el producto d  inercia, con los momentos d  inercia y producto d inercia q tienen en cuenta el centro d masas, una recta paralela y un plano paraleloq contienen el centro  d masas, y 2 planos paralelos cuya intersección contiene  al centro d masas.

para el momento central se tiene jo = jc + mδ2 siendo δ  la distancia entre o y el centro d masas c.

para el momento axial se tiene jr = jrc + mδ2  siendo δ la distancia entre la recta r y la recta rc paralela x el centro d masas c.

para el momento planario se tiene jπ = jπc + mδ2  siendo δ la distancia entre el plano π y el plano πc paralelo a π x el centro d masas c.

para el producto d inercia se tiene jπ1π2 = jπ1cπ2c + mδ1δ2

o bien jπ1π2 = jπ1cπ2c + m (oc . u) (oc . v) siendo  u   el vector unitario

perpendicular a los planos paralelos π1 y π1c distantes entre si δ1 y v el vector unitario perpendicular a los planos paralelos π2  y π2c  distantes entre si δ2, d modo q el centro d masas c esta contenido en la intersección d π1c y π2c y el punto o en la intersección d los planos π1 y π2 .


5.4 tensor d inercia

sea un sistema d puntos materiales p1, p2, p3, … ,pn d masas m1, m2, m3, …  ,m n, ycuyos vectores d posición respecto d un punto o son r1,r 2, r 3,•••,r n

el vector d inercia iu  asociado a la dirección definida en o x el vector unitario u es

iu = ∑mk rk x (u x rk)

si se consideran los vectores d inercia  i1 , i2 e i3 , asocia2  en o a 3 vectoresunitarios ortogonales  e1,  e2 y  e3 , se obtiene iu = i1 u1 + i2 u2 + i3 u3siendo u1, u2    y u3, las componentes del vector  u  según los 3 vectores unitarios menciona2.

las proyecciones d  iu sobre u y sobre el plano perpendicular a u en o son

iuv = iu . u // iuv = iu . v

teniendo en cuenta la expresión d iu , se obtiene

iuv = ∑mk [rk2 – (rk . u)2]  //  iuv = – ∑mk (rk . u) (rk . v)

como se observa iuv es el momento d inercia axial respecto d la recta d vector unitario u , e   iuv , es el producto d inercia, cambiado d signo con respecto a 2 planos cuyos vectores unitarios normales son u  y v .

x tanto iij = ∑ mk [rk2  δij – (rk . ui) (rk . uj)] siendo  δij  la delta d kronecker.

puesto q las componentes d los vectores d inercia  i1, i2 e i3   en o,  tienen como componentes  las lij, el vector d inercia iu asociado  en o a u , puede ponerse en la forma iu = u . i (i lleva 2 vectores arriba) (1)

la expresión (1) del vector d inercia, representa un producto tensorial contraído del vector u x el tensor i d 2º orden, y se expresa mediante el producto matricial

[ ii ] = [ ui ] [ iij ]

los elementos d la matriz [iij], q representa al tensor d  merc1a, se denominan componentes escalares del tensor, y sus filas son las componentes d los vectores i1, i2 e i3, respectivamente, denomina2 componentes vectoriales del tensor.

d lo anterior se desprende, q los elementos d la diagonal principal d la matriz d inercia, son los momentos d inercia respecto a 3 rectas ortogonales entre si en o, y los restantes elementos  son los productos d inercia, cambia2 d signo, respecto a las parejas d planos q definen en o las rectas mencionadas.

al ser simétrico el tensor d inercia, (1) puede ponerse en la forma iu = i . u

el punto o coincide  con el centro  d masas del sistema  material, el tensor d inercia se denomina tensor central d inercia

5.5 direcciones y momentos principales d inercia

x ser simétrico el tensor d inercia, existen en cada punto 3 direcciones ortogonales entre s4  denominadas principales d inercia, en las q

iu = λ u

x tanto, a partir d la expresión general del vector d inercia se obtiene

[ i – λ u] . u = 0 (1) siendo u el tensor unidad d 2º orden.

la ecuación característica │i – λ u │= 0 d tercer grado en λ, da los valores d los momentos principales d inercia en o correspondientes  a las direcciones  principales  en dicho punto, las cuales se determinan mediante el vector unitario  u a partir d la ecuación (1).

si  las direcciones  d  referencia  en  o,  son  las  principales,   la  matriz  d  inercia  es diagonal,  al ser  nulos  los productos  d inercia,  ya q  en este  caso,  cada  1  d los vectores d inercia asocia2 a cada una d las direcciones principales, tiene nulas las componentes  según  las otras  2  direcciones  principales, siendo  los elementos  d la diagonal principal los momentos principales d inercia en o.

los planos defini2 x cada pareja d direcciones principales, se denominan  planos principales, siendo x tanto, principales, las direcciones normales a los planos principales.

los ejes y planos d simetría del sistema material, son direcciones y planos principales d inercia centrales.


5.6 momento d inercia en una dirección cualquiera

como se ha visto anteriormente, el momento d inercia respecto d una dirección d vector unitario u, es la proyección del vector d inercia asociado a dicha dirección sobre ella, luego

 iuu = u . i . u

x tanto, matricialmente se tiene iuu = [ ui ] [ iij ] [ uj ]

este mismo resultado, en forma desarrollada, se obtiene al considerar las expresiones del momento d inercia axial jr.


5.7. elipsoide d inercia

es el lugar geométrico d los puntos p cuya posición está dada x el vector

op = ( 1 / √jr ) . u

siendo u el vector unitario en una dirección cualquiera en o y jr  el momento d inercia respecto d esa recta.

si se considera un triedro cartesiano ortogonal d origen en o, se tiene

x = ( 1 / √jr ) u1  (2)  //  y = ( 1 / √jr ) u2  (3)  //  z = ( 1 / √jr ) u3 (4)

y eliminando u1, u2, y u3 entre (2), (3), (4) y la expresión desarrollada q da el momento d inercia jr con respecto a una recta se obtiene

i11 x2 + i22 y2 + i33 z2 + 2 i12 xy + 2 i13 xz + 2 i23 yz = 1

cuádrica  d  centro  o,  q  es  un  elipsoide,  x  ser  positivo  jr, y q  se  denomina elipsoide d inercia del sistema material respecto del punto o. en el caso d q se tome como punto d referencia el centro d masas del sistema material, se denomina elipsoide central d inercia.

el elipsoide d inercia, degenera en un cilindro d revolución, si el sistema material es asimilable a una recta. si esta recta es el eje x, al ser nulas las coordenadas  y y z , son nulos los productos d inercia y el momento d inercia  l11,luego se tiene

i22 y2 + i33 z2 = 1 siendo iguales l22 e i33

las direcciones  d  los ejes del  elipsoide  d , inercia  en  un  punto,  coinciden  con  las direcciones  principales  d inercia en dicho punto. la ecuación  del elipsoide referida  a sus ejes es a x2 + b y2 + c z2 = 1 siendo a, b y  c los momentos principales d inercia en el punto.

si el punto  es el centro d  masas del sistema  material, el elipsoide d  inercia se denomina elipsoide central d inercia. en este elipsoide, q para cada sistema material, es el d mayor tamaño, los ejes y los planos q definen son principales d inercia en to2 sus puntos.


6.1 momento cinético

– sólido rígido con un punto fijo

sea un sólido rígido con  un punto o, fijo. el  momento cinético del sólido  rígido respecto al punto o es l = ∫ r x v dm   siendo r, el vector d posición del punto p en el q se halla situada la masa dm, y v su velocidad.

puesto q el movimiento es d rotación alrededor d un eje q pasa x el punto o,

v = ω x r se obtiene l =∫  r x (ω x r) dm

si u  es el vector unitario en la dirección y sentido d  ω, al ser el vector d inercia asociado a u en el punto o es iu = ∫ r x (u x r) dm  se obtiene l = i . ω (1)

x tanto, el momento cinético respecto al punto o, es el producto contraído del tensor d inercia i en el punto o x ω.

si se considera un sistema d referencia cartesiano ortogonal d origen en el punto o, ligado al sólido rígido, (1) puede ponerse en forma matricial [ li ] = [ iij ] [ ωj ]

si las direcciones del sistema d referencia coinciden con las direcciones principales en o, la matriz del tensor d inercia es diagonal.

– sólido rígido con un eje fijo

sea un sólido rígido con un eje fijo. el momento cinético del sólido rígido respecto a un punto o cualquiera del eje es l = i . ω siendo i el tensor d inercia en o.

se define el momento cinético le respecto al eje d rotación, como la proyección sobre dicho eje del momento cinético respecto a 1 cualquiera d sus puntos. x tanto

le = l . u   luego   le = ω iuu     siendo luu el momento d inercia del sólido rígido

respecto al eje d rotación.

si el eje d rotación es principal d inercia en el punto o, le es = al módulo del momento cinético l, al ser este colineal con ω.

-sólido rígido en movimiento plano

el movimiento se reduce en el centro d masas c a la traslación definida x el vector traslación vc, contenido en el plano director, q es el q contiene a c, y a la rotación definida x el vector rotación ω.

teniendo en cuenta el primer teorema d köenig, el momento cinético respecto a un punto fijo o, es     l = rc x m vc + i . ω     siendo i . ω  el momento cinético en c  o momento cinético relativo, i  el tensor d inercia en c y m la masa del sólido rígido. si el eje d rotación en c es eje principal d inercia el momento cinético en c es, ω  iuu.

– sólido rígido libre

según el primer teorema d köenig el momento cinético respecto a un punto fijo, es

l = rc x m vc + i . ω     siendo  i • ω       el momento cinético en c  o momento cinético

relativo, i  el tensor d inercia en c y m la masa del sólido rígido.


6.2 energía cinética

-sólido rígido con un punto fijo

la energía cinética del sólido rígido es t = ½ ∫ v2 dm  siendo  v la velocidad del punto p en el q se halla situada la masa dm.

como el movimiento es d rotación alrededor d un eje q pasa x el punto fijo o,

v = ω x r  siendo  r , el vector  d posición del punto p en el q se halla situada  la masa dm, se obtiene es t = ½ ∫ v . ω x r dm    y como el momento cinético respecto a o

es   l = ∫ r x v dm

resulta t = ½ ω . l     o bien   t = ½ ω . i . ω (1)  siendo  i el tensor d inercia en o.

si se considera un sistema d referencia cartesiano ortogonal d origen en el punto o, ligado al sólido rígido, (1) puede ponerse en forma matricial

t = ½ [ ωi ] [ iij ] [ ωj ]

si  las direcciones  del  sistema  d  referencia  son  las direcciones  principales  en  o,  la matriz del tensor d inercia es diagonal.

– sólido rígido con un eje fijo

el momento cinético del sólido rígido respecto a un punto o cualquiera del eje es

t = ½  ω . i . ω   siendo i el tensor d inercia en o.

si u es el vector unitario según ω, se obtiene  t = ½ ω2 iuu  siendo iuu el momento d inercia respecto al eje d rotación.

– sólido rígido en movimiento plano

el movimiento se reduce en el centro d masas c a la traslación definida x el vector traslación  vc, contenido en el plano director, q es el q contiene a c, y a la rotación definida x el vector rotación  ω.

teniendo en cuenta el 2º teorema d köenig, la energía cinética es

t = ½ m vc2 + ½  ω . i . ω    siendo   ½  ω . i . ω la energía  cinética relativa, i  el tensor 

d inercia en  c y m la masa del sólido rígido. si el eje d rotación en  c es eje principal d inercia la energía cinética relativa es, ½ ω2 iuu

– sólido rígido libre

según el 2º teorema d köenig la energía cinética es

t = ½ m vc2 + ½  ω . i . ω   siendo   ½  ω . i . ω   la energía cinética relativa, i el tensor

d inercia en c y m la masa del sólido rígido.


6.3 relación entre la energía cinética y el momento cinético

sea un sólido rígido con un punto o fijo. a partir d la energía cinética, se tiene

ω . i . ω = 2t (1)

si la energía cinética, t es constante, la ecuación (1) es la d una cuádrica, q  es un elipsoide, d centro en el punto o y q es el lugar geométrico del extremo del vector ω. este elipsoide es concéntrico y homotético con el elipsoide d inercia, cuya ecuación

es  r . i . r = 1

si se diferencia en (1), se obtiene  dt = i . ω . dω

luego  dt = l . dω

x tanto l = grad t (2)

d (2)  se deduce q el momento cinético l, es perpendicular al plano tangente en cada punto al elipsoide (1), lo cual se muestra en la figura 6.1.



6.4 problema d poinsot

el problema d poinsot es el siguiente: estudiar el movimiento  d un sólido rígido, q tiene  un  punto  fijo,  sabiendo  q  el  momento  cinético  respecto  a  dicho  punto  esconstante.

sea o el punto fijo. puesto q  

t = ½ l . ω  

derivando respecto del tiempo y teniendo en cuenta la constancia d  l y su relación con t, se obtiene

2 ( dt / dt ) = grad t . ( dω / dt)   luego   (dt / dt) = 0

el  resultado  obtenido   muestra  q  durante  el  movimiento   permanece constante   la energía cinética. como consecuencia d ello, el lugar geométrico del extremo del vector ω, es 1 d los elipsoides  d la familia q se tiene al variar  t, y q se denomina elipsoide d poinsot.

al  ser  constantes  el  momento  cinético   l  y  la  energía  cinética  t,  es constante  la proyección d  ω según la dirección d l . esto, junto la constancia d  l, indica q el plano tangente al elipsoide, como se muestra en la f. 6.2, es fijo, y dista ωl d o.

como el elipsoide en o esta definido x la masa del sólido rígido, el conocimient0 del movimiento  del elipsoide,  implica el del movimiento  del sólido rígido. el movimiento está  determinado   mediante  un  pivotamiento  y  una  rodadura  sin  deslizamiento   del elipsoide sobre el plano tangente fijo, ya q el eje instantáneo d rotación, pasa x el punto d contacto con el plano tangente.


6.5 angulos d euler

para  determinar   la  posición  d  un  sólido  rígido,  en  un  instante  cualquiera  d  su movimiento,  respecto  d un triedro cartesiano  ortogonal ox’y’z’, fijo, en generase determina la d un triedro cartesiano ortogonal xyz unido al sólido rígido. la posición d  este  triedro,  está  determinada  si  lo está  la traslación  d  su  origen,  y la rotación alrededor d un eje q pasa x dicho punto. la traslación esta determinada, mediante las  coordenadas  del  origen  respecto  del triedro  fijo,  y  la  rotación  está  determinada mediante los ángulos d euler.los ángulos d euler son los ángulos d 3 rotaciones q determinan el movimiento d rotación del triedro  unido al sólido rígido,   del cual se detallan,  a continuación,  sus fases sucesivas. en ellas, se describe como se llega a una posición cualquiera del triedrounido  al sólido  rígido  xyz, a  partir  d  una  posición  inicial  coincidente  con  la del triedro fijo, y con su mismo origen.

a.  movimiento d rotación, denominado d precesión, alrededor del eje oz’ d ángulo d φ. en este movimiento:

-ox’ pasa a la posición oa, en el plano ox’y’

-oy’ pasa a oy1, q forma un ángulo φ con oy’.

-oz’ no se altera x ser eje d rotación.

b.   movimiento  d rotación, denominado  d nutación,  alrededor  d  oa, denominadalínea d no2, d ángulo ө. en este movimiento:

-oa no se altera x ser eje d rotación.

-oy1 pasa a oj, situada en el plano oxy, al ser ө el ángulo q forman oz con oz’.

-oz’ pasa a oz.

c.   movimiento d rotación alrededor d oz, d ángulo ψ. en este movimiento:

-oa pasa a ox, situada en el plano oxy, formando el ángulo ψ.

-oj, perpendicular a oa, pasa a oy, situada en el plano oxy, formando el ángulo ψ

-oz no se altera x ser eje d rotación.

el triedro  oxyz, ha pasado d la posición inicial d ejes coordena2  paralelos a los del triedro fijo ox’y’z’, a la posición en un instante t, mediante 3 movimientos d rotación  d ángulos  φ, ө y ψ. el paso a la posición   en un instante t + dt, se efectúa mediante  los mismos  movimientos  d rotación d ángulos infinitesimales.  como en el instante t el movimiento  d rotación alrededor del punto o se puede definir x el vector rotación  ω, se tiene ω = φ + ө + ψ

si en el instante t se proyecta sobre los ejes móviles oxyz se obtiene

ω1= φ sen ө sen ψ + ө cos ψ(1)

ω2 = φ sen ө cos ψ – ө sen ψ(2)

ω3=φ cos ө+ψ (3)

siendo ω1, ω2  y ω3  las componentes d ω  en los ejes móviles oxyz.

para hallar las componentes d ω, es preciso tener en cuenta q oh proyección d  φ, se halla en el plano q forman z y z’.

las relaciones (1), (2) y (3) se utilizan para determinar  el movimiento  d rotación del sólido rígido x medio d los ángulos d euler.


7.1. aplicación d los teoremas generales d la dinámica al sólido rígido

a continuación se aplican los teoremas generales d la dinámica,  teorema del centro d masas y teorema del momento cinético al sólido rígido libre y ligado, para determinar su movimiento.  para   ello,  se  han  d  determinar   los  movimientos   fundamentales   d traslación y rotación  en un punto. el sólido rígido ligado, se puede considerar como sifuera  libre, sustituyendo  las ligaduras  x  las correspondientes  acciones  q  ejercen sobre él.

– sólido rígido en movimiento plano

sea  ox’y’  un sistema d referencia cartesiano ortogonal plano, fijo, y cxy un sistema d referencia cartesiano  ortogonal plano, móvil, ligado  al sólido rígido en movimiento plano, d origen el centro  d masas c. la posición  del sólido  rígido en movimiento plano, está determinada  x las coordenadas  xc’ e yc’ del centro  d masas c y x  el ángulo  e d  la  rotación  d  cxy  respecto  d  ox’y’. luego  el  sólido  rígido  en movimiento plano, es un sistema material q tiene 3 gra2 d libertad. según el teorema del centro d masas r = m ac  d donde resultan las ecuaciones escalares  x = m xc’ (1)  y = m ÿc’ (2)  siendo m la masa del sólido rígido, x, y las componentes d la resultante d las fuerzas exteriores  r, y xc’  e yc’ las coordenadas d c respecto d ox’y’. según el teorema del momento cinético respecto al centro d masas n = (dl / dt) como l = i . ω  al proyectar sobre la dirección d oj, se obtiene n = iuu (dω / dt) (3)

mediante las ecuaciones (1), (2) y (3) se obtienen xc’, yc’  y el ángulo ө girado x el sólido rígido en función d t.

– sólido rígido libre

sea   ox’y’z’ un sistema d referencia cartesiano ortogonal fijo, y cxyz un sistema d referencia cartesiano  ortogonal, móvil, ligado al sólido rígido en movimiento  libre, d origen el centro d masas c y tal q las direcciones d sus ejes, son las direcciones principales d  inercia   centrales.   la  posición  del  sólido   rígido   libre  respecto d ox’y’z’, está determinada  x las coordenadas xc’, yc’ y zc’ del centro d masas c ylos  ángulos d euler φ, ө y ψ d la rotación d cxyz respecto d ox’y’z’. luego elsólido rígido libre, es un sistema material d 6 gra2 d libertad.

según el teorema del centro d masas r = m acd donde resultan las ecuaciones escalaresx =  m xc’ (4)y = m yc’ (5)z = m zc’ (6)siendo  m la masa del sólido rígido, x, y, z las componentes d la resultante d las fuerzas exteriores  r, y xc’, yc’  y zc  las coordenadas d c respecto d ox’y’z’.

según el teorema del momento cinético respecto al centro d masas n = (dl / dt)

y puesto q (dl/dt)=(dl/dt)cxyz + ω x l se tiene n =(dl/dt)cxyz + ω x l y como l = i.ω

se obtienen las ecuaciones escalares   n1 = a (dω1/dt) + ω2 ω3 (c – b) (7)

n2 = b (dω2 /dt) + ω3 ω1 (a – c) (8)   n3 = c (dω3/dt) + ω1 ω2 (b – a) (9) denominadas ecuaciones d euler.

teniendo en cuenta las relaciones q existen entre las componentes d ω y los ángulos d euler, d (4), (5), (6), (7), (8) y (9) se obtienen, x integración, si es posible, xc’, yc’, zc’, φ, ө y ψ en función d t.

– sólido rígido con un punto fijo

sea  ox’y’z’ un sistema d referencia cartesiano ortogonal fijo, y oxyz un sistema d referencia cartesiano ortogonal, ligado al sólido rígido móvil, ambos d origen en el punto fijo o del sólido rígido y tal q las direcciones d sus ejes, son las direcciones principales d inercia en o. la posición del sólido rígido respecto d ox’y’z’, está determinada x los ángulos d euler φ, ө y ψ d la rotación d oxyz respecto a ox’y’z’. luego el sólido rígido con un punto fijo, es un sistema material d 3 gra2 d libertad. además, en este caso, es desconocida la fuerza d ligadura en o.

según el teorema del centro d masasra + ro = m ac        (10)siendo  m  la masa  del  sólido  rígido,  ra   la resultante  d  las  fuerzas directamente aplicadas y ro la fuerza d ligadura en o.según el teorema del momento cinético respecto al punto fijo o

n = (dl/dt) y puesto q (dl/dt) = (dl/dt)oxyz + ω x l se tiene n = (dl/dt)oxyz + ω x l y como l = i . ω se obtienen las ecuaciones escalares d euler

n1 = a (dω1/dt) + ω2 ω3 (c – b) (11) n2 = b (dω2 /dt) + ω3 ω1 (a – c) (12)  

n3 = c (dω3/dt) + ω1 ω2 (b – a) (13)

teniendo en cuenta las relaciones q existen entre las componentes  d  ω   y los ángulos d euler, d (11), (12) y (13) se obtienen,  x integración,  si es posible, φ, ө y ψ en función d t.

puesto q vc = ω x oc  se obtiene  a partir d (10) la fuerza d ligadura en o

ro = m d/dt (ω x oc) – ra

-sólido rígido con un eje fijo

sea un sólido rígido q mantiene un eje fijo definido x 2 d sus puntos o1 y o2.

sea  o1x’y’z’ un sistema d referencia cartesiano ortogonal fijo, y o1xyz un sistema d referencia cartesiano ortogonal, ligado al sólido rígido móvil, tales q los ejes  o1y’, y o1y coinciden con el eje fijo, definido x 2 d sus puntos o1 y o2.  la posición del sólido  rígido respecto  d o1x’y’z’, está determinada  x el   ángulo φ q define el movimiento d rotación del sólido rígido, q es el ángulo q el eje o1x forma con el eje o1x’ en el plano x’z’. luego el sólido rígido con un eje fijo, es un sistema material d un grado d libertad. además, en este caso, son desconocidas  las fuerzas d ligadura en o1 y o2.

según el teorema del centro d masas ra + r1 + r2 = m ac (14) siendo  m  la masa  del  sólido  rígido,  ra  la  resultante  d  las  fuerzas directamente aplicadas y r1 y r2 las fuerzas d ligadura en o1 y o2 respectivamente.

según el teorema del momento cinético respecto al punto o1, fijo n + n2 = dl / dt (15) siendo  n y  n2  los momentos respecto a o1, d las fuerzas directamente aplicadas y d la fuerza d ligadura en o2, respectivamente.

d  cada una d las ecuaciones (14) y (15), se obtienen 3 ecuaciones escalares, 6 en total, q son insufi100tes para determinar las 6 componentes escalares d las fuerzas d ligadura y el ángulo φ. x tanto, en general, el problema es indeterminado.

si se proyecta (15) sobre o1y, se obtiene ny = dly / dt

y puesto q ly = ω i22   resulta ny = i22 (dω/dt) (16)  siendo i22 el momento d inercia  respecto al eje d rotación.

integrando  (16) se obtiene el ángulo  φ en función d  t, q  resuelve el  problema cinemático.

el problema dinámico, en general, no es posible resolverlo, ya q se dispone d 5 ecuaciones y son precisas 6 para determinar las 6 componentes d las fuerzas d ligadura en los puntos o1 y o2.  la eliminación d una d las componentes d las fuerzas d ligadura, mediante la fijación adecuada d 1 d los puntos del eje, hace posible resolver el problema dinámico.

7.2. ejes permanentes y espontáneos d rotación

sea un sólido rígido q mantiene un eje fijo definido x 2 d sus puntos   o1 y o2. acontinuación se analizan 2 casos particulares.

en el primer caso, las fuerzas directamente aplicadas equivalen a una única fuerza qpasa x o1, y se trata d determinar las condiciones para q la fuerza d ligadura en o2 sea nula, es decir, q el punto o2 no sea fijo.

según el teorema del momento cinético respecto al punto fijo o1  dl / dt = 0 (1)

el momento cinético  l , es en general un vector giratorio con el sistema móvil, pero si según (1) no ha d variar con el tiempo, entonces ha d ser colineal con ω, es decir, q el eje d giro ha d ser principal d inercia en o1, y además ser constante el módulo d ω. a esta misma conclusión se llega teniendo en cuenta q d (1) se tiene

(dl/dt)o1xyz + ω x l = 0

x tanto, si un sólido rígido con un punto fijo comienza un movimiento d rotación alrededor d un eje principal d  inercia en dicho punto, el movimiento d rotación persistirá indefinidamente con velocidad angular constante. estos  ejes se denominan ejes permanentes d rotación.

en el 2º caso, el sólido rígido no está sometido a fuerzas directamente aplicadas, y se trata d determinar las condiciones para q las fuerzas d ligadura en o1  y o2 sean nulas, es decir, q los puntos o1 y o2 no sean fijos.

según el teorema del centro d masas m ac = 0  luego ha d ser constante la velocidad del centro d masas, para lo cual éste ha d estar en el eje d rotación.

según el teorema del momento cinético en el punto fijo o1  dl / dt = 0  luego, como se ha visto en el primer caso, el eje d rotación ha d ser principal d inercia en o1, q en este caso será principal central d inercia al contener al centro d masas c.

x tanto, si un sólido rígido libre comienza un movimiento d rotación alrededor d un eje principal central d inercia, el movimiento d rotación persistirá indefinidamente con  velocidad  angular  constante.  estos  ejes  se  denominan  ejes  espontáneos d rotación.


7.3 equilibra2 estático y dinámico

sea un sólido rígido en movimiento d rotación, d velocidad angular constante, alrededor d un eje fijo definido x los puntos o1 y o2  y tal q su centro d masas se halle a la distancia δ del eje d rotación.

según el teorema del centro d masas r = m ac (1)   siendo  r  la resultante  d las fuerzas exteriores,  q son el peso  p del sólido rígido, considerada como fuerza directamente aplicada, las fuerzas d ligadura estáticas en o1 y o2,  r1  y  r2 respectivamente y las fuerzas d ligadura dinámicas en o1 y o2, r1’ y r2’ respectivamente.

teniendo  en  cuenta  q  el  peso  y  las  fuerzas  d  ligadura  estáticas  constituyen  un sistema  d  fuerzas  nulo,  para  lo  cual  ha  d  ser  nula  la  resultante  y  su  momento resultante, d (1) se obtiene r1’ + r2’ = m (vc2 / δ) n (2)

las fuerzas  r1’  y  r2’   son giratorias,  al serlo el vector  n, y d gran  magnitud. en el caso d q el centro d masas diste 1 milímetro del eje d rotación y q la velocidad angular sea d 3000 revoluciones x minuto, su orden d magnitud, resulta ser aproximadamente  10 veces el peso del sólido rígido, ejercién2e en los puntos o1 y o2, generalmente apoyos del eje d una máquina.

según el teorema del momento cinético respecto al centro d masas n = dl / dt

y puesto q ω es constante, se tiene n = ω x l

si en el momento d las fuerzas exteriores se excluye el momento del peso y d las fuerzas d ligadura estáticas, x ser un sistema nulo, además d estar excluido el d otras fuerzas directamente aplicadas al ser constante la velocidad angular se tiene

n’=ω x l (3) siendo  n’  el momento d las fuerzas d ligadura dinámicas, únicamente. d las ecuaciones (2) y (3) se obtienen las fuerzas d ligadura dinámicas r1′ y r2′.

se dice q existe equilibrado estático, cuando el centro d masas se halla en el eje d rotación, ya q abandonado a la acción d la gravedad el sólido rígido no se mueve. d (2) se obtiene r1’ + r2’ = 0 (4) lo cual indica q es nula la resultante d las fuerzas d ligadura dinámicas, pero cada una d ellas no.

se dice q existe equilibrado dinámico, cuando son nulas las fuerzas d ligadura dinámicas, es decir, q constituyen un sistema d fuerzas nulo, para lo cual ha d ser nula su resultante y su momento resultante n’. la anulación d la resultante implica q el centro d masas se halle en el eje d rotación, es decir, q se cumpla (4) y la anulación del momento resultante da ω x l = 0 (5)

d la ecuación (5) se deduce q  l  ha d ser colineal con  ω,  lo cual indica q el eje d rotación ha d ser principal central d inercia.


8.1. contacto d sóli2 rígi2

sean 2 sóli2 rígi2 a y b, d superficies rugosas, en contacto, supuesto puntual, pero q en realidad es superficial, según una pequeña área q rodea al punto p d contacto d la figura  8.1.

el movimiento del sólido a con respecto al sólido b, se define en el punto d contacto p, mediante la velocidad d deslizamiento v y la velocidad angular ω.

la velocidad d deslizamiento se halla contenida en el plano tangente π a la superficie d los sóli2 en p y la velocidad angular  tiene las componentes d rodadura y pivotamiento  ωt y  ωn respectivamente.

las acciones q ejerce el sólido b sobre el a, consecuencia del contacto entre ambos, son el resultado d acciones elementales en cada punto d la pequeña área en la q se produce.

estas acciones elementales, reducidas en el punto d contacto   p, dan una resultante d fuerzas r  y un momento resultante k d pequeña magnitud.

teniendo en cuenta las componentes d r  y k  según el plano tangente π y la normal se tiene

r = rt + rn

en el caso d q el contacto sea entre un punto material y un sólido rígido, el movimiento con respecto al sólido, estaría determinado x la velocidad  v y la acción d contacto x  r.


8.2. leyes del rozamiento

las relaciones q existen entre las componentes d la resultante  r  y del momento resultante k definen las leyes del rozamiento y fueron establecidas x coulomb.

en el rozamiento al deslizamiento,   si la velocidad d deslizamiento  v no es nula, la fuerza d resistencia al deslizamiento o fuerza d rozamiento rt tiene la dirección d v sentido opuesto y se verifica q rt = μ rny si la velocidad d deslizamiento es nula la fuerza d rozamiento rt es desconocida y se verifica q rt nsiendo μ un coefi100te adimensional, denominado coefi100te d rozamiento al deslizamiento, el  cual  depende  únicamente d  la  naturaleza  d  las  superficies  en contacto y es independiente d la velocidad d deslizamiento y del área d contacto.

se denomina cono d rozamiento, al cono d revolución d eje la normal común a las superficies d los sóli2 en el punto d contacto p, vértice en él y semiángulo cónico

ө = arctg μ

el rozamiento se denomina cinético  o dinámico  cuando hay movimiento, y estático cuando no lo hay.

experimentalmente, se observa q la fuerza d rozamiento estática rte es mayor q la fuerza d rozamiento cinética rtc  x lo q para rn constante se tiene q

(μe > μc)

lo cual indica q el coefi100te d rozamiento estático es mayor q el coefi100te d rozamiento cinético. en general salvo q se haga tal distinción, ambos coefi100tes se considerarán iguales.

en el rozamiento a la rodadura  si la velocidad angular d rodadura ωt no es nula el momento resistente a la rodadura kt tiene la dirección d ωt, sentido opuesto y se verifica q kt = ρ rn  y si la velocidad angular d rodadura en nula kt es desconocido y se verifica q kt n  siendo ρ un coefi100te q tiene dimensiones d longitud denominado coefi100te d resistencia a la rodadura.

la resistencia a la rodadura, es debida a la deformación d las superficies en contacto, d manera q  los  contactos teóricamente   puntuales  no lo  son  y  el efecto d  su presencia se traduce en el desplazamiento d la fuerza rn una distancia ρ medida en el sentido d la rodadura.

en el rozamiento al pivotamiento,  si la velocidad angular d pivotamiento ωn no es nula, el momento  resistente al  pivotamiento kn   tiene  la dirección  d  ωn, sentido opuesto y se verifica q kn = α rn y si la velocidad angular d rodadura es nula kn es desconocido y se verifica q kn n  siendo α un coefi100te q tiene dimensiones d longitud denominado coefi100te d resistencia al pivotamiento.

en general, salvo q se advierta d lo contrario, los rozamientos a la rodadura y al pivotamiento son despreciables frente al rozamiento al deslizamiento.


9.1. fenómenos impulsivos

los fenómenos impulsivos, se caracterizan x ser fenómenos d muy corta duración, centésimas o milésimas d 2º, o .aún -, pudiendo considerarse prácticamente instantáneos, en los q se producen cambios bruscos, pero finitos, d velocidad, sin q se produzcan variaciones apreciables d la posición y en los q actúan fuerzas muy grandes.

estas  características,  hacen  q  sean  diferentes  a  los  fenómenos  d  la  dinámicaordinaria, efectuán2e su estudio siguiendo un camino paralelo, pero diferenciado, llegando a resulta2 + sencillos, ya q se obtienen ecuaciones algebraicas.

se define el vector percusión o simplemente percusión correspondiente a la fuerza f , d gran magnitud q actúa sobre un punto material, al impulso d dicha fuerza en un intervalo d tiempo tf – ti, muy pequeño, es decir,

p =∫ f dt (entre el intervalo ti , tf)

el vector percusión p, es un vector localizado, d origen en el punto material y sus dimensiones son las d un impulso o d una cantidad d movimiento.

d lo anterior se desprende, q las fuerzas d magnitud ordinaria, entre las q se halla el peso, no dan lugar a percusiones.

d acuerdo con las  fuerzas q las originan las percusiones, estas se clasifican en interiores, debidas a fuerzas interiores y exteriores debidas a fuerzas exteriores.

las exteriores a su vez, se subdividen en directamente aplicadas y d ligadura y son debidas a fuerzas directamente aplicadas y a fuerzas d ligadura respectivamente.

9.2. dinámica impulsiva  del punto material

sea un punto material d masa m, sobre el q actúan las fuerzas d gran magnitudf1, f2,…, fn en el intervalo d tiempo tf -ti, muy pequeño.

-teorema d la cantidad d movimiento

a partir del teorema d la cantidad d movimiento d la dinámica, del punto material, se tiene

 ∫ (f1 + f2 + … + fn) dt = ∫ dp  (intervalos ti y t) y (intervalo ti y tf) // p=δp siendo  p   la 

resultante  d  las  percusiones  e  δp    la  variación  d  la  cantidad  d movimiento.

este resultado, expresa el teorema d la cantidad d movimiento d la dinámica impulsiva del punto material, según el cual:

la variación d la cantidad d movimiento d  un  punto  material  en  fenómenos  impulsivos,  es  =  a  la  resultante  d  las percusiones q actúan sobre él.

-teorema del momento cinético

a partir del teorema del momento cinético d la dinámica del punto material, se tiene

∫ r x (f1 + f2 + … + fn) dt = ∫ dl (entre ti y tf) (entre t y tf) // r x p = δl o bien k = δl siendo

k el momento resultante d las percusiones con respecto a un punto fijo a δl  la variación del momento cinético con respecto al mismo punto.

este resultado expresa el teorema del momento cinético d la dinámica impulsiva del punto material, según el cual: la variación del momento cinético con respecto a un punto f o, d  un  punto  material, en  fenómenos  impulsivos, es  =  al  momento resultante con respecto al punto fijo citado, d las percusiones actuantes o bien al momento con respecto al punto d la resultante d percusiones.


9.3. dinámica impulsiva  d los sistemas d puntos materiales.

sea un sistema d puntos materiales   a1, a2, … ,an d masas m1, m2, … ,m n cuyos vectores d posición respecto d un punto fijo o son  r1, r2, …, r n. sobre cada punto actúa la fuerza exterior  fi  y la resultante d fuerzas interiores    ∑ fij   d fuerzas interiores,todas ellas d gran magnitud dando lugar a las correspondientes percusiones.

-teorema d la cantidad d movimiento

a partir del teorema d la cantidad d movimiento d la dinámica impulsiva del punto material para el punto ai, se tiene

pi + ∑ pij =δpi

y para el sistema material, se tiene ∑ pi +∑ ∑ pij = ∑ δpi  // ∑ pi + ∑∑ pij = δ ∑ pi

puesto q las percusiones interiores verifican la ley d acción-reacción, se tiene

∑ pi = δp  o bien   h = δp  si h  representa la resultante d las percusiones exteriores.

este resultado, expresa el teorema d la cantidad d movimiento d la dinámica impulsiva d los  sistemas d  puntos materiales, según el cual: la variación d  la cantidad d movimiento d un sistema d puntos materiales es = a la resultante d las percusiones exteriores q actúan sobre el mismo.

puesto q la cantidad d movimiento d un sistema d puntos materiales se expresa x 

p = m vc   la expresión del teorema toma la forma habitual h = m δvc

-teorema del momento cinético

a partir del teorema del momento cinético con respecto a un punto fijo d la dinámica impulsiva del punto material para el punto ai, se tiene 

ri x (pi + ∑ pij) =δli

y para el sistema ∑ ri x (pi + ∑ pij) = ∑ δli  //  ∑ ri x (pi + ∑ pij) = δ ∑ li 

puesto q las percusiones interiores verifican la ley acción-reacción, se tiene

∑ ri x pi = δl  o bien k = δl  si k  representa el momento d las percusiones exteriores

respecto al punto fijo.

este resultado, expresa el teorema del momento cinético d la dinámica impulsiva d los sistemas d puntos materiales con respecto a un punto fijo, según el cual: la variación del momento cinético con respecto a un punto fijo, d un sistema d puntos materiales, es = al momento resultante con respecto a dicho punto fijo d las percusiones exteriores q actúan sobre el mismo.

9.4. dinámica impulsiva del sólido rígido

– dinámica impulsiva del sólido rígido libre

sea un sólido rígido libre cuyo movimiento es conocido, y sobre el q actúan en un determinado instante las percusiones pi.

a partir del teorema d la cantidad d movimiento d la dinámica impulsiva d los sistemas d puntos materiales, se tiene ∑ pi = m δvc (1)

a partir del teorema  del momento  cinético  d  la dinámica  impulsiva            d los  puntos materiales con respecto al centro d masas, se tiene ∑ ri x pi = δl

como l = i . ω  se tiene  ∑ ri x pi = i . δω (2)  siendo  i el tensor central d inercia, invariable en el pequeño intervalo d tiempo q dura el fenómeno impulsivo, al no variar la posición del sólido rígido.

d (1) y d (2) se obtienen 6 ecuaciones  escalares,  q dan las variaciones  δvc y δω

si  el  estado   d   velocidades   inmediatamente   antes   del  comienzo   del  fenómeno impulsivo,   está   definido   x   los  vectores   vco           y ω, el  estado   d  velocidades inmediatamente después del cese del fenómeno impulsivo, estará definido x vc1 = vco + δvc // ω1 = ωo + δω

– dinámica impulsiva del sólido rígido con un punto fijo

sea un sólido rígido q tiene un punto fijo o, cuyo movimiento es conocido y sobre el q actúan en un determinado instante las percusiones  pi.

a  partir  del  teorema d  la  cantidad d  movimiento d  la  dinámica impulsiva d  los sistemas d puntos  materiales, se tiene po + ∑ pi = m δvc (3) siendo  po  la percusión d ligadura en o

a partir del teorema del momento cinético d la dinámica impulsiva d los sistemas d puntos materiales respecto al punto fijo o, se tiene

∑ ri x pi = δl  //  ∑ ri x pi = i . δω (4) siendo  i  el tensor  d inercia  en el punto fijo o, invariable durante  el pequeño  intervalo d tiempo q dura fenómeno impulsivo, al no variar la posición del sólido.

d (3) y (4), se obtienen 6 ecuaciones escalares  q dan la variación d  δω y po

si el estado d velocidades inmediatamente antes del comienzo del fenómeno impulsivo está  definido  x  el  vector   ro0  , alrededor d  un  eje  q  pasa  x  o,  el  estado   d velocidades inmediatamente después del fin del fenómeno impulsivo será ω1 = ωo + δω alrededor d un eje q pasa x o, y la percusión  d ligadura es

po = mδω x oc – ∑ pi  ya q  δvc = δω x oc

– dinámica impulsiva  del sólido rígido con 2 puntos fijos

sea un sólido rígido en el q 2 d sus puntos  o y o’  son fijos, cuyo movimiento  es conocido, y sobre el q actúan las percusiones  pi

a partir  del teorema  d la cantidad  d movimiento  d la dinámica  impulsiva  d  los sistemas d puntos materiales, se tiene

po +  po’ + ∑ pi = mδvc  //  po + po’ + ∑ pi = mδω x oc (5)siendo   po   y  po’   las percusiones d ligadura en o y o’ respectivamente.

a partir del teorema del momento cinético d la dinámica impulsiva d los sistemas d puntos materiales respecto al punto fijo o, se tiene

oo’ x po’ + ∑ oai x pi = δl  //  oo’ x po’ + ∑ oai x pi = i . δω (6)siendo  i el tensor d inercia en o.

d  (5)  y  (6),  se  obtienen  6  ecuaciones   escalares   para  determinar   δω  y  las percusiones  d ligadura  po  y  po’.  el  problema es, en general, indeterminado,  ya q existen 7 incógnitas escalares.

es posible resolver el problema cinemático,  ya q si en la ecuación  (6) se multiplican escalarmente  ambos  miembros  x el vector  unitario  u según   el eje d rotación,  se tiene u . ∑ oai x pi = u . i . δω  //  ke = je δω (7) siendo ke  el momento d las percusiones  exteriores respecto al eje d rotación y je   el momento d inercia respecto al citado eje.

d (7), se tiene δω = ke / jeq resuelve el problema cinemático, ya q si se conoce el estado d velocidades inmediatamente antes del fenómeno impulsivo, definido  x el vector  ωo , el estado  d velocidades inmediatamente después del fin del fenómeno impulsivo será ω1 = ωo + δω


9.5. centro d percusión

se define, en un sólido rígido con 2 puntos fijos o y o’, figura 9.1, como centro  d percusión,  al  punto,  si existe,  en  el  q  aplicada  una  percusión   p ,  sean  nulas  las percusiones d ligadura.a partir del teorema d la cantidad d movimiento  d la dinámica  impulsiva del sólido rígido, si son nulas las percusiones d ligadura, se tiene

p = m δvc  //  p = mδω x oc (8)

d (8) se deduce q la percusión p ha d ser perpendicular al plano π  definido x el eje d rotación y el centro d masas c. esta es la primera condición q se ha d cumplir.

a partir del teorema del momento cinético d la dinámica impulsiva del sólido rígido respecto al punto a’,  proyección sobre el eje oo’ del  punto   a d intersección d la dirección d p con el plano π, se tiene aa’ x p = i . δω (9) siendo i el tensor d inercia en a’.

d (9) se deduce q el eje oo’ es una dirección principal d inercia en a’. esta es la segunda condición q se ha d cumplir. si se considera un triedro cartesiano ortogonal  oxyz, d (8) y (9) se tiene

p = m xc δω (10)  //  p xa = jz δω (11)

d (10) y (11) se tiene xa = jz / mxc (12)

d (12), se deduce q el centro d percusión no existe, si el centro d masas c se halla en el eje d rotación al ser la coordenada  xa  infinita.

la coordenada  za  ha d cumplir la segunda condición antes obtenida, y según ella

∑ my’z’ =0 (13)  //  ∑ mx’z’ = 0 (14)

puesto q x = x’ // y = y’ // z = z’ + za

d (13) y (14) se tiene my (z – za) = 0  //  mx (z – za) = 0

d donde za = ∑ myz / ∑ my  //  za = ∑ mxz / ∑mx (15)

en general, los valores q se obtienen d (15) son diferentes, no existiendo centro d percusión.

en el caso d una placa plana, sólido rígido en el plano oxz, al ser y e y’ nulas, la primera d las expresiones (15) se verifica para cualquier valor d za,  obtenién2e el valor d za  a partir d la segunda expresión (15), teniendo q ser no nulo el denominador, es decir, q c no esté en el eje d rotación.


9.6. choque

se define el choque como el fenómeno impulsivo q ocurre al entrar en contacto 2 sóli2. x tanto, como tal fenómeno impulsivo, posee las características ya mencionadas.

sean 2 sóli2 s1 y s2, figura 9.2, q entran en contacto, en principio puntual, siendo este punto a en si y b en s2.  se define la línea d choque o línea d acción, como la normal común al plano tangente a las superficies d los sóli2 en el punto d contacto.

el choque puede ocurrir entre sóli2 con deformaciones no permanentes y tiene 2 fases, la d deformación y la d restitución o entre sóli2 con deformaciones permanentes, en  cuyo caso sólo existe la fase d deformación, pudiendo los sóli2 quedar adheri2.

en la fase d deformación, como consecuencia d la diferencia d velocidades en a y b según n , la aproximación va + alla del contacto puntual, es superficial, según una zona alrededor d a y b, desarrollán2e fuerzas acción-reacción entre los sóli2 muy grandes, tanto + grandes cuanto mayor sea la aproximación. la fase d deformación cesa al anularse la diferencia d velocidades mencionada.

en la fase d restitución, los sóli2 recuperan su forma como consecuencia d fuerzas elásticas internas. se invierte la diferencia d velocidades en a y b según  n y se separan los sóli2, disminuyendo las fuerzas acción-reacción hasta anularse cuando se llega al contacto puntual.

en los sóli2 rígi2 con deformaciones no permanentes, si bien existe deformación, al ser esta d corta duración, puede suponerse la indeformabilidad.

– coefi100te d restitución

puesto q el choque es un fenómeno impulsivo, se aplican los teoremas d la cantidad d movimiento y del momento cinético d la dinámica impulsiva del sólido a los 2 sóli2 q chocan, lo cual da como consecuencia doce ecuaciones escalares q relacionan trece incógnitas. x tanto, existe indeterminación. en el caso d q las superficies d los sóli2 sean rugosas, existe una incógnita +, pero existe una ecuación adicional +, análoga formalmente a la q se tiene en la dinámica ordinaria.

experimentalmente, se observa q los resulta2 dependen d la naturaleza física. d los sóli2 q entran en contacto para unas mismas condiciones en el instante en q se produce este. es pues indispensable, considerar una hipótesis basada en la naturaleza física d los sóli2, para resolver la indeterminación del choque, aportando la ecuación necesaria.

 la hipótesis habitual es la d newton, según la cual: la diferencia d velocidades d los puntos d contacto  según  n, puede anularse o cambiar  d sentido  en el choque  y se define un coefi100te  denominado coefi100te d restitución.

el  coefi100te   d  restitución   e  se  expresa  como  el  co100te   d  la  diferencia   d velocidades  d los puntos d contacto según  n después del choque y antes del choque, es decir = – n . (va’ – vb’) / n . (va – vb)

el coefi100te  d restitución  depende d la naturaleza  d las superficies  q entran  en contacto, d su forma  y d las posiciones d los sóli2  respecto a la línea d choque. los valores q toma son tales q 0 ≤ c ≤ 1


9.7. clasificación d los choques

los choques pueden clasificarse d diversas maneras: según el coefi100te d restitución:

– elásticos, c = 1

– plásticos, c = 0

– imperfectamente  elástico, 0

según la dirección d la velocidad d los centros d masa d los sóli2 en el instante d contacto:

– directos, velocidades d los centros d masas paralelos a la línea d choque

– oblicuos, direcciones cualesquiera

según la posición d los centros d masas con respecto a la línea d choque:

– centrales, si están en la línea d choque

– excéntricos, si no están  en la línea d choque

según el estado d las superficies d los sóli2:

– sin rozamiento, superficies lisas

– con rozamiento, superficies rugosas

además, tb existen los choques entre sóli2 someti2 a ligaduras.


9.8. choque central directo

sean 2 esferas s1 y s2, figura 9.3, homogéneas d masas m1 y m2 q se mueven en traslación, con sus centros d masas movién2e según la línea d choque.

a partir del teorema d la cantidad d movimiento d la dinámica impulsiva del sólido rígido, se tiene para las esferas

 p1 = m1 (va’ – va) (17) //  p2 = m2 (vb’ – vb) (18)

siendo va  y vb  son las velocidades d los puntos d contacto inmediatamente antes del choque y va’ y vb’ las velocidades d los mismos puntos inmediatamente después del choque.

a partir del coefi100te d restitución, si el choque es elástico

1 = – n. (va’ – vb’) / n . (va – vb) (19)

además las percusiones d ligadura verifican p2 = – p1 (20)

d (17), (18), (19) y (20) se obtienen  va’, vb’,  p1 y p2.

en el choque elástico se conserva la energía cinética, lo cual equivale a q se verifique (19) como puede comprobarse fácilmente.


10.1. estática

la estática es la  parte d la mecánica q estudia  el equilibrio del punto y  d los sistemas d puntos materiales.

se dice q un punto o un sistema d puntos materiales está en equilibrio, con respecto a un sistema d referencia, si abandona2 es reposo con respecto a este, permanecen indefinidamente en ese estado si persisten las condiciones iniciales.

el sistema d referencia se supone inercial o galileano, si no se dice lo contrario.

10.2. ligaduras

se denominan ligaduras a las condiciones geométricas o cinemáticas impuestas al punto o   a    los   sistemas   d   puntos   materiales   y   q   restringen   sus movimientos. matemáticamente, estas condiciones, se expresan mediante ecuaciones q relacionan las coordenadas o las velocidades. las ligaduras pueden clasificarse d diversas maneras:

según el número d ecuaciones q las expresan:

– simples, una ecuación

– dobles, 2 ecuaciones

-etc.

según q las restricciones se refieran a la posición o al movimiento:

– geométricas, restringen la posición

– cinemáticas, restringen el movimiento

según q la restricción d la posición sea en 1 o 2 senti2:

– unilaterales

– bilaterales

según q las ligaduras sean condiciones entre los puntos d un sistema material, o bien q relacionen los puntos d un sistema material con los d otro:

– interiores

– exteriores

según como sea la evolución respecto al tiempo:

– esclerónomas o estacionarias, no contienen el tiempo en forma explícita

– reónomas, contienen el tiempo d forma explícita

según el tipo d ecuación:

– holónomas, expresables en términos finitos

-no  holónomas, sólo expresables en términos diferenciales

según el contacto superficial:

– sin rozamiento, acciones d contacto normales

– con rozamiento, acciones d contacto no normales


10.3. estática del punto material

– equilibrio del punto material

para q un punto material d masa m, sometido a la acción simultánea d varias fuerzas, esté en equilibrio, ha d ser nula su aceleración a. según el 2º axioma d newton, se tiene  r = m a  siendo  r   la resultante d fuerzas  q actúan  sobre  el punto material. luego en el equilibrio se tiene r = 0. x tanto,  para q  un punto  material  está en equilibrio, ha d ser nula la resultante d las fuerzas q actúan sobre él. en el estudio del equilibrio del punto material  se pueden  presentar 2 casos: – punto material  libre. – punto material  sometido a ligaduras. se  dice  q  un  punto   material   es  libre,  cuando   no  se  halla  sometido  a  ligaduras, pudiendo ocupar  cualquier posición en el espacio. como  consecuencia, la resultante d fuerzas  consta únicamente d las fuerzas directamente aplicadas. si la resultante d las fuerzas deriva d un potencial  v   r = – grad  v verificán2e en el equilibrio ᵹv / ᵹxi = 0 (i = 1,2,3) lo cual indica q el potencial  v ha d ser extremal (máximo o mínimo). se  dice q un  punto material está  sometido a  ligaduras, cuando no puede  ocupar cualquier posición en el espacio. como consecuencia d esto, la resultante d fuerzas consta d las fuerzas directamente aplicadas y d las fuerzas d ligadura.

– estabilidad del equilibrio del punto material

la estabilidad del equilibrio del punto material presenta los mismos casos q el equilibrio: – punto material libre  – punto material ligado. sea un punto material libre en equilibrio en una posición p. en tal posición, es nula la resultante d las fuerzas. si el punto material se somete a un desplazamiento elemental dr  q lo lleva a ocupar otra posición p1, en ella, no se hallará en equilibrio, estando sometido x tanto a una resultante d fuerzas r no nula. se dice q un punto material libre se encuentra en equilibrio estable en la posición p, si la componente según,  dr d la resultante d las fuerzas q actúan sobre él, en una posición infinitamente próxima p1 , tiene sentido opuesto a dr, tendiendo a devolver al punto material a la posición p. se verifica q  r•dr 0 x tanto, al pasar el punto material d la posición p a la p1  aumenta su potencial, lo cual indica q la posición p d eq. es d potencial mínimo. se dice q un punto material libre se encuentra en equilibrio inestable en la posición p, si la componente según   dr  d la resultante d las fuerzas q actúan sobre él, en una posición infinitamente próxima p1, tiene el mismo sentido q  dr , tendiendo a no devolver el punto material a la posición p. se verifica q   r•dr > 0  en el caso d q r  derive d un potencial v, se tiene    -grad v•dr > 0    //  dv

se somete al punto material a un desplazamiento elemental  dr,  compatible con las ligaduras, hallán2e sometido a las fuerzas  q  actúan   sobre  él,   es   decir,   directamente  aplicadas   y   d  ligadura, determinando el signo d  r • dr. en el caso d q las ligaduras sean sin rozamiento, únicamente se considerarán las fuerzas directamente aplicadas x ser las d ligadura perpendiculares a dr .

– equilibrio relativo del punto material

si  r  es la resultante d las fuerzas q actúan sobre un punto material d masa m en un sistema inercial s¡, su aceleración a, respecto d este sistema, se obtiene a partir del 2º axioma d newton   r = ma  si se considera un sistema d referencia acelerado s2, la aceleración del punto material respecto a este sistema d referencia, ar, está relacionada con  a , según a = aa + ac + ar   siendo aa la aceleración  d arrastre y ac la aceleración complementaria. luego r’ = 0  y x tanto r – maa  – mac  =0  lo cual permite establecer, q para q el punto material se halle en equilibrio relativo, el cual no implica el reposo, ha d ser nula la resultante  d las fuerzas absolutas, d la fuerza d inercia d arrastre   – maa y d la fuerza d inercia complementaria  – mae.

– equilibrio dinámico del punto materia

si  r  es la resultante d las fuerzas q actúan sobre un punto material d masa m en un sistema inercial s1, su aceleración a, respecto d este sistema, se obtiene a partir del 2º axioma d newtonr=masi se considera un sistema d referencia acelerado s2, al cual está ligado el punto material, entonces este estará en equilibrio relativoar  = 0y además en reposo relativovr  =0luego teniendo en cuenta a = aa + ac + ar en el equilibrio del punto material respecto al sistema s2, se tiene r – m aa = 0 x tanto, para q un punto material se halle en equilibrio dinámico, lo cual supone el eq. y el reposo relativos, ha d ser nula la resultante d las fuerzas absolutas  r y d la fuerza d inercia d arrastre – maa. este resultado se conoce como el teorema del equilibrio dinámico del punto material según el cual: el estudio del movimiento d un punto material, respecto d un sistema d referencia inercial, es equivalente a estudiar su equilibrio dinámico.

10.4. estática d, los sistemas d puntos materiales

– equilibrio d los sistemas d puntos materiales

sea un sistema material constituido x los puntos materiales p1, p2, … , pn la resultante d las fuerzas q actúan sobre el punto pi, es ri =fi + ∑fij  siendo   fi   las fuerzas exteriores y fij  las fuerzas interiores. el sistema material estará en equilibrio, si lo está cada 1 d sus puntos, es decir, si ri  = 0 la resultante  r  d las fuerzas q actúan sobre el sistema material r = ∑ ri  ha d ser nula al serlo cada una d las resultantes  ri.

luego ∑ ri = 0  //  ∑fij + ∑∑fij = 0  y puesto q se anula la resultante d las fuerzas interiores, se tiene ∑fi = 0  esta ecuación es la primera condición d equilibrio d los sistemas d puntos materiales según la cual: ha d ser nula la resultante d las fuerzas exteriores q actúan sobre el sistema material.

el momento d la resultante d fuerzas  ri  respecto a un punto cualquiera es ri x ri = 0 al ser ri nula. luego  ri x fi + ri x ∑ fij = 0 y para el sistema material ∑ ri x fi + ∑∑ ri x fij = 0 puesto q es nulo el momento d las fuerzas interiores, se tiene ∑ ri x fi = 0

esta es la segunda condición d equilibrio d los sistemas d puntos materiales, según la cual: ha d ser  nulo  el momento  d las fuerzas  exteriores  con  respecto  a  un  punto cualquiera. las condiciones d equilibrio obtenidas, son necesarias, pero no sufi100tes,  en el caso d sistemas deformables, como puede comprobarse al considerar una barra deformable a la q se aplican en sus extremos fuerzas opuestas según su dirección. se cumplen  las 2 condiciones d equilibrio, pero la barra no se halla en equilibrio, ya q se produce acortamiento o alargamiento d su longitud.

-equilibrio relativo d los sistemas d puntos materiales

se consideran al = q para el punto material, las fuerzas absolutas constituidas x las fuerzas directamente aplicadas y las d ligadura y las fuerzas d inercia  constituidas x la d inercia d arrastre y la complementaria. la aplicación d las 2 condiciones d equilibrio d los sistemas d puntos materiales, determina el equilibrio relativo.

-equilibrio dinámico d los sistemas d puntos materiales

se consideran al = q para el punto material las fuerzas absolutas, constituidas x las fuerzas directamente aplicadas y las d ligadura y la fuerza d inercia d arrastre. la aplicación d las 2 condiciones d equilibrio d los sistemas d puntos materiales, determina el equilibrio dinámico. teniendo en cuenta las ecuaciones d los teoremas generales d la dinámica d los sistemas d puntos materiales, teorema del centro d masas

r = m ac  y  teorema del momento cinético n =dl / dt 

se tiene r – mac = 0  //  n – (dl/dt) =0  //  r + r’ = 0  //  n + n’ = 0 siendo  r y  n  la resultante   y el momento resultante y el momento resultante respectivamente,  d las fuerzas  absolutas  y  r’  y  n’  las mismas  magnitudes  para las fuerzas d inercia d arrastre.

consecuencia  d lo anterior es el teorema del equilibrio  dinámico  d los sistemas  d puntos materiales, según el cual: todo sistema d puntos materiales en movimiento  con respecto  a un sistema  inercial,  puede  considerarse  en equilibrio,  si se  considera  q sobre él actúan las fuerzas absolutas y las d inercia d arrastre.

10.5. estática del sólido rígido

– principio d traslación d las fuerzas

sea un sólido rígido, figura 10.1, sobre el q actúa una fuerza  f en el punto a. si se añaden en el punto b las fuerzas  f1 y –f1 colineales con  f, y d = módulo,  el efecto d la fuerza   f sobre el sólido no se altera.

puesto q las fuerzas  f  y –f1 constituyen un sistema d fuerzas nulo, al ser rígido el sólido, pueden ser suprimidas, quedando como única acción sobre el sólido la fuerza idéntica a la fuerza   f, pero aplicada en el punto b. teniendo en cuenta  lo anterior, puede establecerse el principio d traslación d las fuerzas en sóli2 rígi2, según el cual: el efecto d una fuerza sobre un sólido rígido no se altera si el punto d, aplicación se desplaza a lo largo d su recta soporte. del principio d traslación d las fuerzas, se deduce q las fuerzas q actúan sobre un sólido rígido, aunque realmente son vectores localiza2, se pueden considerar como si fueran vectores deslizantes, y d ahí la sufi100cia d las condiciones d equilibrio obtenidas para los sistemas d puntos materiales, en el caso d q estos sean rígi2.

– equilibrio del sólido rígido

el estudio del equilibrio del sólido rígido se efectúa aplicando las 2 condiciones d equilibrio d los sistemas d puntos materiales, lo cual da lugar a 2 ecuaciones vectoriales o lo q es = a 6 ecuaciones escalares en las q figuran, en general, como incógnitas, las fuerzas d ligadura y los parámetros q determinan el equilibrio.

si el número d ecuaciones es = al d incógnitas, el sistema material se denomina isostático o estáticamente determinado, hiperestático o estáticamente indeterminado si el número d ecuaciones es menor q el número d incógnitas e hipostático si el número d ecuaciones es mayor q el d incógnitas.

para el estudio d los sistemas hiperestáticos son precisas ecuaciones complementarias a las d la estática q igualen al número d incógnitas y q provienen d la resistencia d materiales. los sistemas hipostáticos no pueden estar en equilibrio ya q el sistema d  ecuaciones  no  tiene  solución.  el  número  d  ecuaciones  complementarias  se denomina grado d hiperestáticidad del sistema.

en el equilibrio del sólido rígido, este puede ser libre o estar sometido a ligaduras. el sólido libre constituye un sistema isostático al ser el número d incógnitas 6, las 3 coordenadas d su centro d masas y los 3 ángulos d euler, = al d ecuaciones. en el caso del sólido sometido a ligaduras, el sistema es isostático si tiene un punto fijo, al ser el número d incógnitas 6, los 3 ángulos d euler y las 3 componentes d la fuerza d ligadura y es hiperestático, d grado d hiperestáticidad 1 o 3, en los casos d tener 2 puntos fijos o 3, respectivamente.


11.1. estatica analitica

– coordenadas generalizadas

la posición o configuración d un sistema d n puntos materiales, queda determinada x medio d 3n coordenadas cartesianas ortogonales.

si el sistema material se halla sometido a ligaduras, dadas matemáticamente x k ecuaciones, habrá 3n-k coordenadas libres y las k restantes se determinarán en función d las 3n-k libres. se dice entonces, q el sistema tiene 3n-k gra2 d libertad.las 3n-k coordenadas cartesianas ortogonales, pueden ser expresadas en función d otras variables independientes q1, q2, … , q3n-k, q pueden ser longitudes, ángulos, etc. x tanto

ri = ri (q1, q2, …, q3n-k, t)

a q1, q2, … , q3n-k,  se las denomina coordenadas generalizadas, las cuales a diferencia d las cartesianas, no son susceptibles d ser agrupadas d 3 en 3 para definir un vector.

si un sistema d puntos materiales tiene su posición o configuración definida x 3n-k coordenadas generalizadas, esta, quedará definida x un punto en un espacio d 3n-k dimensiones, denominado espacio d configuración,  correspondiendo cada dimensión a una coordenada generalizada.

– desplazamiento virtual

se denomina desplazamiento virtual (imaginado) d un punto material, a un desplazamiento elemental, q se efectúa en un instante y es compatible, o no, con las ligaduras.

si r es el vector d posición del punto, el desplazamiento virtual se representa x δr para distinguirlo del  desplazamiento real    dr y matemáticamente se trata d forma análoga al real, siendo sus componentes cartesianas δx, δy  y δz.

-trabajo virtual

si sobre un punto material actúa, entre otras, una fuerza  f, el trabajo virtual d esta fuerza en el desplazamiento virtual  δr, se define como el trabajo elemental  δw dado x el producto escalar d f x δr , es decirδw= f • δr

-ligaduras perfectas

se denominan ligaduras perfectas, ideales o sin rozamiento, a aquellas en las q la suma   d  los  trabajos   virtuales  d  las  fuerzas  d   ligadura,  es  nula,  para   los desplazamientos virtuales compatibles con las mismas haya o no equilibrio.


11.2. principio  d los trabajos virtuales

establece q: la condición necesaria y sufi100te para q un sistema d puntos materiales, sometido a ligaduras perfectas, se halle en equilibrio, es q sea nula la suma d los trabajos virtuales d las fuerzas directamente aplicadas para cualquier desplazamiento virtual compatible con las ligaduras.

para demostrar q la condición es necesaria, se considera q el sistema material está en equilibrio, para lo cual han d estarlo to2 sus puntos. si pi es un punto genérico del sistema y está en equilibrio, se ha d verificar qfi  + fi’  = 0siendo fi y fi’ las resultantes d las fuerzas directamente aplicadas y d ligadura respectivamente, q actúan sobre el punto pi.

si  se  somete  el  sistema  material  a  un  desplazamiento  virtual  compatible  con  las ligaduras, el trabajo virtual d las fuerzas q actúan sobre el punto p¡ es

f .δ ri + fi . δri = 0

para el sistema se tiene

∑ f . δri + ∑ fi’ . δri = 0

al ser el desplazamiento virtual compatible con las ligaduras y estas perfectas

∑ fi’ . δri = 0

x tanto ∑ fi . δri = 0 (1) q demuestra q la condición es necesaria.

para demostrar q la condición es sufi100te se supone q se verifica (1) y q el sistema no está en equilibrio. se hace x reducción al absurdo.

si verificán2e (1) el sistema no estuviera en equilibrio, al abandonarlo a si mismo, en reposo,  el sistema se pondría en movimiento d manera q sus puntos tendrían una aceleración d dirección y sentido los d la resultante d las fuerzas q actúan sobre cada 1 d ellos (directamente aplicadas y d ligadura) d modo q

 ∑ f . dri + ∑ fi’ . dri > 0

si se considera el desplazamiento virtual δr¡ q coincide con el real dr¡, se tiene

∑ f . δri + ∑ fi’ . δri > 0

al ser las ligaduras perfectas ∑ fi’ . δri = 0   y x tanto ∑ f . δri > 0 en contradicción con la hipótesis d partida. luego la hipótesis d partida no es cierta y se  verifica  (1),  es  decir,  q  el  sistema  está  en  equilibrio,  lo  cual  demuestra  la sufi100cia d la condición.


11.3. condiciones  generales  d equilibrio  deducidas  del principio  d los trabajos virtuales

el principio d los trabajos virtuales tiene como expresión ∑ f . δri = 0 denominán2e a esta ecuación, ecuación general d la estática, dado q a partir d ella se deducen las condiciones generales d equilibrio d los sistemas d puntos materiales.

si ri = ri ( qj ) es  el  vector d  posición  d  un punto  genérico del  sistema  material, siendo qj las coordenadas generalizadas q definen su posición o configuración, el desplazamiento virtual está dado x

δrj = ( ᵹri / ᵹqj ) δqj

si el sistema material  es holónomo,  los desplazamientos virtuales  da2 x (2), son compatibles con las ligaduras, al corresponder  δqj   al número mínimo  d coordenadas

generalizadas  q defmen la posición o configuración  del sistema material, coincidente dicho número con el d gra2 d libertad del sistema. si k es el número d gra2 d libertad y n el número d puntos, d (1) y (2) se tiene

∑∑ fi . (ᵹri / ᵹqj) δqj = 0  si qj = ∑ fi . (ᵹri / ᵹqj )

se define como la fuerza generalizada q corresponde a la coordenada qj, se tiene

∑ qj δqj = 0 (3)

dado q el sistema material se ha supuesto q es holónomo, (3) ha d verificarse para

cualquier   conjunto   d  8q¡  arbitrarias,   entonces   han   d   ser   nulas   las  k   fuerzas generalizadas, es decir, qj = 0  (4)

a  partir  d  (4),   se  obtienen   k  ecuaciones   con   k  incógnitas,   las  k  coordenadas generalizadas q¡ q dan la configuración d equilibrio. x tanto, puede establecerse  q: las posiciones  o configuraciones d equilibrio d un sistema  d puntos  materiales  sometido  a ligaduras  perfectas  se obtienen  anulando  las fuerzas generalizadas.

en el caso d q las fuerzas directamente aplicadas  fi deriven d un potencial v¡

fi = – grad   vi  se tiene q

qj = ∑ – grad vi . (ᵹri / ᵹqj)  //  qj = – ∑ (ᵹvi / ᵹqj )  //  qj = – ( ᵹv / ᵹqj) siendo  v el potencial

total del sistema material.

las condiciones d equilibrio son en este caso las k condiciones ( ᵹv / ᵹqj) = 0  q expresan las condiciones d extremo del potencial total del sistema material.


12.1.  dinámica analítica

la utilización d los teoremas generales d la dinámica para determinar el movimiento d sistemas materiales, presenta dificultades cuando se trata d sistemas complejos, siendo la principal, la imposibilidad d prescindir d las fuerzas d ligadura, además d obligar al estudio particular d cada caso, x no disponer d una formulación única.

mediante la dinámica analítica, se dispone d una formulación única, ecuaciones d lagrange o d hamilton, aplicable a cualquier sistema material x complejo q sea y d q las ligaduras y el sistema d referencia se hallen o no en movimiento, si bien su máximo interés es el del estudio d los sistemas someti2 a ligaduras perfectas y a ligaduras holónomas.

los procedimientos d la dinámica analítica, se basan en el empleo d magnitudes escalares, tales como energía cinética, energía potencial y  trabajo virtual expresadas en función d las coordenadas generalizadas elegidas para definir la posición o configuración del sistema material.

así como en el 2º axioma d newton, es preciso distinguir si el sistema d referencia  es inercial o acelerado, en las ecuaciones d lagrange y d hamilton no es precisa tal distinción, bastando con considerar las coordenadas generalizadas respecto a un sistema inercial.


12.2. energía cinética

la energía cinética para un sistema d n puntos materiales es

t = ∑ ½ mi vi2

como el vector d posición, en el caso + general, d  ligaduras dependientes del tiempo  y sistemas  d  referencia móviles, está dado  en función d  las coordenadas generalizadas qj y del tiempo x

ri = ri ( qj , t) (j = 1, 2, … , k)

la velocidad es vi = ( ᵹri / ᵹqj ) . qj + ( ᵹri / ᵹt)

luego

t =∑∑ ½ mi ( ᵹri / ᵹqj ) . ( ᵹri / ᵹq1 ) qj q1 + ∑∑ mi ( ᵹri / ᵹqj ) . ( ᵹri / ᵹt ) qj + ∑ ½ mi ( ᵹri / ᵹt )2

q puede ponerse en la forma

t = ∑ aj1 qj q1 + ∑ bj qj + c

en la q las expresiones d aj1, bj y c son evidentes.

cuando las ligaduras son independientes del tiempo y no hay sistemas d referencia móviles al no aparecer explícitamente el tiempo en la expresión del vector d posición se anulan bj y c.

habitualmente, para obtener la energía cinética d un sistema material, no se utiliza la expresión anterior, y si se utiliza el 2º teorema d könig sumando las energías cinéticas d to2 los sóli2 q constituyen el sistema material.


12.3. principio d d’alembert

sea un sistema den puntos materiales p1, p2, … , pn, d masas m1 , m2, … ,m n, sometido a ligaduras perfectas.

si fi y fi’  son la fuerza directamente aplicada y la fuerza dligadura q actúan sobre el punto pi, respectivamente, según el 2º axioma dnewton se tiene

fi + fi’ = mi ai   o bien fi + fi’ = mi ai   donde  -m¡a¡ es la fuerza d inercia.

esta ecuación, q expresa el equilibrio dinámico del punto material p1 según el cual es nula la resultante d fuerzas q actúan sobre él, directamente aplicadas, d ligadura y d inercia d arrastre, es conocida como principio d d’alembert.

si se somete al sistema material a un desplazamiento compatible con las ligaduras, según el principio d los trabajos virtuales se tiene

∑ (fi + fi’ – mi ai ) δri = 0  //  ∑ (fi – mi ai ) δri = 0 ya q las ligaduras son perfectas.

esta ecuación denominada ecuación general d la dinámica d los sistemas materiales, es  otra forma del  principio d  d’alembert,  según  el cual: en  un sistema material sometido a ligaduras perfectas, es nula la suma d los trabajos virtuales d las fuerzas directamente aplicadas y d las d inercia.


12.4. ecuaciones d lagrange para sistemas.holónomos

sea un sistema material holónomo, constituido x  n  puntos materiales p1, p2, … , pn, d masas m1, m2, … ,m n.

al ser el sistema material holónomo, las ecuaciones d ligadura están expresadas   en terminas finitos en la forma f1 ( qj , t ) = 0pudiendo definir la posición o configuración del sistema material, mediante un número mínimo d coordenadas generalizadas independientes q, coincide con el número d gra2 d libertad del sistema material, ya q en este caso, es posible eliminar d las magnitudes características un número d coordenadas generalizadas = al número d ecuaciones d ligadura.si k es el número d gra2 d libertad, el vector d posición d un punto genérico del sistema material, estará definido, en el caso + general d ligaduras dependientes del tiempo o sistemas d referencia móviles, en función d la k coordenadas generalizadas qj y del tiempo x ri = ri (qj , t)

los desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras están da2 x

δri = (ᵹri / ᵹqj ) δqj

a partir d la ecuación general d la dinámica se tiene

(fi – mi (d2ri / dt2) (ᵹri / ᵹqj ) δqj = 0

ya q al ser la velocidad vi = (ᵹri / ᵹqj ) qj + (ᵹri / ᵹt)

se verifica q ᵹvi / ᵹqj = ᵹri / ᵹqj

x tanto

puesto  q las coordenadas  generalizadas qj son  independientes, sus  valores son arbitrarios, debiendo ser nulos to2 los coefi100tes, es decir, qj = d/dt  (ᵹt / ᵹqj ) – (ᵹt / ᵹqj) resultando las ecuaciones primeras d lagrange.

si  las fuerzas directamente aplicadas derivan d un potencial qj = – ᵹv / ᵹqj

luego sustituyendo se tiene d/dt ((ᵹ (t – v)) / ᵹqj ) – ((ᵹ (t – v)) / ᵹqj ) = 0

ya q el potencial v es sólo función d la posición. si l=t – v es la lagrangiana del sistema, se tiene d/dt ᵹl/ᵹqj – ᵹl/ᵹqj = 0  q son las ecuaciones segundas d lagrange.

las ecuaciones d lagrange, en cualquiera d sus formas, son ecuaciones diferenciales d  2º  orden,  q  una vez  integradas,  dan  las coordenadas  generalizadas  qj en función del tiempo, d manera q ello permite obtener  la posición o configuración del sistema material en cualquier instante, x medio del vector d posición ri = ri (t)


12.5. significado d las fuerzas generalizadas

la fuerza generalizada qj q corresponde a la coordenada qj está definida x

y es una magnitud tal q qjδqj  representa un trabajo.

si se fijan todas las coordenadas excepto una, x ejemplo q1,  y el tiempo, qjδqj se transforma en q1δq1. a partir d la expresión d q1, se tiene

q representa el trabajo d todas las fuerzas directamente aplicadas al sistema material, como consecuencia d la variación d la posición o configuración del mismo, producida al variar la coordenada generalizada q1

en general, si la coordenada generalizada qj es una longitud, qj es la proyección d todas las fuerzas directamente aplicadas sobre la dirección d la coordenada qj y si es un  ángulo, qj  es  el  momento áxico  resultante  d  todas  las  fuerzas  directamente aplicadas respecto al eje normal al plano del ángulo en su vértice.

en ambos casos, el sentido d proyección o el del momento áxico son aquellos en los q crece la coordenada generalizada qj, es decir, tomando el sentido positivo para δqj,  resultando positiva o negativa la fuerza generalizada, según q coincida o  no el sentido d la proyección o el momento áxico con el del crecimiento d la respectiva cooordenada generalizada.


12.6. potencial dependiente d la velocidad

es posible utilizar las ecuaciones segundas d lagrange aún en el caso d q  las fuerzas directamente aplicadas no deriven d un potencial. esto es posible si se cumple

siendo u = u (qj, qj, t) el denominado potencial dependiente d la velocidad o potencial generalizado. x tanto a partir d las ecuaciones primeras d lagrange se tiene

siendo en este caso la lagrangiana l=t – u

un caso muy importante d fuerzas q derivan d un potencial dependiente d  la velocidad, es ellas  fuerzas electromagnéticas q actúan sobre cargas móviles.


12.7. ecuaciones  d  lagrange  para  sistemas  no  holónomos.    multiplicadores d lagrange

sea un sistema material no holónomo, constituido x  n  puntos materiales p1, p2,  … , pn d masasm1, m2, …,m n. al ser el sistema material no holónomo, las ecuaciones d ligadura están expresadas en términos diferenciales mediante expresiones q no son diferencial total exacta y son, en general, d la forma aij dqj + a1 dt = 0 no siendo posible, en estos sistemas materiales, expresar  las magnitudes características en función del número  mínimo d coordenadas  generalizadas  independientes  o libres q  definen  su  posición  o  configuración,  coincidente  con  el  número  d  gra2  d libertad  del sistema  material, al  no ser posible, eliminar  en tales  magnitudes,  d  un número d coordenadas generalizadas = al número d ecuaciones d ligadura.los desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras verifican las ecuaciones aij δqj = 0 esta misma situación se plantea en sistemas holónomos en los q las ecuaciones d ligadura están expresadas en términos finitos, en la forma fi (qj , t) = 0 pero  q  hacen    imposible  la  eliminación  en  las  magnitudes  características  d  un número d coordenadas  generalizadas  = al número  d ecuaciones  d ligadura. eneste caso las ecuaciones d ligadura se ponen en forma diferencial (ᵹf1 / ᵹqj ) dqj + (ᵹf1 / ᵹt) dt = 0 formalmente idénticas a las d las ecuaciones d ligadura no holónomas en las q los coefi100tes aij y a1  ahora son  derivadas  y los desplazamientos  virtuales en este  caso verifican las ecuaciones(ᵹf1 / ᵹqj ) δqj = 0 observando las ecuaciones d ligadura y las q verifican los desplazamientos  virtuales compatibles  con  las  ligaduras,  se  concluye,  q   los  desplazamientos   virtuales   no coinciden con  los  reales cuando  las  ligaduras dependen  del tiempo  y  s1 coinciden cuando no existe tal dependencia. x tanto, se dará a los sistemas holónomos someti2 a estas ligaduras hólonomas el mismo tratamiento q a los sistemas no holónomos.a partir del principio d d’alembert se obtienen las ecuaciones

siendo n el número d coordenadas generalizadas qj y los desplazamientos virtuales δqj están relaciona2 mediante las r ecuaciones d ligadura aij δqj = 0  si se multiplica cada una d las ecuaciones d ligadura x un parámetro λ y se suma con la ecuación anterior, se tiene

los n paréntesis q corresponden a los n desplazamientos virtuales       δqj  son nulos debido  a  la elección  d  r  d  los  parámetros  y  a  la  independencia d  los  n  – r desplazamientos virtuales  δqj. x tanto, se tiene

estas n ecuaciones junto con las r ecuaciones d ligadura determinan las n+r incógnitas, q son los r parámetros λy las n coordenadas generalizadas qj. si las fuerzas directamente aplicadas derivan d un potencial, qj = – ᵹv/ ᵹqj siendo v el potencial total del sistema, se tiene

y si las  fuerzas  aplicadas  unas  derivan  d  un  potencial  y  otras  no,  las primeras  se introducen   en   la   lagrangiana   y   las   otras   quedan   como   fuerzas   generalizadas, obtenién2e

12.8. significado físico d los multiplicadores d lagrange

si en un sistema material se sustituyen las ligaduras x las correspondientes fuerzas d ligadura el sistema puede considerarse q se mueve libremente sometido a la acción d estas fuerzas y d las directamente aplicadas.

si qj’ y qj son las fuerzas generalizadas q provienen d las fuerzas d ligadura  y d las fuerzas directamente aplicadas respectivamente,  las ecuaciones d lagrange son

 (1)

teniendo en cuenta las ligaduras, las ecuaciones se tienen las ecuaciones d lagrange

luego qj’ = λ1 aij

x tanto, los multiplicadores d lagrange son 1s coefi100tes q multiplica2 x los correspondientes d las ecuaciones d ligadura dan las fuerzas d ligadura generalizadas.

este procedimiento basado en los multiplicadores d lagrange permite determinar, además del movimiento, las fuerzas d ligadura.

sin embargo para la determinación d fuerzas d ligadura es + útil usar el concepto d fuerza d ligadura generalizada y x tanto, utilizar las ecuaciones (1), en las q mediante el trabajo virtual d todas las fuerzas, las directamente aplicadas y las d ligadura se determinan las fuerzas d ligadura generalizadas qj y  qj’.



13.1. ecuaciones d lagrange en dinámica  impulsiva para sistemas holónomos

sea un sistema material holónomo, d  puntos materiales a1, a2, … , an, d masas m1 ,m2, … ,m n, al q se aplican en un determinado instante las percusiones  pi.

al ser el sistema  material holónomo, como ya se  vio al obtener  las ecuaciones d lagrange, es posible en este tipo d sistemas, definir la posición o configuración del sistema material mediante un número mínimo d   coordenadas   generalizadas independientes q coincide con el número d gra2 d libertad del sistema material, ya q en este caso es posible eliminar, en las magnitudes características un número d coordenadas generalizadas = al número d ecuaciones d ligadura.

a partir d las ecuaciones d lagrange

multiplicando ambos miembros x dt e integrando entre tf y ti, se tiene

si se define la percusión generalizada x pj = ∫ qj dt (límites ti tf)

se tiene pj = ( ᵹt / ᵹqj )tf – ( ᵹt / ᵹqj )ti

ya q ∫ (ᵹt / δqj ) dt = 0 (límites entre ti y t)  en el intervalo d tiempo tf – ti  q es muy pequeño.

las ecuaciones algebraicas (2) en número = al d gra2 d libertad del sistema material, permiten  determinar el  estado  d  velocidades del  sistema  material en  el instante tf  conocido el estado d velocidades en el instante ti.

en general, si la coordenada generalizada qj es una longitud, pj es la proyección d todas las percusiones directamente aplicadas sobre la dirección d la coordenada qj y si es un ángulo, pj es el momento áxico resultante d todas las percusiones directamente aplicadas, respecto al eje normal al plano del ángulo en su vértice.

en ambos casos, el sentido d proyección o el del momento áxico son aquellos en los q crece la coordenada generalizada q¡, es decir, tomando el sentido positivo para δqj, resultando positiva o negativa la percusión generalizada, según q coincida o no el sentido d la proyección o el momento áxico con el del crecimiento d la respectiva coordenada generalizada

13.2. ecuaciones d lagrange en dinámica impulsiva  para sistemas no holónomos

si el sistema es no holónomo, como ya se vió al obtener las ecuaciones d lagrange para  este tipo  d •sistemas materiales, no  es  posible expresar  las magnitudes características en función del número mínimo d coordenadas generalizadas independientes o  libres q definen su posición o  configuración coincidente con  el número d gra2 d libertad del sistema material, al no ser posible, eliminar en tales magnitudes un número d coordenadas generalizadas = al número d ecuaciones d ligadura..

en estos sistemas es preciso utilizar los multiplicadores d lagrange, ya vistos anteriormente, siendo posible la determinación d las percusiones d ligadura, además del estado d velocidades en el instante tf conocido el estado  d velocidades en el instante i¡.

sin embargo para la determinación d percusiones d ligadura es + útil usar el concepto d percusión d ligadura generalizada y x  tanto utilizar las ecuaciones correspondientes.