Cartografía y Proyecciones Cartográficas: Fundamentos y Clasificación

CARTOGRAFÍA

La cartografía es la ciencia que estudia la representación plana de la esfera o del elipsoide terrestre, buscando obtener, mediante cálculos, las coordenadas de los puntos en el plano que corresponden a los puntos situados en dichas superficies.

PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS

Una proyección cartográfica es una correspondencia matemática biunívoca entre los puntos de una esfera o elipsoide y sus transformados en un plano. Esta correspondencia se realiza en función de las coordenadas geográficas (longitud y latitud) de cada punto del elipsoide, que se traducen en el plano en coordenadas cartesianas. La correspondencia es puntual y biunívoca entre los puntos del plano y del elipsoide, y se define mediante las siguientes fórmulas:

x = f(λ,φ) <-> λ = F(x,y)
y = g(λ,φ) <-> φ = G(x,y)

CLASIFICACIÓN DE PROYECCIONES

Propiedades Geométricas

• Conformes: Conservan los ángulos formados por lados cortos en relación con el radio de la Tierra. Los meridianos y paralelos se cortan ortogonalmente entre sí, como en la Tierra.
• Equidistantes: Conservan las distancias. No existe ninguna proyección que tenga esta propiedad en todas las direcciones, aunque se denominan así algunas que sí la conservan en ciertas direcciones.
• Equivalentes: Conservan áreas o superficies, aunque el contorno queda deformado.
• Perigonales: Reducen al mínimo las deformaciones angulares.
• Perihalicas: Reducen al mínimo las deformaciones superficiales.
• Perimecoicas: Reducen al mínimo las deformaciones lineales.

Forma de Meridianos y Paralelos

Proyecciones con Paralelos de Curvatura Constante

• Proyectados como líneas rectas: Cilíndricas, cilíndricas generalizadas, pseudocilíndricas, cónico-cilíndricas.
• Proyectados como circunferencias concéntricas: Cónicas, cónicas generalizadas, pseudoconicas, acimutales, pseudoacimutales.
• Proyectados como circunferencias NO concéntricas: Policónicas en sentido amplio y estricto.

Proyecciones con Paralelos de Curvatura NO Constante

• Proyecciones sin interrupción en el polo: Poliacimutales, poliacimutales generalizadas.
• Proyecciones con interrupción en el polo: Policónicas generalizadas, policilíndricas generalizadas.

ESCALA

Escala Nominal

Es la relación que existe entre una distancia medida sobre el elipsoide o esfera y la distancia transformada en el plano o mapa, es decir, la escala a la que está dibujado el mapa. Esta escala nunca se conserva para cualquier distancia, sino que solo se conserva en alguna línea concreta (ecuador, meridianos, un paralelo o círculo máximo). Si la escala se mantuviera en cualquier dirección, no habría ninguna deformación. El cambio de escala no afecta a las propiedades geométricas de la proyección.

Escala Local

Es la relación que existe entre la longitud de un segmento infinitesimal en la proyección y su correspondiente sobre la superficie del elipsoide. Dicha relación se llama factor de escala:

μ = ds’/ds (magnitud infinitesimal sobre el plano/elipsoide)

La escala es diferente para cada dirección, salvo que la proyección sea conforme.

Elipse Indicatriz de Tissot

El transformado de un círculo infinitesimal en el elipsoide, para cualquier proyección, es una elipse, denominada elipse indicatriz de Tissot. Los semiejes de dicha elipse, su orientación y su superficie, proporcionan los valores de las alteraciones lineales, angulares y superficiales de dicha proyección. El teorema no se verifica para los puntos singulares de la proyección. Las direcciones de los semiejes de la elipse se denominan direcciones principales y determinan los valores máximo y mínimo del coeficiente de anamorfosis lineal.

MAPA TOPOGRÁFICO NACIONAL (MTN)

Es la publicación más importante del Instituto Geográfico Nacional (IGN). Para la confección de las hojas se considera el territorio nacional dividido por meridianos y paralelos separados 20′ y 10′ respectivamente, definiéndose así una serie de trapecios curvilíneos. Dentro de cada trapecio se considera la superficie como si fuera plana.

Construcción

Consideramos dos meridianos MP y NQ que tienen una diferencia de longitudes de 20′. Se calcula la longitud MP=NQ=AB, limitados por los dos paralelos de 10′ de diferencia de latitud.

En el caso de Tierra esférica, AB=s siendo s=R*Δφ=R*10’*(π/180*60). Para Tierra elipsoidal, s=ρ*Δφ, siendo ρ el radio de curvatura correspondiente a la latitud media de A y B. Esta longitud s es la que a escala 1:50.000 se toma desde A’ a B’. Por ambos puntos se trazan perpendiculares a A’B’, tomando sobre ellas segmentos M’N’ y P’Q’ iguales a los arcos de paralelos rectificados, comprendidos sobre la esfera o elipsoide. Se obtiene así el trapecio M’N’P’Q’ que es la hoja del MTN.

Los valores MN y PQ sobre Tierra esférica son:

MN=R*cosφ1*20*(π/10800)
PQ=R*cosφ2*20*(π/180800)

Sobre Tierra elipsoidal:

MN=N1*cosφ1*Δλ
PQ=N2*cosφ2*Δλ

Las dimensiones de las hojas correspondientes a una misma latitud serán iguales.

Las coordenadas de un punto de coordenadas geográficas serán en Tierra esférica:

X=+-R*cosφ*Δλ»*sen1»
Y=+-R*Δφ»*sen1»

Sobre Tierra elipsoidal:

X=+-N0*cosφ*Δλ»*sen1»
Y=+-ρ0*Δφ»*sen1»

Las deformaciones son prácticamente nulas en cada hoja (no tienen representación), lo que es la gran ventaja de esta proyección.

PROYECCIÓN CILÍNDRICA DIRECTA CONFORME

En esta proyección, los meridianos y paralelos se representan como rectas paralelas entre sí, con la condición de ser conforme. La superficie cilíndrica es tangente a la Tierra a lo largo del ecuador, siendo la línea que pasa por él la única automecoica. Se considera práctica hasta los 70º de latitud N o S, ya que para latitudes mayores la deformación resulta excesiva para su uso. La separación teórica de los paralelos en el polo sería infinita.

Consideramos los puntos AD y BC sobre la esfera situados en los meridianos S y T que tienen la misma φ. Al proyectar cada pareja de puntos desde el centro de la esfera, obtendremos los correspondientes arcos de paralelo sobre el cilindro, que serán iguales. A’D’=B’C’=ST, siendo ST el arco de ecuador.

Deducimos de la figura que ST=R*λ y AD=R*cosφA*λ=ST*cosφA=A’D’*cosφA. Luego, A’D’=AD/CosφA=AD*secφA, que es el coeficiente de deformación lineal sobre el paralelo.

También deducimos que K=B’C’/BC=R*dλ/R*cosφdλ; h=A’B’/AB=dy/R*dφ, donde dy es la separación entre paralelos. Igualando h=k, R*dλ/R*cosφ*dλ=Dy/R*dφ –> R=1 –> dy=dφ/cosφ. La separación A’B’ se obtiene multiplicando la diferencia de latitud por el coeficiente secφ.

En el ecuador, φ=0º; sec φ=1, por tanto S’T’=ST. En el polo, φ=90º; sec φ=∞.

Las fórmulas para obtener X e Y en función de latitud y longitud son:

X = λ
Y = ln tg(φ/2+π/4)