Aprendizaje de las Matemáticas en Educación Infantil: Conceptos Clave y Estrategias

1. Introducción

Dos concepciones de “aprender matemáticas”:

• El maestro posee el saber matemático y los niños aplican los conocimientos y consignas que el maestro les da.
• El maestro introduce a los niños en una situación que les permitirá construir con sentido y funcionalidad un determinado conocimiento.

2. El saber matemático en el aprendizaje

• Paradoja de la devolución: “Si el maestro le dice al alumno lo que quiere que aprenda, éste no puede ya obtenerlo”
• El aprendizaje en la escuela está determinado por dos restricciones:
  • Restricción temporal: el aprendizaje se lleva a cabo en un tiempo determinado.
  • Restricción epistemológica: el conocimiento adquirido por medio del aprendizaje debe ajustarse a un saber de referencia, el saber matemático.

3. La actividad matemática

• La actividad matemática exige que el alumno intervenga en ella, lo cual significa que:
  • Formule enunciados y pruebe proposiciones.
  • Construya y pruebe modelos, lenguajes, conceptos y teorías.

4. Modelos de aprendizaje

4.1. Empirismo

• Todo conocimiento proviene de la experiencia, por lo que:
  • El alumno sólo aprende lo que explica el profesor.
  • El alumno no es capaz de crear conocimientos.
  • Se abusa de las presentaciones ostensivas en las que el maestro:
    • Presenta directamente el conocimiento sin que haya una interacción del alumno.
    • Supone que el alumno es capaz de apropiarse del conocimiento y aplicarlo a otras situaciones.

4.2. Constructivismo

El maestro actúa como mediador en los conflictos sociocognitivos mediante puestas en común.

En la puesta en común el alumno estructura la acción, se apropia de significaciones nuevas, identifica nociones y procedimientos, …

Aprender matemáticas significa construir matemáticas.

Hipótesis 1. El aprendizaje se apoya en la acción

Los niños en Educación Infantil:

• Construyen el conocimiento matemático a través de acciones concretas y efectivas sobre objetos (manipulación).
• Anticipan resultados matemáticos relativos a situaciones ausentes o incluso no realizadas.

Hipótesis 2. En el aprendizaje el niño pasa por estados de equilibrio y desequilibrio en los que se ponen en duda los conocimientos previos

• Aprender supone volver a empezar, extrañarse y repetir comprendiendo lo que se hace y por qué se hace.
• El error produce desequilibrios que provocan preguntas, debates, nuevas hipótesis, … de los que emerge el conocimiento matemático.
• El aprendizaje es un proceso de reconstrucción de un equilibrio entre el sujeto y el medio (situación-problema).

Hipótesis 3. Se conoce en contra de los conocimientos previos

• La utilización y la destrucción de los conocimientos previos forman parte del acto de aprender.
• Los nuevos conocimientos se producen modificando los precedentes y no por simple acumulación.

Hipótesis 4. Los conflictos cognitivos entre miembros de un mismo grupo social pueden facilitar la adquisición de conocimientos

• El aprendizaje se produce en un medio social en el que abundan interacciones horizontales (niño-niño) y verticales (niño-adulto).
• Los conflictos sociocognitivos provocan un doble desequilibrio:
  • Interindividual debido a las diferentes respuestas.
  • Intraindividual debido a las dudas sobre su propia respuesta.

5. Aprendizaje por adaptación al medio

• En el aprendizaje por adaptación:
  • El alumno aprende adaptándose a un medio que es fuente de contradicciones, dificultades y desequilibrios.
  • El maestro debe buscar situaciones de aprendizaje en las que la respuesta inicial no sea la buscada.

El alumno aprende matemáticas si:

• Entra en la situación-problema haciéndola suya.
• Pone en funcionamiento una estrategia.
• Si la estrategia es insuficiente trata de superar el desequilibrio emitiendo una hipótesis nueva que le permita:
  • Elaborar procedimientos y adaptarlos o modificarlos.
  • Automatizar los procedimientos más frecuentes.
  • Controlar los resultados.
  • Construir el conocimiento matemático.

6. Gestión de variables didácticas

• Una variable es un elemento de la situación que:
  • Puede ser modificada por el maestro.
  • Influye en las estrategias de resolución de los alumnos.
• El maestro gestiona y controla las variables.
• El alumno adapta su estrategia a la nueva situación.

7. Errores y obstáculos en el aprendizaje matemático

• Los errores pueden ser el efecto de:
  • La ignorancia, la incertidumbre o el azar.
  • Un conocimiento anterior que tuvo su interés y éxito y que ahora resulta falso o inadaptado.
• Los errores procedentes de conocimientos anteriores:
  • No son fortuitos e imprevisibles.
  • Su origen constituye un obstáculo.

Las características de un obstáculo en el comportamiento de los alumnos:

• Siempre se trata de un conocimiento, no de una ausencia de conocimientos.
• Este conocimiento permite al alumno producir respuestas correctas en determinados dominios.
• Este conocimiento produce respuestas erróneas para ciertos problemas.
• Los errores no son esporádicos sino persistentes y resistentes a la corrección.

Origen de los obstáculos:

• Obstáculos de origen epistemológicos
  • Están ligados al saber matemático.
  • La construcción del conocimiento matemático se enfrenta con ellos y se apoya en ellos.
• Obstáculos de origen ontogenético
  • Están ligados al desarrollo neurofisiológico.
  • Los errores de los alumnos de Educación Infantil en torno a la conservación de las colecciones son de este tipo.
• Obstáculos de origen didáctico
  • Son debidos a las decisiones del maestro o del sistema educativo.

• Los obstáculos están presentes en el proceso de construcción del conocimiento matemático.
• Los alumnos deben enfrentarse a ellos, superarlos y tomar conciencia de sus limitaciones.
• El profesor debe poner a los alumnos ante situaciones donde interactúen con el medio que les provoque desequilibrios y retroacciones.
• En la escuela infantil este medio está constituido por situaciones que permitan al niño “jugar y trabajar para aprender”.
• El diseño de estas situaciones supone un importante trabajo didáctico.

1. El desarrollo del pensamiento simbólico en el niño

• El niño debe designar, representar o simbolizar los términos de los conceptos matemáticos.
• El lenguaje matemático
  • Es un lenguaje conciso y preciso.
  • Requiere un entrenamiento y un aprendizaje.
  • Debe evolucionar con la formación escolar.
  • Se basa en el desarrollo del pensamiento lógico-matemático del niño.

2. El desarrollo del pensamiento simbólico en el niño

Fases del desarrollo cognoscitivo de Piaget

La función simbólica

• La función simbólica es la capacidad de representar mentalmente un objeto o acontecimiento usando símbolos, signos o imágenes.
• La forma más compleja de representar la realidad es el lenguaje.
• La función simbólica aparece al final del período sensorio-motriz.

Manifestaciones de la función simbólica:

El niño manifiesta la función simbólica mediante imágenes diferidas, juegos simbólicos, dibujos, imágenes mentales y el lenguaje.

3. Breve reseña histórica

3.1. Programas anteriores a la Ley General de Educación (1971)

• No mencionan explícitamente los conocimientos lógicos prenuméricos.
• Proponen como objetivo de la escuela de “párvulos” enseñar el recitado, la escritura de la serie de los primeros números y su composición/descomposición.

3.2. Ley General de Educación (1971)

• Los Nuevos Programas para la Educación Preescolar están influenciados por:
  • Las teorías de Piaget.
  • Las matemáticas modernas (teoría de conjuntos).
• Se propone por primera vez la enseñanza de conocimientos prenuméricos como preparación a la construcción de los números: conjuntos, correspondencias, clasificaciones seriaciones, ordenaciones, …
• Se basaban en la lógica proposicional y en la teoría de conjuntos.
• Se concretaban con los diagramas de Venn y de Carroll.

3.2. Ley General de Educación (1971). La teoría de conjuntos

• Suministró un lenguaje que permitía expresar de forma muy simple los elementos básicos de la lógica matemática.
• Los alumnos realizaban operaciones con conjuntos como preparación para la construcción del número.
• Las correspondencias, clasificaciones, ordenaciones se designaban como saberes lógicos prenuméricos.

3.3. Los Programas Renovados para la Ed. Preescolar (1981)

• Inciden en la necesidad de desarrollar el pensamiento lógico prenumérico para lo que:
  • “El niño, antes de llegar a la idea de número, realizará actividades de formación de conjuntos”.
  • “Las seriaciones y las clasificaciones son experiencias a realizar en el período prenumérico”.

3.4. Los Diseños Curriculares (1992)

• Desaparecen las actividades con conjuntos.
• Antes de abordar los aspectos numéricos se trabaja con los objetos para formar colecciones y establecer relaciones.
• Las acciones con objetos permitirán:
  • Agrupar y comparar objetos atendiendo a categorías, atributos sensoriales y conceptuales.
  • Verbalizar el criterio de pertenencia o no pertenecía de un objeto a una colección.
  • Representar colecciones ya formadas”.

Proposiciones lógicas

Una proposición es una expresión de la que se puede afirmar que es verdadera o falsa.

Clases de proposiciones:

• Atómicas: no tienen términos de enlace.
• Moleculares: tienen términos de enlace.

CONJUNTOS

Un conjunto es la reunión, colección o agrupación de objetos

• A los objetos que forman un conjunto se les denomina elementos.

Determinación de conjuntos:

• Por extensión: se enumeran todos los elementos.
• Por comprensión: se caracterizan los elementos mediante una propiedad o característica común.

Relaciones:

• De pertenencia: un elemento a pertenece a un conjunto si forma parte de dicho conjunto  → a € A
• De inclusión: un conjunto A está incluido en otro B, si  todos sus elementos pertenecen a B → A © B

. Construcción de los primeros conocimientos numéricos

1. Introducción

• El principal objetivo matemático en la Educación Infantil es la construcción del concepto de número.
• El concepto de número es complejo y el niño no puede construirlo sin ayuda.
• La serie de números se constituye como una síntesis operativa de la clasificación y seriación.

2. Reseña histórica. De 1953 a 1970.

El objetivo de la escuela de párvulos es enseñar:

• El recitado y la escritura de la serie de los primeros números.
• La composición y descomposición de números.
• El aprendizaje es empirista:
  • Se basa en la repetición.
  • Se gradúan los pasos desde lo más simple a lo más complejo.

3. Reseña histórica. Ley General de Educación 1970.

Los programas están influenciados por:

• Las teorías de Piaget.
• Las matemáticas modernas (teoría de conjuntos).
• Se inician los conocimientos prenuméricos como preparación para la construcción del número (conjuntos, correspondencias, clasificaciones, seriaciones, ordenaciones, …).

4. Reseña histórica. Ley General de Educación 1970.

En las Orientaciones Pedagógicas de 1973 se proponen actividades para:

• Clasificar y ordenar colecciones.
• Adquirir la idea de conjunto.
• Introducir la idea de número mediante conjuntos coordinables.

5. Reseña histórica. Ley General de Educación 1970

• En los Programas Renovados de 1981 se promueve el concepto de número natural como cardinal de conjuntos coordinables.
• Piaget: “La serie de números se constituye como síntesis operatoria de la clasificación y de la seriación”.
• Algunos investigadores cuestionan a Piaget:
  • El domino lógico de las tareas de clasificación y seriación se adquiere a los 9-10 años.
  • El éxito de los niños de 4-6 años es empírico.

6. Reseña histórica. Ley Orgánica General del Sistema Educativo. LOGSE. 1990

• En los Diseños Curriculares de 1992:
  • Desparecen las actividades con conjuntos y los conocimientos prenuméricos.
  • El niño construye el número:
    • Contando: los niños aprenden pronto a contar.
    • Realizando operaciones sencillas que implican añadir, quitar y repartir.
  • Se insisten en el modelo de aprendizaje constructivista pero los manuales escolares inducen un aprendizaje basado en la ostentación, observación y repetición.

• Brousseau (1996) considera que el tratamiento actual del número en los textos escolares tiene mucho en común con el período anterior a 1970:
  • “En los años 70 y 80 se diversificaron las situaciones de enseñanza de los números, tratando de darles un sentido más rico y completo”.
  • “En la actualidad se ha vuelto al aprendizaje de los números por métodos antiguos, basados en el conteo”.

7. Iniciación al cálculo

• Los niños son capaces desde edades muy tempranas de apreciar las transformaciones de aumentos y disminución de una colección.
• La correspondencia término a término es el proceso partir del cual se estructuran aritméticamente la significación cardinal del número y la comprensión de la adición y la sustracción.

8. Iniciación al cálculo. Estrategias

Los procedimientos anteriores están ordenados de menor a mayor complejidad:

• Permite seguir la evolución del cálculo de los niños.
• Cada procedimiento  puede ser mejorado por el siguiente.
• Propuesta 1 ® cálculo mental.
• Propuesta 2 ® juegos.
• Propuesta 3 ® ábacos.

9. Iniciación al cálculo. Propuestas. Juegos.

Objetivos:

• Explotar el gusto que experimentan los niños cuando juegan con números.
• Propiciar situaciones que fuercen a la memorización de números y operaciones.

10. Evaluación de competencias. 1º Infantil (3-4 años)

• Saber decir la cantinela hasta el 6-8.
• Utilizar las palabras-número para designar cantidades.
• Saber contar hasta el 4 (¿cuántos?).
• Utilizar la cantinela.
• Utilizar las palabras: poco, mucho, nada, bastante, demasiado.
• Saber poner en marcha procedimientos.
• Comparar dos colecciones que tengan o no el mismo nº de objetos (emparejamiento, estimación, reagrupamiento).
• Construir o modificar una colección para que tenga tantos (o más, o menos) que otra dada.
• Saber verificar una comparación, una construcción o una modificación.

11. Evaluación de competencias. 2º Infantil (4-5 años)

• Saber decir la cantinela hasta el 9-12.
• Reconocer representaciones de los números.
• Saber leer y escribir los números hasta el 5.
• Saber contar hasta el 10 (¿cuántos?).
• Utilizar las palabras: poco, mucho, nada, bastante, demasiado, tanto como, más que, menos que, …
• Saber el cardinal de una colección y el ordinal de un objeto.
• Saber reconocer situaciones aditivas y resolver problemas.
• Saber poner en marcha procedimientos.
• Comparar dos colecciones de más de 10 objetos.
• Construir o modificar una colección.
• Repartir objetos y colecciones.
• Saber verificar una comparación, una construcción o una modificación.

12. Evaluación de competencias. 3º Infantil (5-6 años)

• Saber decir la cantinela hasta el 30.
• Recitar la cantinela al revés y de 2 en 2.
• Saber leer y escribir los números hasta el 9.
• Saber contar hasta el 15 (¿cuántos?).
• Utilizar las palabras: poco, mucho, nada, bastante, demasiado, tanto como, más que, menos que, …
• Saber el cardinal de una colección y el ordinal de un objeto.
• Saber reconocer situaciones aditivas y resolver problemas.
• Saber poner en marcha procedimientos.
• Comparar dos colecciones de más de 10 objetos.
• Construir o modificar una colección.
• Repartir objetos y colecciones.
• Saber verificar una comparación, una construcción o una modificación.
• Saber explicar el procedimiento seguido.

Sistemas de numeración

SISTEMA DECIMAL. SISTEMA  INDO-ARÁBIGO

• Los primeros documentos  aparecen en la India en el siglo III a.C. ® Numeración Brahmi.
• Aún no existía el cero.
• En una inscripción del siglo IX en el templo de Gwalior aparece por primera vez el cero.
• El Papa Silvestre II (s. X) introduce el uso de las cifras indo-arábigas en Europa.

Características

• Es un sistema de base 10 o decimal.
• Tiene 10 cifras o dígitos.
• Basado en los dedos de las dos manos.
• Las unidades se agrupan de 10 en 10 ® cada 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediatamente superior.
• Es un sistema de numeración posicional.
• El valor de una cifra depende de su posición dentro del número.
• Necesita una cifra para el cero ® 0.