Probabilidad y Variables Aleatorias: Conceptos y Teoremas

PROBABILIDAD

A) COMBINATORIA: Técnicas para contar

1) REGLA MULTIPLICATIVA

Si un evento puede realizarse de n₁ maneras diferentes, un segundo evento de n₂ maneras diferentes independientemente del primer evento, … entonces los k eventos pueden realizarse de n₁ · n₂ · … · n_k maneras diferentes. (Manera visual: Diagrama de árbol).

2.1) VARIACIONES SIN REPETICIÓN

Elijo k elementos distintos de entre un total de n elementos. Importa el orden de la elección. El número de elecciones que puedo hacer es: V_n,k= n · (n-1) · … · (n-k+1) = n! / (n-k)!

2.2.) VARIACIONES CON REPETICIÓN

Elijo k elementos que pueden estar repetidos de entre un total de n elementos. Importa el orden de la elección. El número de elecciones que puedo hacer es: n_k

3.1) PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN

Es el número de formas distintas en las que pueden reordenar n elementos distintos. Caso particular de las variaciones sin repetición para k=n. El número de permutaciones de n elementos es: P_n = n · (n-1) · (n-2) · … · 3 · 2 · 1 = n!

3.2) PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

Es el número de formas distintas en las que se pueden ordenar n elementos que pueden estar repetidos. Por ejemplo: si solo hay 2 elementos que se repiten a y b veces respectivamente, el número de permutaciones de n elementos con repetición es: n! / a! · b!

3.3) PERMUTACIONES CIRCULARES

Es el número de formas distintas en las que se pueden ordenar n elementos distintos, de forma que el último se enlaza con el primero, y sólo importan las relaciones entre vecinos. Cada permutación no circular por lo tanto está contada n veces, y el número de permutaciones circulares queda: n!/n = (n-1)!

4) COMBINACIONES

Elijo k elementos distintos de entre un total de n elementos distintos. No importa el orden de la elección. El número de elecciones que puedo hacer es: C_n,k = (n k) = V_n,k/ P_k = n · (n-1) · … · (n-k+1) / k! = n! / k! · (n-k)!

B) SUCESOS

1) CONCEPTOS BÁSICOS

Experimento aleatorio: Es cualquier proceso que produce un resultado aleatorio/incierto a priori.
Espacio muestral U: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.
Suceso: Es un subconjunto A del espacio muestral (A c U). El espacio muestral es el suceso seguro. El conjunto vacío es el suceso imposible.

2) OPERACIONES CON SUCESOS

Suceso complementario: el complementario de un suceso A es el suceso A=A^c= {x E U | x E A}. Sucede cuando el resultado no pertenece a A.
Unión de sucesos: AUB: Suceso formado por los resultados de A o B, o de ambos a la vez.
Intersección de sucesos: A∩B. Suceso formado por los resultados de A y B a la vez.
Nota 1: Los conceptos de unión e intersección se pueden generalizar a más de dos conjuntos.
Nota 2: No importa el orden en unión e intersección: AUB=BUA // A∩B=B∩A .
Sucesos incompatibles, distintos o mutuamente excluyentes. A y B son distintos si no tienen resultados en común. Si A∩B=Θ.
Diferencia de sucesos: A/B = A∩B: Suceso formado por los resultados de A pero no de B.

3) PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON SUCESOS

Hay muchas y la mayoría se pueden comprobar fácilmente con diagramas de Venn. Hay que retener estas 2 en particular:

Distributiva: AU(B∩C) = (AUB)∩(AUC) // A∩(BUC) = (A∩B)U(A∩C)
Leyes de Morgan: AUB = A∩B // A∩B = A U B

Otras propiedades:

Operación	X=U	X=Θ	X=A	X=A^c
AUX	U	A	A	U
A∩X	A	Θ	A	Θ
A/X	Θ	A	Θ	A
X/A	A^c	Θ	Θ	A^c

C) DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD

1) REGLA DE LAPLACE

Si todos los resultados del espacio muestral son equiprobables, entonces la probabilidad de un suceso A se puede calcular con la Regla de Laplace: P(A) = n(A) / n(U) = número de resultados de A / número de resultados de U

2) DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE LA PROBABILIDAD

¿Y si el espacio muestral no es necesariamente equiprobable? En este caso general se define probabilidad como una función que asigna a cada suceso un número entre 0 y 1 y que cumpla las siguientes propiedades (axiomas):

a) 0 < P(A) < 1 // b) P(Θ) = 0 // c) P(U) = 1 // d) Si A∩B=Θ entonces P(AUB) = P(A) + P(B) // e) P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) // f) P(A^c) = 1 – P(A)

De los primeros 4 axiomas se deducen las siguientes 2 propiedades

D) PROBABILIDAD CONDICIONADA E INDEPENDENCIA

1) PROBABILIDAD CONDICIONADA

La probabilidad de que suceda A condicionado a que B ha sucedido es: P(A/B) = P(A∩B) / P(B). La probabilidad condicionada nos da una fórmula para la probabilidad de la intersección:

Para 2 sucesos: P(A∩B) = P(A) · P(B/A)
Para 3 sucesos: P(A∩B∩C) = P(A) · P(B/A) · P(C/A∩B)

2) SUCESOS INDEPENDIENTES

A y B son sucesos independientes si P(A∩B) = P(A) · P(B). A, B y C son mutuamente independientes si:

P(A∩B) = P(A) · P(B)

P(A∩C) = P(A) · P(C)

P(B∩C) = P(B) · P(C)

P(A∩B∩C) = P(A) · P(B) · P(C)

3) PROPIEDADES DE LOS SUCESOS INDEPENDIENTES

Para sucesos cualesquiera A y B se verifica P(A∩B) = P(A) · P(B/A)
Pero si A y B son independientes entonces P(A∩B) = P(A) · P(B), y en este caso se deduce: P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B) –> (condicionar no afecta)
Si A y B son independientes, entonces también lo son: A y B^c// A^c y B // A^c y B^c

E) TEOREMAS DE LA PROBABILIDAD TOTAL Y DE BAYES

1) PARTICIÓN DEL ESPACIO MUESTRAL

Dado un conjunto de sucesos A₁, A₂, … , A_k se dice que forman una partición de U si:

U^k_i=1A_i= U –> (son colectivamente exhaustivos o la unión es el total)
A_i∩ A_j = Θ siempre que i = j –> (son mutuamente excluyentes o son distintos dos a dos).

Una partición divide el espacio muestral en casos separados.

2) TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

Sirve para calcular la probabilidad de un suceso A separándolo por casos, es decir, cuando hay una partición A₁, A₂, … , A_k. El teorema dice: P(A) =Σ_i=1 P(A_i) · P(A/A_i)

3) TEOREMA DE BAYES

Sirve para calcular una probabilidad condicionada cuando se tiene como dato la «condicionada girada»: P(B/A) = [P(B) · P(A/B)] / P(A). Normalmente, para calcular la probabilidad P(A) del denominador se utiliza el teorema de la probabilidad total.

VARIABLES ALEATORIAS

A) DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA

Una variable aleatoria X es una aplicación del espacio muestral en el conjunto de los números reales:

X: U –> R //// w –> X(w)∈R

Si el espacio muestral es finito o infinito numerable, se trata de una variable aleatoria discreta. Si el espacio muestral contiene todo un intervalo de números reales, se trata de una variable aleatoria continua.

B) VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

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