Aplicaciones de Derivada: Regla de L’Hopital, Unidad II – Integrales Indefinidas, Unidad III – Integrales Definidas

Aplicaciones de Derivada: Regla de L’Hopital

Frecuentemente se nos presentan ejercicios de límites con los cuales tenemos cierta dificultad al momento de su resolución, ya que se nos pueden presentar indeterminaciones del tipo. Todos estos casos pueden ser resueltos mediante la aplicación de la regla de L’Hopital. Esta regla se aplica a funciones del tipo y que al reemplazar en ellas el valor en el cual se desea calcular el valor del límite me da como resultado. Esto no significa que para las demás indeterminaciones presentadas no se pueda aplicar esta regla, lo que significa es que para poder aplicarla debemos transformar la función a la cual se le desea calcular el límite en indeterminaciones del tipo.

La regla dice:

• Son las derivadas primeras de cada función.
• Son las derivadas segunda de cada función.
• Son las derivadas enésimas de cada función.

Lo que si se debe tener en cuenta que al derivar se debe derivar cada función por separado, no derivar como un cociente de dos funciones. Si luego de realizar la primera derivada no se salvó la indeterminación, podemos aplicar nuevamente la derivada de cada función, pero antes tenemos que operar algebraicamente para que nuevamente y antes de derivar tengamos una de las indeterminaciones.

Unidad II: Integrales Indefinidas

El análisis elemental incluye dos procesos que son fundamentales en el análisis:

• El cálculo de derivadas: Este proceso nos lleva a definir la recta tangente al gráfico de una función en un punto determinado.
• El cálculo de Integrales: Nos permite hallar el área de regiones limitadas por funciones que son continuas.

Ambos problemas el de la tangente y el del área se resuelve por caminos totalmente distintos, pero vinculados entre si ya que el cálculo de áreas se reduce finalmente al cálculo de antiderivadas o también llamadas primitivas.

Primitivas o Antiderivadas

Si f(x) es una función definida en un conjunto D, la función F(x), definida en el mismo conjunto, es la primitiva de f(x) si y solo si F(x) es derivable en D y es f(x) su derivada.

Es decir: Debemos tener en cuenta algo muy importante que F(x) es una primitiva de f(x) y no la primitiva, ya que hay infinitas funciones cuya derivada es f(x), esto podemos verlo de la siguiente manera:

Unidad III: Integrales Definidas

El problema de calcular el área de ciertos recintos planos, los polígonos, se resuelve en geometría elemental. El problema está cuando se desea calcular el área de cualquier recinto plano no poligonal.

La forma clásica es aproximar el recinto mediante polígonos adecuados, inscriptos o circunscriptos, y definir el área buscada utilizando conjuntos formados con las áreas de estos polígonos.

En primer lugar interesan especialmente los recintos planos no poligonales más sencillos, limitados por la curva asociada a una función continua.

Sumas Inferiores y Superiores

Si consideramos una función f(x) acotada en un intervalo cerrado [a,b]. Esta función al estar acotada tiene un supremo y un ínfimo.

Daremos a continuación una serie de ejemplos en los cuales podremos interpretar el supremo y el ínfimo de cada caso.

Integral de Riemann

En resumen de lo visto anteriormente para las sumas superiores e inferiores de funciones definidas en un cierto intervalo cerrado [a,b], podemos expresar:

• Para la misma subdivisión:
• Si se refina la partición P y obtenemos la partición, y además se cumplirá que:

Si designamos como A al conjunto de todas las sumas inferiores de una función f(x), acotada y definida en [a,b], observamos que A es un conjunto de números reales que está acotado.

Una cota inferior es la suma correspondiente a la subdivisión menos fina de [a,b], es decir a la subdivisión, cuya suma inferior es donde m es el ínfimo de f(x) en [a,b].

Una cota superior es cualquier suma superior.

Por axioma de continuidad de R, el conjunto A tiene supremo e ínfimo.

Definición 1: Integral Inferior de f(x) en [a,b] es el conjunto formado por todas las infinitas sumas inferiores de f(x) en [a,b]. Se la designa:

De la misma forma si designamos como B al conjunto de todas las sumas superiores, B es un conjunto acotado.

Definición 2: Integral Superior de f(x) en [a,b] es el conjunto formado por todas las infinitas sumas superiores de f(x) en [a,b]. Se la designa:

Definición: Si f(x) está definida y acotada en [a,b], y además, la función f(x) es integrable en [a,b].

El valor común de la integral inferior y superior se llama, simplemente, integral de f(x) en [a,b] según Riemann.

O sea: de ahora en más trabajaremos con la expresión y veremos algunas propiedades que son de vital importancia.

Propiedades de la Integral

1. Propiedad Aditiva del intervalo: Si f(x) es integrable en y sea c un punto cualquiera interior al intervalo, entonces:

2. Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral: Es un teorema aplicable a funciones continuas dentro de un determinado intervalo.

Si f(x) es continua en entonces existe un c interior al intervalo para el cual es donde f(c) es el valor medio de f(x) en [a,b].

Función Integral

Antes de definir la función integral damos a continuación dos definiciones que tienen una interpretación lógica e intuitiva:

Regla de Barrow

Si f(x) es continua en [a,b] y es una primitiva de f(x), entonces: Todo lo visto hasta ahora solo nos sirvió para poder definir la Integral definida y llegar por fin a la Regla de Barrow, que de ahora en más se utilizará para poder evaluar una integral definida.

Un tema de vital importancia es que la función a integrar sea una función continua en el intervalo considerado, si la función no fuera continua en el intervalo, ya sea en uno de sus extremos o bien en un valor medio del intervalo, estaremos en presencia de las llamadas Integrales Impropias que se verán más adelante.

Ejemplo:

Los métodos para resolver las integrales son los mismos a los ya vistos para el caso de las integrales indefinidas.

Integrales Impropias

Al dar el concepto de integral según Riemann, se exigió que la función a integrar f(x) sea continua y acotada en el intervalo [a,b]. Si llegara a eliminarse alguna de estas restricciones que se dieron para la función o para el intervalo, podemos generalizar la idea de integral definida mediante las llamadas Integrales Impropias.

Para resolver este tipo de integrales debemos hacer uso del concepto de límite tal como se verá a continuación en los ejercicios y casos siguientes:

Vamos a distinguir dos grandes grupos:

a. Límites de integración infinitos

b. Discontinuidades del Intervalo