Pensamiento matemático y sus implicaciones en su enseñanza
Ámbito lógico
El conocimiento lógico-matemático se construye a partir de las relaciones que se establecen con el medio y el desarrollo de los esquemas mentales del niño. El niño se encuentra en el periodo preoperacional (2-7 años). En esta etapa el niño tiene tanto un pensamiento simbólico (2-4 años, se relaciona con la realidad a partir de la manipulación) e intuitivo (4-7 años, comienza a aprender a partir de sus experiencias y su percepción ante la realidad).
Según Piaget el conocimiento lógico matemático se construye a partir de conocimiento físico y conocimiento social. Esto quiere decir que a través de la interacción que el niño establece con el medio adapta los conocimientos que va aprendiendo, a partir de la asimilación (asimila la realidad interactuando con ella) y acomodación (acomoda aquellos conocimientos nuevos en su estructura mental previa: puede modificar los esquemas previos o crear nuevos). Según Piaget tiene que haber un equilibrio entre estas dos.
Los conocimientos no se construyen de manera lineal esto quiere decir que los conocimientos no se adquieren individualmente sino que se construyen de manera espiral, es decir el niño aprende desde conceptos más simples a más complejos. A medida que el niño avanza en el proceso de aprendizaje lo hace en base a modificaciones de los conocimientos previos por la incorporación de nuevos conceptos.
Las estructuras mentales se dan a partir de las relaciones con la realidad hasta llegar a la lógica formal, es decir el conocimiento físico se basa en los grupos de objetos y en la abstracción de sus carácterísticas cualitativas. A partir de aquí el niño relaciona su semejanza diferencia dando lugar al conocimiento lógico matemático, con la clasificación, ordenación y seriación. Más tarde se da cuenta de las transformaciones que se pueden dar dando lugar a la operación.
Ámbito espacial y geométrico
Este ámbito se basa en el conocimiento del espacio y la forma. Se comienza con la construcción de las relaciones espaciales: el niño comienza a conocer su propio esquema corporal. Más tarde conoce las relaciones topológicas que se basa en la posición del objeto en el espacio, dándose la proximidad, separación u orden de los objetos (abierto, cerrado, cerca, etc.). Finalmente establece las relaciones proyectivas (conservación de las formas de los objetos independientemente de su posición) y euclidianas (es la conservación de la distancia y ángulos de los objetos: delante, detrás, arriba, abajo, etc.)
Una vez construida las relaciones espaciales se da la estructuración espacial en la que el niño organiza el espacio a partir de sus experiencias y su desarrollo en él. Es así como se da la orientación espacial (orienta su propio cuerpo en el espacio) y la organización espacial (organización de los objetos en el espacio). La relación entre organización y orientación da lugar al sistema de referencia (espacio corporal).
La geometría se basa en la posición (lugar de los objetos en el espacio: dentro, fuera, delante, derecha, etc.), la forma (nociones geométricas de los objetos) y los cambios de posición y forma (cambios de las distintas transformaciones geométricas que se dan en el espacio: giros y simetrías). Las primeras formas geométricas son: el círculo, cuadrado, triangulo y rectángulo (se aprende a partir de las dimensiones del cuadrado).
Ámbito magnitudinal y medida
Las magnitudes que existen son: peso, longitud, capacidad, volumen, tiempo y temperatura. Todas ellas se pueden medir, tienen un valor numérico, cada una tiene una unidad de medida y se pueden operar con ellas. En cambio la temperatura no se puede ni contar ni operar. Para aprender las magnitudes los niños pasan por dos fases: de iniciación (reconocer y comprender el atributo mensurable; primero se da una discriminación perceptiva de las magnitudes, luego las relaciona a partir de comparaciones con semejanza y diferencia, más tarde las agrupa y por ultimo las clasifica, seria u ordena) y practica (se trata de la iniciación a la cuantificación de una medida; conocer las distintas unidades de medida).
El proceso de medición se basa en medir las cantidades de las diferentes magnitudes: primero identifica un atributo cuantitativo, es decir se fija en la magnitud (magnitud medible) y luego obtiene las semejanzas y diferencias, clasifica los objetos según sus cantidades y para saber las cantidades exactas utiliza un instrumento de medida en relación a la magnitud que se quiere medir.
Ámbito aritmético
El ámbito aritmético es el último ámbito debido a que este engloba el resto de nociones y por lo tanto es el más complejo. Unas de las habilidades básicas de los niños es aprender a contar y estos son los esquemas cognitivos básicos, que el niño deberá de desarrollar a partir de las relaciones con el medio. El ámbito numérico y el cálculo además tienen relación con la resolución de problemas, la estadística y la probabilidad. El niño comienza a comprender el número a partir de las diferencias con las cantidades de objetos. Esto hace que el niño clasifique y serie cantidades, dando lugar a la cuantificación numérica. Por ultimo realiza operaciones aritméticas, dándose finalmente el concepto de número.
Principales competencias cuantitativas (0-6 años). Cuantificar significa estimar, contar y operar.
Estimación
Se realizan estimaciones numéricas, intentando saber cuántos objetos hay en una agrupación. Primero se estima de manera visual a partir de la percepción, luego se representa numéricamente (recta numérica) y más tarde se opera con la estimación. // Contar.
Es un procedimiento en el que se le asigna a cada objeto de una colección un término numérico, primero tienen que saber estimar para que se produzca el conteo. Los niños observan la cantidad de objetos de manera intuitiva (estiman), luego realizan una correspondencia entre objetos y números, y finalmente obtienen la cantidad numérica. Para que el proceso de contar se dé de manera adecuada primero los niños deben tener bien comprendido el orden de los números en la secuencia numérica, después a cada objeto le corresponde un numero de esa secuencia, también se da el principio de cardinalidad que se basa en asignar al último objeto de la colección el termino numérico que responde a la cantidad total de objetos, esto quiere decir que existe una irrelevancia de orden porque el numero cardinal del grupo de objeto no depende del orden en que se encuentre cuando se cuenta. Por último se da el principio de abstracción, cualquier grupo de objetos puede contarse. // Operar.
Es un cambio o transformación de un grupo de objetos. Las operaciones aritméticas se forman a partir de la suma y la recta (estructura aditiva) y la multiplicación y división (estructura multiplicativa). Para que se den de manera adecuada, primero los niños comprenden que operar significa transformar cantidades, luego comprenden la función de estas operaciones y cuando se utilizan y por ultimo aprenden el aspecto técnico de las operaciones (algoritmos +, -, x, 🙂
Adquisición de los conocimientos numéricos
Noción de número
. El número es una palabra que designa un objeto que esté relacionado con algún cálculo o cantidad. Esta noción se construye junto a la clasificación y seriación y tiene relación con el razonamiento matemático. Se desarrolla de manera constructiva y por etapas. Se divide en dos aspecto los numero cardinales (contar el número de objetos que hay en un grupo: uno, dos, etc.) y ordinales (identificar la posición del objeto con respecto a la recta numérica: primero, segundo, etc.)
Noción de cantidad
. Es el resultado final de la medida o comparación de magnitudes. Es necesario utilizar el número. Hay dos tipos la intensiva (se basa en el número) y la extensiva (se basa en las magnitudes continuas). También se dan dos casos de cantidades discretas, por un lado la cantidad es discreta cuando está formada por objetos que son independientes el uno de los otros (p.E. En un grupo de objeto si se quiere aumentar su tamaño, se añade un objeto más de manera independiente), por otro lado la cantidad es continua cuando está formada por un grupo de objetos que se relacionan entre si y forman un todo (p.E. A la hora de querer conocer las cantidades o tamaños de dos elementos, siempre va haber una diferencia intermedia entre ambos)
Noción de cálculo
. Es el conjunto de procedimiento que permiten obtener el resultado de una operación. Se da el cálculo aritmético, el cual se crea desde edades tempranas (suma y resta). Se distinguen dos tipos de cálculo: aprendizaje por asociación (el cálculo se introduce en la mente del niño desde el exterior y se memoriza) y el aprendizaje por reestructuración (el cálculo se aprende a partir de acciones o casos prácticos relacionados con la realidad el niño). También se dan las estrategias de cálculo: estrategias para la suma y de la resta. // Cálculo relacional:
El número se utiliza para poder contar magnitudes. La suma se da para unir, juntar o agregar colecciones de magnitudes y la resta para poder separarlas (Composición de medidas:
Hay tres magnitudes diferentes, la colección de magnitudes 1 y la colección de magnitudes 2, las cuales, uníéndoles, forman la magnitud 3; para la resta, la magnitud 3 menos la magnitud 1 da lugar a la magnitud 2). // Cálculo numérico:
La suma y la resta están totalmente relacionadas, porque, si queremos saber uno de los componentes numéricos de la suma, debemos restar el otro componente con el total de ésta (p.E.
Procedimiento canónico
8 + …. =14; 14 – 8 = 6). El conocimiento base del alumnado en cuanto a la suma y la resta es la enumeración, conteo y cardinar.
La estadística se basa en la recogida de datos, a partir de la clasificación, ordenación y de la representación a través de gráficos, objetos o dibujos para luego ser interpretados (para que el razonamiento estadístico se desarrolle se debe realizar proyectos sencillos, cada dato del proyecto forma parte de un todo, los alumnos deben comprender la variedad de datos, como también que los datos recogidos son una pequeña parte de un todo y está recogida de datos se representa a partir de tablas y gráficos).
La probabilidad se basa en que los niños tengan que comprender conceptos relacionados con la probabilidad a partir de situaciones que estén relacionadas con la realidad (para que la probabilidad se dé de manera adecuada, se deben proporcionar muchas experiencias a los niños, que estos puedan predecir resultados, organicen una recogida de datos del experimento y que sepan comprender el resultado).
LIMITACIONES EN LA ETAPA PREOPERACIONAL DEL CONOCIMIENTO LÓGICO-MATEMÁTICO
Estadio del pensamiento preoperacional (2-7 años aprox.)
En esta etapa los niños comienzan a pensar de manera simbólica, es decir, construyen representaciones mentales interpretando la realidad. No obstante, se presentan ciertas limitaciones en el pensamiento del niño como egocentrismo, centración, irreversibilidad, o razonamiento transductivo. En esta etapa el pensamiento intuitivo presenta las siguientes carácterísticas:
La formación de conceptos
Los primeros conceptos cuantitativos los elabora el/la niño/a mediante parejas de contraste “mas-menos”, “muchos-pocos”, “grande-pequeño”, “alto-bajo”, “largo-corto”, etc.
Egocentrismo intelectual
Incapacidad de percibir un objeto desde una perspectiva diferente a la suya.
Pensamiento irreversible
La falta de movilidad intelectual que implica no poder volver al punto de partida en un proceso de transformaciones. Un objeto puede sufrir una serie de transformaciones y el/la niño/a sólo percibe el punto de partida y el punto final, pero no recuerda el proceso de transformación del objeto.
Falta de conservación
No puede comprender que la cantidad, continuo o discreta, se conserva a pesar de las modificaciones de las configuraciones espaciales (p.E. Un niño no comprende que en un trozo de plastilina formado como una bola, aunque se modifique y se ponga alargada mantiene la misma cantidad de plastilina; el niño pensará que al ser alargada habrá más que antes).
Primacía de la percepción
El niño se fía más de su percepción que de su propia lógica (En las cantidades discontinuas; p.E. Hay dos filas de caramelos, una encima de otra, las dos con la misma cantidad, pero si en una de las dos filas los caramelos se separan un poco más, el niño creerá que por su longitud, habrán más caramelos, en este caso “hay más porque es más largo”). (En las cantidades continuas; p.E. Dos vasos con la misma cantidad de agua pero de diferentes tamaños; el niño pensará que hay más agua en el vaso más largo, en este caso “hay más por qué es más alto”).
Paso de una centración simple, a dos centraciones sucesivas
Al principio se basa en centraciones simples que no son relacionadas (p.E. “hay más porque es más alto” o “hay menos porque es más delgado”). Y luego se basa en centraciones sucesivas y que tienen relación unas con otras (“hay la misma cantidad de agua: este vaso es más alto, pero más delgado”).
Razonamiento transductivo
Este tipo de razonamiento consiste en pasar de un hecho particular a otro particular, es decir, relacionar dos hechos que no tienen nada que ver entre sí (p.E. Terminar el cole/ir al comedor; despertarse/ver los dibujos).
TEORÍA DEL EQUILIBRIO DE PIAGET
La adquisición, organización e integración de los conocimientos del alumno pasa por estados transitorios de equilibrio y desequilibrio, en el curso de los cuales los conocimientos anteriores se ponen en duda.
El error es entendido como una fuente de aprendizaje necesaria para producir desequilibrios. El aprendizaje, pues, no se reduce a una simple memorización. Esto supone, además, una reorganización del conocimiento de manera que los nuevos conocimientos se van integrando con los anteriores, apoyados en los procesos de asimilación y acomodación. Se trata de aplicar el modelo facilitado por la teoría de la equilibración de Piaget.
El aprendizaje, bajo esta hipótesis, es un proceso de reconstrucción de un equilibrio entre el sujeto y el medio (situación-problema), por ello, la didáctica de la matemática se interesa por provocar deliberadamente desequilibrios en un determinado medios con intención de suscitar un aprendizaje concreto.
PRINCIPIOS DE APRENDIZAJE
El alumno como sujeto cognitivo ha de aprender significativamente el saber matemático. Esta concepción del aprendizaje se fundamenta en que el alumno es protagonista de su propio aprendizaje. Es por ello por lo que aprender matemáticas significa CONSTRUIR MATEMÁTICAS. Por lo tanto, el modelo de aprendizaje que permite que los alumnos puedan construir con sentido y funcionalidad los conocimientos matemáticos es el CONSTRUCTIVISMO.
El aprendizaje se apoya en la ACCIÓN:
El aprendizaje se apoya en la acción, es decir, la manipulación. Por lo tanto, esto engloba tanto la acción práctica como mental. El conocimiento se construye a partir de la acción en el medio y es así cómo los niños comprenden la realidad, hasta llegar al punto de poder realizar una acción mental, teniendo así la capacidad de razonar de manera lógica.
El aprendizaje es un proceso de reconstrucción de un EQUILIBRIO entre el sujeto y el medio (explicado en la Teoría del equilibrio de Piaget).
El CONOCIMIENTO PREVIO:
Se aprende en contra de los conocimientos anteriores. Los aprendizajes previos de los alumnos se deben tener en cuenta para construir nuevos conocimientos, ya que estos no se producen a partir de la nada, su elaboración está sometida a adaptaciones y reestructuraciones de los mismos. Aprendemos a partir de y también en contra de lo que ya sabemos (asimilación y acomodación/aprendizaje significativo).
Los CONFLICTOS COGNITIVOS entre miembros de un mismo grupo social es fuente de aprendizaje: Las interacciones que establecen los alumnos entre sí y con el docente, ayudan a que éstos desarrollen conflictos cognitivos (intercambio y confrontación de ideas) que facilitan la construcción del conocimiento. En este caso, los niños tendrán la oportunidad de poder exponer sus ideas, saber las ideas de los demás y poder modificar o no sus propios pensamientos, incluyendo nuevos conceptos e información.
PRINCIPIOS DE ENSEÑANZA
El docente debe de tener presente una serie de principios de enseñanza para que el alumnado pueda aprender el conocimiento lógico-matemático y siempre tienen que tener relación con los principios de aprendizaje de éste:
Hacer del aprendizaje matemático una enseñanza basada en actividades reales y significativas para los alumnos
: En todo momento, las actividades deben de ser planteadas en relación con la realidad de los niños. Consiste en hacer preguntas a los niños antes de hacer la actividad y durante la realización de ésta con el objetivo de que los niños se planteen el motivo por el cual tienen que realizar esta actividad. Esto les permite tener una idea previa y encontrarle el significado a lo que hacen.
Iniciar el aprendizaje impulsando las ideas previas de los niños hacia el conocimiento matemático, formal e informal: Es necesario que los docentes, para crear las distintas actividades que se van a realizar en el aula, tengan en cuenta los conocimientos previos que tienen los niños. Los niños cuando llegan a la escuela poseen una gran cantidad de conocimientos informales, como por ejemplo, las nociones, habilidades y estrategias relativas a un amplio conjunto de aspectos como la numeración y el conteo. Estos conocimientos previos que los niños poseen los consiguen a través de la participación en situaciones de su vida cotidiana. Aunque este conocimiento previo, desde el punto de vista de las matemáticas formales, tiene importantes limitaciones.
Encaminar el aprendizaje hacia la comprensión y la capacidad para resolver situaciones problemáticas
: Esta tercera pauta es consecuencia de las anteriores, sobre todo con el aprendizaje impulsando las ideas previas. Consiste en la creación de contextos donde se crean interrogantes que la clase quiere resolver ya que estas situaciones permiten la confrontación de ideas entre iguales. Esta forma de enseñanza es hoy en día la mejor forma de ayudar a los alumnos a avanzar hacia niveles matemáticos cada vez más complejos y abstractos.
Globalizar los contenidos matemáticos con el resto de áreas del aprendizaje (no limitar los contenidos matemáticos): Esta pauta consiste en no jerarquizar los contenidos que tienen que dominar los niños, es decir, no hay que establecer un orden estricto a la hora de enseñar los diferentes contenidos, porque todos los contenidos se encuentran relacionados entre sí.
Enfocar la enseñanza en el aprendizaje colaborativo, basado en la interacción y la cooperación entre los alumnos
: Esta pauta consiste en fomentar la interacción entre los alumnos para que se produzca la enseñanza, ya que los niños aprenden los unos de los otros y enriquecen sus ideas a través de la confrontación con las ideas de los otros compañeros. En este ambiente es válido conversar, discutir, comparar producciones e ideas con el resto de compañeros y con el propio docente.
Dar a los niños la oportunidad de exponer sus ideas con respecto a las matemáticas
: Una parte esencial de la actividad matemática es ofrecer oportunidades a los niños para que puedan expresarse con respecto a su visión de los temas que se tratan en la clase (experiencias matemáticas). En el diálogo que establecen los miembros de un grupo del aula aparecerán hipótesis, que nunca se verán como errores, sino como muestras de intento para la búsqueda de significados.
Tener en cuenta los sentimientos que muestren los niños a la hora de afrontar el aprendizaje y el dominio de las matemáticas: En la enseñanza de las matemáticas no se debe de tener en cuenta sólo las capacidades cognitivas sino que también son fundamentales las capacidades emocionales y afectivas. Aspectos como el clima del aula, el ambiente, las relaciones que se establecen entre los alumnos y el docente crean dentro del aula unas condiciones fundamentales en los procesos de enseñanza y aprendizaje de esta materia.