Suma de potencias de igual base y distinto exponente
DEFINICIÓN DE PRODUCO DE NÚMEROS NATURALES Y SUS ELEMENTOS.
La multiplicación es una manera abreviada de la suma, los elementos de la multiplicación son:
-Los números que se multiplican se llaman factores.
-El resultado se conoce como producto.
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NUMEROS NATURALES.
1. Es ley de composición interna: La multiplicación de dos números naturales es otro número natural, es decir, es una aplicación que a cada par de números naturales le hace corresponder un número natural.
2. Asociativa: Para todo
4. Conmutativa: Para todo
DEFINICIÓN DE DIVISIÓN EXACTA.
Es una operación que tiene por objeto, dados dos números naturales, llamados dividendo (D) y divisor (d), hallar un tercero, llamado cociente ©, que multiplicado por el divisor, dé el dividendo, es decir: D = d·c y se expresa: D : d = c
De esta igualdad se deducen otras dos:
Dada una cualquiera de estas igualdades, se pueden deducir inmediatamente las otras dos. Estas son las equivalencias fundamentales de la división
PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN EXACTA.
1. La división exacta no es ley de composición interna, pues no siempre existe
Así 9:2 no tiene solución en el conjunto de los números naturales.
Las propiedades que daremos a continuación se refieren al caso particular en que el cociente exacto existe.
2. Propiedad uniforme:
Dados los números naturales a, a´, b, b´ se verifica:
3. La división por cero es imposible
4. La división exacta no es conmutativa
5. La división exacta no es asociativa
6. Si multiplicamos o dividimos el dividendo y divisor por un mismo número a distinto de cero el cociente no varía
7. Si multiplicamos el dividendo por un número distinto de cero, el cociente queda multiplicado por ese mismo número.
8. Si multiplicamos el divisor por un número distinto de cero, el cociente queda dividido por ese mismo número
9. Si dividimos el dividendo por un número distinto de cero, el cociente queda dividido por ese mismo número
10. Si dividimos el divisor por un número distinto de cero, el cociente queda multiplicado por ese mismo número
11. Para dividir un producto indicado por un número, basta dividir uno cualquiera de los
factores por dicho número. O sea:
12. Propiedad distributiva:
“Para dividir una suma indicada por un número, hay que dividir cada sumando por dicho
número”. Es decir:
DEFINICIÓN DE LA DIVISIÓN ENTERA.
Cuando la división exacta no es posible, puede serlo en cambio la división entera. Esta operación tiene por objeto, dados dos números naturales D y d, llamados respectivamente dividendo y divisor, hallar otros dos, r y c, tales que :
D = d·c + r siendo r
El número c se llama cociente por defecto y r resto por defecto. La división entera tiene sentido en N siempre que se verifique que
PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN ENTERA.
“Si se multiplica (o divide) el dividendo y el divisor por el mismo número n, el cociente no varía, y el resto queda multiplicado (o dividido) por ese mismo número”.
En la igualdad D = d·c + r , multiplicamos los dos miembros por n:
D·n = (d·c + r) ·n = d·c·n + r·n = (d·n) ·c + r·n
Con lo que deducimos que, al dividir D·n por d·n, resulta:
POTENCIAS DE BASE NATURAL Y EXPONENTE NATURAL.
Dados dos números naturales a y b, con b 0, definimos la potencia de base a y exponente b como:
Propiedades:
1-Es ley de composición interna:2- No es conmutativa
3-No es asociativa
9-aº=1, esta expresión no tiene sentido tal y como definimos la potencia como producto de factores iguales, pero llegamos a este convenio debido a lo siguiente:
RAIZ CUADRADA DE UN NÚMERO NATURAL.
Cuando la raíz cuadrada de un número natural a es un número natural, decimos que a es un cuadrado perfecto y que la raíz es exacta.
Si la raíz exacta de un nuemro natural no existe podemos hallar la raíz entera.
Se define la raíz entera de un número natural como el mayor número natural cuyo cuadrado es menor que dicho número. A la diferencia entre el número dado y el duadrado de la raíz entera se llama resto.
El resto de la raíz entera cumple que es menor que el doble de la raíz, más uno.
PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS Y DE DIVISIÓN. TIPO I: PROBLEMAS DE GRUPOS IGUALES. SUBGRUPOS Y EJEMPLOS.
Son los más simples y los que nos sirven, según hemos dicho más arriba, para introducir la multiplicación y la división. En estos problemas se repite una misma cantidad un número de veces y como resultado obtenemos un total de esa cantidad producto.
Al igual que ocurre con los problemas de suma y resta, al principio, los niños resuelven los problemas de multiplicación y división modelizando la acción y las relaciones descritas en el enunciado del problema.
Con el paso del tiempo estas estrategias de modelización son sustituidas por estrategias más eficientes basadas en el conteo, la suma y la resta.
PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS Y DE DIVISIÓN. TIPO II: PROBLEMAS DE SITUACIONES COMPARATIVAS. SUBGRUPOS Y EJEMPLOS.
En los problemas que abordamos ahora, hay que hacer uso de la relación entre dos medidas diferentes, una proporcionalidad entre dos medidas. Esta relación que vamos a usar se la denomina razón o tasas. Según desconozcamos la tasa, el número de grupos o el total podemos hacer la siguiente clasificación dentro de esta modalidad. (cuadro)
En los problemas de razón no hay necesariamente grupos separado de objetos pero sí tienen cantidades en ellos que los niños pueden representar utilizando contadores. Estos problemas pueden resultar algo más difíciles para los niños, pero no están fuera de su alcance.
ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCION DE PROBLEMAS DE TIPO II.
Estos problemas no son exactamente iguales que los problemas de agrupamiento y reparto dado que cada uno de ellos supone la presencia de una razón más que de un número de objetos
a. Estrategias de conteo para la resolución de problemas de razón en los que se desconoce el total.
b. Estrategias de conteo para la resolución de problemas de razón en los que se desconoce el número de grupos.
c. Estrategias de conteo para la resolución de problemas de razón en los que se desconoce la razón.
PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS Y DE DIVISIÓN. TIPO III: PROBLEMAS DE SITUACIONES COMPARATIVAS. SUBGRUPOS Y EJEMPLOS.
Los problemas de comparación multiplicativa suponen la comparación de dos cantidades de modo que una cantidad se describe como un múltiplo de la otra. La relación que hay entre las cantidades será descrita en términos de cuantas veces es una mayor que la otra.
1-En estas situaciones intervienen dos cantidades del mismo tipo: referente y comparado, que se relacionan por un factor de comparación. Si la cantidad que hace de referente es más pequeña que la comparado, entonces estamos ante una comparación de aumento, que vendrá expresada normalmente con la expresión “n veces más” o “n veces mayor”.Por el contrario, si el referente es mayor que la cantidad que hace comparado, estamos ante una situación de disminución que vendrá expresada con la fórmula “n veces menos” o “n veces menor”.
PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS Y DE DIVISÓN. TIPO IV: PROBLEMAS DE PRODUCTOS DE MEDIDAS. SUBGRUPOS Y EJEMPLOS.
Una característica importante de todos los tipos de problemas que hemos visto hasta ahora es que no son simétricos, esto es, los números que aparecen en ellos tienen referentes específicos, y los referentes no son intercambiables.