Como se leen los numeros naturales
TEMA1
Las 3 finalidades del currículo de Matemáticas:
Primera
El carácter formativo de las matemáticas: Las matemáticas se deben aprender porque contribuyen al desarrollo intelectual de cada persona. Tienen un alto valor formativo y de abstracción y rigor.
Segunda
La utilidad práctica del conocimiento matemático: las matemáticas deben estudiarse por su utilidad para desenvolverse en la sociedad actual, en la cual, la organización de la información, los modos de comunicación y las relaciones económicas están basadas en nociones y relaciones matemáticas. Hoy en día, el acceso al mercado de trabajo requiere conocimientos matemáticos.
Tercera
La utilización sistemática de las matemáticas para el resto de las disciplinas; los conceptos y procedimientos matemáticos proporcionan estructuras para abordar el resto de las disciplinas. Las matemáticas proporcionan los hilos conductores de la formación intelectual de los alumnos. Las matemáticas son el lenguaje, mediante el cual se formalizan y estructuran las disciplinas científicas. Son útiles para organizar otras áreas de conocimiento.
Definición de competencia:
La LOE define las competencias básicas como expectativa de aprendizaje a largo plazo cuyo desarrollo se logra paulatinamente en los escolares y que organizan los aprendizajes escolares.
Competencias transversales: (enunciarlas)
Pensar y razonar; argumentar y justificar; comunicar; plantear y resolver problemas; representar; utilizar lenguaje simbólico y modelizar.
TEORIA ESTRUCTURALISTA:
PIAGET:
La construcción del conocimiento lógico matemático se produce mediante abstracción reflexiva. Dando lugar a algunas de las características del conocimiento lógico matemático:
- No es directamente enseñable
- Se desarrolla siempre en una misma dirección
- Una vez que se construye, no se olvida.
Etapas del aprendizaje matemático
Juego libre(se adapta al medio a la vez qye se van extrayendo estructuras matematicas), juegos estructurados(juego que tiene unas reglas(son los limites entre las situaciones matematicas)), juegos isomorficos(abstraccion al descubrir semejanzas y diferencias en los diversos juegos), representación gráfica(representar los juegos para completar abstrasccion), invención de un lenguaje apropiado(pelos lengiuaje), construcción de un sistema formal (axiomas, reglas y teoremas)
DIENES:
Principios de Dienes: principio dinámico(origen del conocimiento es la experiencia y la manipulacion), principio de constructividad(una pequeña nocion antes de analizar el juego), principio de variabilidad perceptiva(trabajar aprendizaje matematico en dif situaciones), principio de variabilidad matemática(trabajar en la misma situacion varios conceptos mat.)
MIALARET:
Etapas: 1ª necesidad de manipular; 2ªacciones apoyadas en el lenguaje; 3ª experiencia y conocimiento; 4ª situaciones reales; 5ª expresión gráfica de las acciones; 6ª traducción simbolica del problema(lo ultimo para la asimilacion del concepto).
TEORIA CONDUCTISTA:
Debilidades del conductismo:Esta teoría ignora los problemas educativos, las razones del fracaso escolar y el papel que juegan los errores en el aprendizaje. Prefiere responsabilizar más al estudiante de su aprendizaje que al profesor. Ignora las nuevas tecnologías.
Creencias debilitadoras: 1 aprender matemáticas es memorizar; 2comprension juega papel secundario, 3incapacidad para resolver con rapidez = inferioridad, 4 siempre hay una regla para resolver un problema, 5 solo hay una manera correcta para resolver el problema.
TEORIA COGNITIVA:
El aprendizaje no se alcanza descomponiéndose en la suma de aprendizajes más elementales, sino que se origina partiendo de diversas estrategias, como la basada en la resolución de problemas. La teoría cognitiva parte de la idea de que le sujeto tiene una estructura mental en la que encaja las experiencias que ha vivido hasta entonces.
Formas actuales de considerar el aprendizaje de las matemáticas:
1 El aprendizaje matemático se realiza a través de experiencias concretas
2 El aprendizaje tiene que arrancar de una situación significativa para todos los alumnos.
3 La forma en que los aprendices puedan llegar a incorporar el concepto a su estructura mental es mediante un proceso de abstracción que requiere de modelos.
4 Una de las formas de conseguir que el aprendizaje sea significativo para los alumnos es mediante el aprendizaje por descubrimiento.
5 No hay un único estilo de aprendizaje matemático para todos los alumnos.
Situaciones de BROUSSEAU:
Situacion Accion(primer contacto con el problema RETROACION); Situacion formulación(un alumno se lo cuenta a otro) Situacion Validacion(comprobacion del problema cn otro alumno) Situación institucionalización(se ponen en comun en la clase).
EVALUACION:
La evaluación es ocupa de responder a preguntas sobre el aprendizaje: ´como sabemos si un alumno ha aprendido, qué ha aprendido, cómo sabemos que el proceso de enseñanza es adecuado.
Tipos de evaluación
- Modelo referenciado. Es el método mas corriente de evaluar, es plantear una variedad de preguntas sobre todo el contenido y contabilizar las respuestas. Se mide lo que se ha aprendido.
- Criterio referenciado: analizar el aprendizaje de un concepto en partes y medir cada parte por medio de cuestiones especificas. Se espera cierta coincidencia entre las respuestas.
- Evaluacion por logros autenticos: evalluacion se base en tareas complejas como la resolución de problemas. Comienza don tareas complejas, de las que se espera que el alumno realice argumentaciones empleando conjeturas.
ERRORES, DIFICULTADES Y OBSTÁCULOS:
Un error es una práctica o acción que no es válida y posee una dificultad en mayor o menor grado que representa el éxito de los alumnos (porcentaje de respuestas correctas).
Dificultades: – Abstraccion (análisis del contenido matemático para prever su grado de dificultad), Obstáculo (el error no se produce por una falta de conocimiento, sino por desconocer cuándo es válido)
Tipos de obstáculos: De origen epistemológico: de las palabras, ligados al saber matemático. De origen ontogénico: ligados al desarrollo neurofisiológico de los sujetos. De origen didáctico: por el profesor o la escuela.
TEMA2
Usos del Número:
- Secuencia verbal: se recitan los números en su orden habitual sin hacer referencia a ningún objeto ni nada en concreto.
- Recuento: correcta utilización de la correspondencia biunívoca (a cada número le corresponde un elemento de un conjunto de objetos y viceversa)
- Cardinal: nos detecta la cantidad de objetos que tiene un conjunto. Se responde a la pregunta ¿Cuántos hay?
- Medida: indica la cantidad de unidades de una magnitud contínua (longitud, superficie…) Etiquetas de ropa o zapatos.
- Ordinal: indicar el orden que ocupa un elemento dentro de un conjunto establecido. El uso del ordinal depende del orden establecido.
- –Principios dela acción de contar: P. de orden estable, P. de correspondencia, p. de biunivocidad, p. de cardinalidad, p. de irrelevancia, p. de generalidad.
Niveles de secuencia numérica:
- Nivel cuerda:Em pieza a partir del 1 pero no distingue los demas
- Nivel cuerda irrompible: sabe contar pero si le preguntas a partir de cual quiera, empieza desd el 1
- Nivel cadena rompible: sabe contar a partir de cualquiera q no sea 1
- Nivel cadena numerable: sabe cntar a partir de otro numero
- Nivel cadena bidireccional: es capaz de recorrer la cadena numeria de alanmte a atras
Etapas en el desarrollo de la comprensión del número según Piaget:
Estadio I: Comparacion global entre colecciones
Estadio II: capaces de formar una coleccion equivalente a otra por correspondencia
Estadio III: crean colecciones equivalentes a las dadas y estan seguro de que el numero de elementos no cambia aunq cambie de posicion la cadena.
Representación de los números naturales:
Por representación se entiende cualquier modo en que se hace presente un objeto, concepto o idea. Las representaciones de números naturales las podemos clasificar en las siguientes:
- Simbólicas: egipcio, babilonio, chino, griego..
- Verbales: uno dos tres / primero segundo tercero
- Gráficas
- Representaciones puntuales o números poligonales
- Materiales manipulativos: ábaco, regletas, bloques multibase…
Significados de la adición:
- Concepción unitaria: Hay una cantidad inicial que experimenta un cambio al añadirle una segunda cantidad; el resultado es el incremento de la segunda cantidad sobre la primera.
- Concepción binaria: Si a y b son dos números naturales que representan los cardinales de dos conjuntos (A y B), la adicion de a y b se escribe a+b y es el cardinal del conjunto A unión B. en la concepción binaria de la adicion hay dos cantidades que tienen asignado el mismo papel. Se realiza unión o combinación de las dos cantidades que permite llegar al resultado.
- Estrategias para sumar: Con objetos o dedos.// Secuencias de recuento: contar todo/ contar a partir del primero / etc
Significados de la Sustracción:
- Concepción unitaria: hay una cantidad inicial que sufre un cambio al quitarle una segunda cantidad, y el resultado es la disminución de la segunda cantidad sobre la primera.
- Concepción binaria: Hay dos cantidades que tienen asignado el mismo papel. Se valora lo que hay en el todo y una de las partes, lo cual permite conocer lo que hay en el complemento.
- Estrategias para restar: Con objetos. Recuento.
Significados de la multiplicación
- La multiplicación como suma repetida: Si a y b son dos números naturales, el producto de a y b, escrito a x b, se define como : a x b = b + b +… + b cuando a=/ 0 a sumandos como 0 x b = 0
- La multiplicación como producto cartesiano: realizar una tabla con cada variable y realizar operaciones ****
Significados de la división:
- División partitiva (reparto): tiene por objeto hallar una cantidad llamada cociente a partir de otra del mismo tipo llamada dividendo que se reparte entre una cantidad de distinto tipo llamada divisor.
- Concepción cuotitiva/medida (resta repetida): Hallar el divisor conocidos el dividendo y el cociente. El dividendo tenemos que descomponerlo en partes de igual tamaño y en principio, conocemos el tamaño de esas partes pero no su número.
PROBLEMA RUTINARIO | PROBLEMA |
De un golpe de vista se ve inmediatamente (o casi) en qué consiste la cuestión o cuál es el camino para resolverlo | A primera vista no se sabe cómo atacar el problema y resolverlo; a veces ni siquiera se ve claro cuál es el problema |
El objetivo principal del ejercicio es aplicar de forma rutinaria conocimientos y mecanicismos ya conocidos y fáciles de identificar | Para resolver el problema no basta con aplicar una regla o “receta” de forma rutinaria, sino que son la búsqueda y la intuición las que llevan a elaborar una solución, profundizando en el conjunto de conocimientos y experiencias anteriores |
En general, su resolución requiere poco tiempo | En general, su resolución requiere bastante tiempo |
No se suelen considerar los aspectos afectivos que comporta su resolución: motivación para resolverlo, interés, etc. | Su resolución requiere una inversión importante de energía y de afectividad: frustración inicial, voluntad de resolverlo, perseverancia en la investigación, etc. |
En general, son cuestiones cerradas | Pueden ser más o menos abiertos |
Abundan en los libros de texto | Son escasos en los libros de texto |
Fases en la resolución de un problema
• Hadamard:
1. Trabajo consciente de familiarización con el problema. Exploración de casos particulares, casos límite o análogos a la situación planteada, reformulación del problema, etc. Desemboca en la comprensión de los mecanismos de la situación.2. Trabajo semiconsciente o inconsciente de incubación de las ideas con las que se ha trabajado en la fase anterior. 3. Inspiración o iluminación sobre la forma de resolver el problema. Un verdadero problema no se resuelve de una vez, sino que hay que abordarlo en repetidas ocasiones, esperando que alguna de ellas produzca la inspiración total o parcial. 4. Verificación de que la inspiración conduce realmente a la solución, por medio de un razonamiento demostrativo.
• Poyla:
1. Comprensión del problema, que incluirá pasos esenciales, como el trazado de diagramas, introducción de una notación adecuada, etc. 2. Concepción de un plan. Elaborar una estrategia de resolución. 3. Ejecución del plan. 4. Comprobación o examen retrospectivo.
Fases en la resolución de un problema
• Hadamard:
1. Trabajo consciente de familiarización con el problema. Exploración de casos particulares, casos límite o análogos a la situación planteada, reformulación del problema, etc. Desemboca en la comprensión de los mecanismos de la situación.
2. Trabajo semiconsciente o inconsciente de incubación de las ideas con las que se ha trabajado en la fase anterior.
3.
Inspiración o iluminación sobre la forma de resolver el problema. Un verdadero problema no se resuelve de una vez, sino que hay que abordarlo en repetidas ocasiones, esperando que alguna de ellas produzca la inspiración total o parcial.
4. Verificación de que la inspiración conduce realmente a la solución, por medio de un razonamiento demostrativo
• Poyla:
1.
Comprensión del problema, que incluirá pasos esenciales, como el trazado de diagramas, introducción de una notación adecuada, etc.
2
Concepción de un plan
Elaborar una estrategia de resolución.
3
Ejecución del plan
4
Comprobación o examen retrospectivo
Magnitud y su medida.
Magnitud:
Es una propiedad característica física o atributo observable de los cuerpos, antes, fenómenos o situaciones, que se manifiestan en distintos grados de intensidad (normalmente infinitas) cada uno de los cuales, recibe el nombre de cantidad de magnitud.
Magnitudes fundamentales:
son aquellas que son básicas y no dependen de otras, la masa, la longitud y el tiempo.
Magnitudes derivadas
Son aquellas que se definen a partir de las fundamentales, dependen de ellas y pueden ser expresadas por formulas a partir de estas como por ejemplo….
Magnitudes escalares:
se definen exclusivamente por un número y esto es suficiente para labrar sus consecuencias como por ejemplo la masa y el tiempo. Magnitudes vectoriales: son aquellas que para definirlas hay que especificar además de un número, su dirección y sentido como la fuerza o la velocidad.
Magnitud de soporte físico
Son aquellas que están asociadas a algo tangible, la longitud, el peso la masa, aquellas no tangibles como la temperatura o el tiempo.
Magnitud continua y discreta
Aquellas que toman todos los infinitos valores entre dos dados como la longitud o el peso. La magnitud discreta son las que pueden tener valores limitados.
Magnitud extensiva e intensiva
Son aquellas que dependen de la cantidad de tamaño o sustancia de un cuerpo. Pueden ser expresadas como la suma de las magnitudes de un conjunto de subsistemas que formen un sistema principal el volumen, la superficie, etc. Las intensivas son las que no dependen de la cantidad de sustancias o el tamaño de cuerpo y por lo tanto no son propiedades aditivas como por ejemplo la temperatura.
Unidad de medida:
Cantidad arbitraria de una magnitud que se adoptan por convenio para comparar cn ella cualquier otra cantidad de la misma magnitud. Se establecen por:
- Para llegar a acuerdos y percepción es reales para todo el mundo
- Para realizar comparaciones preciosas
Medir:
Es asignable a una cantidad de magnitud, una valoración numérica objetiva fruto de comprar dicha cantidad, con el de la unidad de medida.
Medición:
proceso de búsqueda y determinación de la valoración numérica objetiva.
Medida:
resultado del proceso de medición.