Cálculo Matricial: Inversas, Rango, Determinantes y Resolución de Sistemas

Programa online para calcular inversas, rangos, etc.: http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/default.aspx

Reducción de Matrices

Para reducir una matriz, se busca obtener un 1 en la esquina superior izquierda (↑←) y luego ceros debajo (↓) en la misma columna y a la derecha (→) en la misma fila.

Una matriz totalmente reducida nos permite determinar su rango.

Determinantes

El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de cada matriz.

Propiedades de los determinantes:

  • |Fij| = -1
  • |Cij| = -1
  • |Ci(λ)| = λ
  • |Cij(λ)| = |Fij(λ)| = 1
  • |I| = 1

Cálculo de la Matriz Inversa

Para calcular la inversa de una matriz, se puede realizar una reducción utilizando SOLO transformaciones de fila (consiguiendo 1 en cada columna y 0 arriba y abajo) o SOLO de columna.

Dimensión y Rango

El número de elementos de una base es la dimensión del espacio vectorial.

El rango de un conjunto de vectores es el número de vectores linealmente independientes.

Ejemplo: Si tenemos 3 vectores: v1, v2, v3, y Rg(v1) ≠ Rg(v1, v2) ≠ Rg(v1, v2, v3), entonces los vectores son linealmente independientes.

Ecuaciones Vectoriales, Paramétricas e Implícitas

A partir de una variedad lineal (ya depurada), se puede obtener la ecuación vectorial:

(x, y, z) = α*v1 + β*v2 + φ*v3

Desarrollando la ecuación vectorial, se obtiene la ecuación paramétrica. La dimensión se puede hallar contando los parámetros (α, β, φ, etc.).

Para obtener la ecuación implícita, se construye una matriz con los vectores de la base depurada por columnas, añadiendo al final una columna con las variables (x, y, z, t, etc.). Se reduce la matriz mediante transformaciones elementales hasta llenar toda la diagonal de 1, excepto la última columna. Las ecuaciones que queden se igualan a 0.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

  • Si el sistema es compatible indeterminado: Rg(A) = Rg(A*) < número de incógnitas.
  • Si el sistema es compatible determinado: Rg(A) = Rg(A*) = número de incógnitas.
  • Si el sistema es homogéneo: la variedad lineal tiene una dimensión igual al número de incógnitas menos el rango de A.
  • Si el sistema no es homogéneo:
    1. Depurar todas las ecuaciones (verificar si sus vectores son linealmente independientes; si no lo son, se descartan).
    2. Reducir la matriz.
    3. Realizar un cambio de variable y resolver.
    4. Deshacer el cambio.

Teorema de Rouché-Frobenius

Para resolver un sistema de ecuaciones, se obtiene la matriz A con los coeficientes y la matriz A* con los términos independientes.

  1. Comprobar la compatibilidad: Rg(A) = Rg(A*).
  2. Eliminar las ecuaciones dependientes (calculando rangos).
  3. Reducir A = ^ (¡anotar las transformaciones!).
  4. Establecer Ax = b; FAC = ^; A = F-1 * ^ * C-1; Ax = 0 → F-1 * ^ * C-1 * (x, y, z, t) = (0… tantos ceros como filas tenga ^); utilizar un cambio de variable C-1 * x = (a, b, c, d, e).
  5. Obtener una solución. Deshacer el cambio multiplicando por C (que puede ser expresado mediante transformaciones fila).
  6. Si el sistema es homogéneo, esta es la solución (v1, v2, v3, etc.). Si no lo es, establecer Ax = b (siendo b la matriz de los términos independientes). Aplicar las primeras transformaciones fila a b, y la solución será esta nueva matriz + α*v1 + β*v2 + …

Teorema de Gauss

El Teorema de Gauss se utiliza para reducir la matriz A y conseguir un sistema triangular (partiendo de que sea compatible determinado).

Se utiliza un pivote. Para conseguir 0 en la primera columna, se mantiene a11 como está y se realizan las siguientes transformaciones: A * F21(-a21/a11) * F31(-a31/a11) * … * Fn1(-an1/a11).

Después, teniendo en cuenta que a22 ≠ 0, se repite el proceso para la segunda columna usando a22 como pivote.

Para evitar errores del ordenador, se utilizan transformaciones fila y columna para situar en la posición a11 el número con mayor valor absoluto, y se repite el proceso con las siguientes submatrices.

Método LU

El método LU se utiliza para sistemas compatibles determinados. Consiste en descomponer la matriz A en el producto de dos matrices: L (triangular inferior con 0s arriba) y U (triangular superior con 0s abajo y diagonal de 1).

Se establece: A = L * U; Ax = b → LUx = b; cambio de variable (Ux = y) → Ly = b; se resuelve y se deshace el cambio.

Método de Cholesky

El método de Cholesky se utiliza para matrices simétricas con determinante mayor que 0.

Se establece: Ax = b; A = B’ * B (donde B es una matriz triangular superior y B’ una triangular inferior).

B’ * y = b

B * x = y

Conceptos Adicionales

  • Norma de un vector
  • Condicionamiento de un sistema: Las transformaciones unitarias tienen cond(F) = 1. Ejemplo: F’ * F = I.

Método de Householder

Nota: Por el teorema de Rouché-Frobenius, se conoce la dimensión. Manteniendo los dos valores (a y b) ya hallados, se añaden tantos 0s como sea necesario a las soluciones, siempre manteniendo la independencia lineal. Se deshace el cambio multiplicando por transformaciones FILA y se obtiene la solución final.