Análisis de Energía de Deformación y Matrices de Rigidez en Estructuras Reticulares

Energía de Deformación en Celosías

Se toma una barra (L, A, E) sometida exclusivamente a esfuerzo axial N constante a lo largo de su longitud, esfuerzo que da lugar a una tensión axial σ uniforme.

σ = N/A     ε = 1/E ⋅ σ (Ley de Hooke)

U₀ = ∫₀^εσ ⋅ dε

U₀* = ∫₀^σ ε ⋅ dσ (Valor de la densidad de energía elástica complementaria acumulada en un punto cualquiera de un elemento de celosía)

Si el material es elástico lineal: U₀ = U₀* = 1/2 ⋅ ε ⋅ σ

Si el material es elástico lineal con efectos térmicos: U₀ ≠ U₀*   ε = ε_T + ε_σ = ε_T + σ/E

U₀* = ∫₀^σ ε ⋅ dσ = ∫₀^σ (ε_T + σ/E) ⋅ dσ = ε_T ⋅ σ + [σ²/(2E)]₀^σ = ε_T ⋅ σ + σ²/(2E) = α ⋅ ΔT ⋅ σ + σ²/(2E) = α ⋅ ΔT ⋅ N/A + N²/(2EA²)

Se supone que la barra es de propiedades uniformes en toda su longitud (A, E, α y ΔT)

U* = ∫_v U₀* ⋅ dV = ∫[α ⋅ ΔT ⋅ N/A + N²/(2EA²)] ⋅ A dx = α ⋅ ΔT ⋅ N ⋅ L + N²/(2EA) ⋅ L = λ ⋅ N + N²/2 ⋅ ρ

La expresión se simplifica mediante la definición de dos parámetros: λ y ρ

La expresión final de la energía complementaria acumulada en una barra de propiedades uniformes: U_i* = λ_i ⋅ N_i + N_i²/2 ⋅ ρ_i

Y la acumulada en una celosía de b barras: U* = Σ λ_i ⋅ N_i + Σ N_i²/2 ⋅ ρ_i (De i=1 a b)

Significado Físico de la Matriz de Rigidez

Para poner de manifiesto el significado físico de la matriz de rigidez de la estructura, basta con imponer a la misma el siguiente estado de deformación: al grado de libertad j se le impone una deformación de valor unidad (Δ_j=1) mientras que los restantes grados de libertad se mantienen fijos (Δ_i=0, i≠j), y se determinan las fuerzas que es preciso aplicar según los distintos grados de libertad para que ese estado de deformación sea posible.
Veremos que el coeficiente de la matriz de rigidez K_ij se corresponde con la fuerza que hay que aplicar según el grado de libertad i al introducir un desplazamiento unidad según el grado de libertad j, manteniendo fijos todos los demás grados de libertad.
En virtud de la Ley de Reciprocidad de Maxwell se verifica que: k_ij=k_ji. Lo que indica que la matriz de rigidez será simétrica.
Supongamos que en la estructura de la figura se da un desplazamiento unitario en la dirección del grado de libertad 4 y nulo en los demás.

Para que la estructura esté en equilibrio, habría que aplicar una fuerza externa y según los distintos grados de libertad que serán los K_i4 (i=1…12). Esto se puede expresar de la siguiente forma (ecuaciones de equilibrio de la estructura): ΣK_ij ⋅ Δ_j = F_i

Este sistema puede formularse matricialmente: {F}=[K]⋅{Δ} (Donde F…)

Características de la Matriz de Rigidez

• Cuadrada: [K]_nxn n=grados de libertad
• Simétrica: [K] = [K]^T
• Dispersa: Tiene muchos términos nulos. Esto se debe a que cada elemento solamente aporta rigidez a los grados de libertad de aquellos nudos a los que se une; por lo tanto, si un nudo p no está relacionado directamente con otro nudo q, en los términos de acople entre sus grados de libertad no se añade ninguna rigidez.
• Estructura de banda: Términos no nulos alrededor de la diagonal. Si la numeración de los nudos es adecuada los términos no nulos de la matriz se agrupan alrededor de la diagonal. Es conveniente numerar los nudos de tal forma que cualquier barra conecte a dos nudos cuya numeración sea lo más próxima posible.
• Definida positiva: La energía de deformación elástica y el trabajo realizado por las fuerzas externas es positivo.

Cambio de Coordenadas de una Matriz

El objetivo es hallar una expresión que relacione la matriz de rigidez en coordenadas locales con la misma matriz en coordenadas generales.

Desplazamientos: {δ_i}=[T₀]⋅{Δ_i} y {δ_j}=[T₀]⋅{Δ_j}    (δ local y Δ global)

Fuerzas: {P_i}=[T₀]⋅{F_i} y {P_j}=[T₀]⋅{F_j}           (P local y F global)

Transformación de los vectores de fuerza y desplazamiento del elemento:

Se introducen estas expresiones en las ecuaciones de equilibrio del elemento:

Matrices de Rigidez de Elementos Estructurales: Barra articulada plana

Elemento estructural articulado en los 2 extremos sin cargas aplicadas: Esfuerzo axial

Desplazamientos: {δ^e}={{δ_i^e} {δ_j^e}}={δ_ix^e δ_iy^e δ_jx^e δ_jy^e }={δ₁ δ₂ δ₃ δ₄}

Fuerzas: {P^e}={{P_i^e} {P_j^e}}={P_ix^e P_iy^e P_jx^e P_jy^e } = {P₁ P₂ P₃ P₄}

Sus términos se calculan dando de manera sucesiva valores unitarios a los 4 desplazamientos posibles:

Haciendo lo mismo para δ₂= 1, δ₃=1 y δ₄= 1 obtengo todos los K_ij:

(Falta la otra mitad)