Didáctica de las Matemáticas: Números Naturales, Sistemas de Numeración y Operaciones

Números Naturales

Los números naturales se usan para:

  • Cuantificar: Expresar una cantidad (contar magnitudes discretas, medir magnitudes continuas).
  • Ordenar.
  • Codificar.

Métodos de Cuantificar

  • Contar: Recitar la secuencia numérica ordenada, asociando nombre-número.
  • Medir: Utilizar técnicas específicas.
  • Subitizar.
  • Calcular.
  • Estimar.

Actividades Prenuméricas

Clasificar

Actividad prenumérica básica. Se realiza atendiendo al color, textura, tamaño, forma, etc. Desarrolla la habilidad para clasificar mediante criterios que exijan mayor abstracción.

Seriar

Formar conjuntos de cosas que se suceden unas a otras y que están relacionadas entre sí o siguen un patrón.

Conservación del Número: Tres Niveles

  1. No se ha adquirido el principio de igualdad ni el de conservación.
  2. Se ha adquirido el principio de igualdad, pero no el de conservación.
  3. Se han adquirido ambos principios.

Dificultades

  • Contar exige: memorización de tramos de la sucesión numérica, recitar cualquier tramo de la sucesión para saber cuáles son los números anterior y posterior.
  • Percepción de ordinal o de cardinal:
    • Ordinal: El niño no entiende que el último ordinal determina al mismo tiempo el cardinal de todo el conjunto.
    • Cardinal: Dificultad para reinterpretar un cardinal como ordinal.

Errores

Recitado

Recitado incorrecto de la sucesión numérica: saltarse palabras, decirlas en otro orden, etc. Puede deberse a no tener asumido el orden siempre idéntico en el que se recita la serie numérica o a una memorización incorrecta.

Coordinación

No hay coordinación entre la emisión de la palabra y el señalamiento del objeto. Se debe a: desconocimiento del principio de correspondencia uno a uno, no saber dónde empiezan y acaban distintas palabras numéricas, falta de coordinación vocal y movimiento de la mano.

Partición

No llevar la cuenta.

Sistemas de Numeración

Conjunto de reglas y símbolos que permiten construir todos los números válidos.

Tipos de Sistemas de Numeración

Aditivos

El número representado se obtiene sumando los valores de los signos de su representación, sin importar el orden. Hay símbolos para la unidad, la base y las potencias de la base. Ejemplo: sistema jeroglífico egipcio.

Multiplicativos

El número representado se obtiene multiplicando cada potencia de la base por el valor del símbolo que le precede y sumando los resultados junto con las unidades. Símbolos para la unidad, la base, las potencias de la base y los números comprendidos entre la unidad y la base. Ejemplo: sistema chino.

Posicionales

Sistema multiplicativo ordenado, no hace falta escribir las potencias de la base.

  • Se definen símbolos para la unidad y los números entre la unidad y la base.
  • Se define el símbolo 0 para la no existencia de unidades.
  • No se definen símbolos específicos para la base ni para las potencias de la base.
  • Cada uno de los signos tiene dos valores: el propio y el que le da el lugar que ocupa.

Aprendizaje y Enseñanza del Sistema Escrito de Numeración

El aprendizaje del sistema escrito se desarrolla en dos etapas: la lectura y la escritura de las cifras (0-9) y la lectura y la escritura de números de dos o más cifras.

Errores

  • En números de una cifra: inversión de la grafía, caligrafía, de recorrido.
  • En números de varias cifras: invertir el orden de las cifras, incorporar la potencia a la base, suprimir o añadir ceros, dificultades en la escritura de números muy grandes, tanto en niños como en adultos.

Materiales

Ábaco, material multibase, bloques de Dienes, regletas de Cuisenaire, tablas de números.

Estructura Aditiva

Etapas en el Aprendizaje de las Operaciones

  1. Acciones: Se proponen actividades que dan lugar a la suma o a la resta (agregar, desagregar, reunir, separar).
  2. Modelos: Para cada operación se deben buscar los modelos más útiles y convenientes.
  3. Simbolización: A partir de modelos, se llega a un nivel mayor de abstracción: operaciones con símbolos. Ejemplo: 2 + 5 = 7. Establece la relación entre esos tres números sin ningún modelo.
  4. Hechos numéricos y tablas: Cuando se sabe responder a alguna cuestión así: 2 + 5 = ?, sin recurrir a algún modelo, se dice que se conoce el dato o hecho numérico.
  5. Algoritmos: Mediante el conocimiento de hechos numéricos y siguiendo una secuencia de reglas, se calcula el resultado de una operación con dos números cualesquiera.

Estrategias Informales para Sumar

  • Contar todo.
  • Contar desde el primer sumando.
  • Contar desde el sumando mayor.
  • Agregar y volver a contar.

Estrategias para Restar

  • Separar y volver a contar.
  • Contar hacia atrás desde el minuendo.
  • Contar hacia delante desde el sustraendo.

Dificultades y Errores en la Resolución de Problemas

  • No comprender el enunciado, llegando a la solución pero sin ser consciente del procedimiento.
  • Comprender el enunciado, pero equivocarse al elegir las operaciones.
  • No interpretar las respuestas.
  • Ser capaz de resolverlo en clase, pero no fuera de ella.
  • Dificultades con el lenguaje.
  • Realizar las operaciones, pero no comprender el problema.

Ayudas

  • Reenunciación oral o escrita del problema.
  • Representación lingüística: articular el enunciado en función de lo que se conoce (datos) y lo que no (pregunta).
  • Representación figurativa: el alumno representa el problema mediante figuras geométricas, donde pone lo que sabe y lo que no.
  • Razonamiento: tomar la decisión sobre qué tipo de operación hay que realizar.

Secuencia de Aprendizaje del Algoritmo de la Suma

  1. Tabla de sumar: Conjunto de todas las sumas de dos sumandos donde cada uno de ellos es un número de una sola cifra. Suma trabajada como reunión o conteo de uno en uno.
  2. Suma de números de más de un dígito sin llevadas:
    • Sumas de términos de las mismas unidades (suma de decenas: 10 + 30, sumas de centenas, etc.).
    • Descomposición del número para justificar el algoritmo clásico de la suma por columnas:
      45 -> 40 + 5    45
21 -> 20 + 1    21
             -----
             66
  3. Suma de números de más de un dígito con llevadas:
    • Sumas en términos de las mismas unidades.
    • Descomposición y sumas parciales.
    • Algoritmo clásico: sumas parciales en orden (de derecha a izquierda) y anotando las llevadas.

Secuencia de Aprendizaje del Algoritmo de la Resta

(Igual que la suma).

Estructura Multiplicativa

Estrategias de la Multiplicación

  • Reiterar la suma (de dos en dos, de tres en tres).
  • Emparejar y hacer un recuento.

Estrategias para la División

  • Repartir equitativamente de uno en uno.
  • Formar grupos y ajustar.
  • Agrupar equitativamente la colección.
  • Sumar reiteradamente el divisor hasta alcanzar el dividendo.
  • Restar reiteradamente al dividendo el divisor.
  • Hacer tanteos usando sumas repetitivas.

Etapas del Aprendizaje del Algoritmo de la Multiplicación

  1. «Tabla de multiplicar»: multiplicación de dos números de un dígito y memorización de resultados.
  2. Multiplicar un dígito x 10, x 100, x 1000.
  3. Multiplicar un número cualquiera x 10, x 100, x 1000.
  4. Multiplicar un número cualquiera x múltiplos de 10, 100, etc.
  5. Multiplicar un dígito x un número cualquiera, descomponiendo.
  6. Algoritmo de multiplicación clásico por un dígito.
  7. Multiplicar dos números cualesquiera.

Etapas de Aprendizaje de la División

  1. Divisiones pequeñas como inversas de la multiplicación.
  2. Divisiones exactas por números de una cifra, por reparto global.
  3. Divisiones exactas por números de más de una cifra, por reparto global.
  4. Divisiones no exactas por reparto global.
  5. División exacta por números de una cifra, por reparto parcial.
  6. División exacta por números de más de una cifra, por reparto parcial.
  7. Automatización del proceso de reparto y de la realización de operaciones.

Problemas Aditivos

  • Cambio: Cantidad inicial + Cambio = Cantidad final.
  • Combinación: Parte + Parte = Todo.
  • Comparación: Cantidad de referencia, cantidad comparada, diferencia. Más que, menos que; lo que sigue es la cantidad de referencia.
  • Igualación: Cantidad de referencia, cantidad comparada, diferencia. Igual que, tantos como.

Problemas Multiplicativos

  • Multiplicar: Suma reiterada y producto cartesiano.
  • Dividir: Agrupamiento y partición-reparto.
  • Razón: E x I = E (ddi -> multiplicación, suma reiterada; did -> E/E = I -> división, partición; idd -> E/I = E, división, agrupamiento).
  • Comparación: E x Ie = E (ddi -> multiplicación, suma reiterada; did -> E/E = Ie -> división, agrupamiento; idd -> E/Ie = E, división, partición).
  • Combinación: E x E = E (ddi -> multiplicación, producto cartesiano; did e idd, división).

Fracciones

Significado

  • Parte-todo (medida).
  • Razón.

Representación

  • Modelo continuo:
    • Área.
    • Longitud (recta numérica).
  • Modelo discreto:
    • Puntos.
    • Cruces, etc.

Materiales

  • Diagrama de Freudenthal de fracciones.
  • Transparencias de fracciones: hojas transparentes donde hay dibujados varios cuadrados divididos en partes iguales.
  • Dominó.

Errores

  • Significado: No tener claro el concepto parte/todo, pensar que la unidad está dividida en trozos aunque sean desiguales, si las partes tienen distinta forma o no están contiguas se asume que son distintas.
  • Operación: Suma/resta: sumar denominadores y numeradores, etc.; equivalencia de fracciones; no asumir que el producto disminuye y la división aumenta; mezclar reglas aditivas y multiplicativas.
  • Orden: Trasladar el orden de los números naturales a las fracciones.

Secuencia de Enseñanza

  1. Construcción y uso de fracciones simples (mitades, cuartos, tres cuartos) aplicadas a capacidades, longitudes, pesos, etc.
  2. Resolución de situaciones sencillas y diversas con materiales y representaciones variados.
  3. Fracciones equivalentes: representan la misma parte de la unidad.
  4. Comparación de fracciones usando distintos procedimientos y representaciones (llenado, recortado, plegado).
  5. Manejo de distintas escrituras para las fracciones.
  6. Las operaciones con fracciones.
  7. Resolución informal de situaciones: representación de procedimientos y resultados de manera oral, gráfica y simbólica.

Cálculo Mental

Estructuras Cuadráticas

  • (a + b)² = a² + 2ab + b²
  • (a – b)² = a² – 2ab + b²
  • (a + b)(a – b) = a² – b²

Cuadrado de un Número de Dos Cifras Acabado en 5

a5² = a(a + 1)100 + 25
75² = 7(7 + 1)100 + 25

Producto de Números con la Misma Decena y Unidades Complementarias

ab x ac = a(a + 1)100 + bc
b + c = 10
36 x 34 = 3(3 + 1)100 + 6 x 4 = 1224

Multiplicar por 5, 50, 500

x 5 es x 10 / 2
x 50 es x 100 / 2
43 x 5 = 43 x 10 / 2 = 430 / 2 = 215

Dividir entre 5, 50, 500

: 5 es x 2 / 10
450 : 5 = 450 x 2 / 10 = 900 / 10 = 90

Multiplicar por 25

x 25 es x 100 / 4 -> x 100 / 2 y luego / 2.