Desarrollo del Pensamiento Lógico-Matemático en Educación Infantil

Opción Didáctica: Promover el Desarrollo del Pensamiento y Razonamiento Lógico en Niños

Crear situaciones que provoquen la evolución del lenguaje, pensamiento y actividad lógica en los niños.

Generar Actividad Lógica

Simbolización, clasificación, seriación… todas ellas generan actividad matemática relacionada con la construcción del número, de la magnitud y la medida, y la geometría.

Álgebra

Los patrones pueden usarse para reconocer relaciones y pueden extenderse para realizar generalizaciones.

Números

Los números pueden usarse para indicar cuántos hay, describir orden y medida. Implican numerosas relaciones y pueden representarse de distintos modos.

Operaciones

Las operaciones con números pueden ser usadas para representar una variedad de situaciones del mundo real y para resolver problemas; se deben llevar a cabo de distintos modos.

Análisis de Datos

El análisis de datos puede usarse para clasificar, representar y usar la información para presentar y resolver preguntas.

Medida

Comparar y medir puede usarse para especificar cuánto tiene un objeto respecto de un atributo. La medida se halla a través de la repetición de una unidad o usando una herramienta.

Geometría

La geometría puede usarse para comprender y representar los objetos, direcciones y localizaciones en nuestro mundo, y las relaciones entre ellos. Las formas geométricas pueden ser descritas, analizadas, transformadas, y compuestas y descompuestas en otras formas.

El Sentido Numérico

Es una forma de pensar y usar los números. Griffin (2004) propone 6 indicadores del sentido numérico:

Saber que los números indican cantidad y, por tanto, en sí mismos, tienen tamaño.
Aceptar que las palabras»mayor qu» o»más qu» tienen sentido con los números, pues permiten expresar relaciones entre ellos.
Saber que cualquier número desde el 1 al 10 ocupa una posición fija en la secuencia numérica.
En íntima relación con el anterior, identificar que el 6 va antes que el 8 en la secuencia numérica.
Conocer que los números que vienen después en la secuencia se corresponden con cantidades mayores y, por tanto, que 8 es mayor que 6.
Saber que el conteo de forma ascendente en la secuencia corresponde, precisamente, a un incremento en una unidad respecto del elemento anterior.

Dimensiones que Definen al Número Natural

Dimensión simbólica
Dimensión numeral
- Ordinal
- Cardinal

Secuencia, Recuento, Medida, Código, Ordinal, Cardinal

Competencias y Conocimientos Numéricos Implicados en el Desarrollo de la Comprensión del Número

Dimensión

Simbólica (en diferentes situaciones)
Numérica: ordinal, cardinal, secuencia, recuento

Representación continua y discreta
Descomposición del número
Comprobación de ciertas propiedades de la operación suma
Diferentes…

Símbolo matemático
Gráficos
Lenguaje verbal
Modelos manipulativos (material concreto)
Situaciones reales

La Subitización (Clement y Sarama)

Subitizar

Reconocer el número de objetos de pequeñas configuraciones de manera instantánea.

Subitización Perceptiva

Percibir intuitiva y simultáneamente los puntos en su conjunto.

Subitización Conceptual

La respuesta se produce después de haber identificado el todo a partir de las partes que lo forman. Permite a los alumnos desarrollar la abstracción del número y estrategias aritméticas.

Contribución al Desarrollo de las Ideas Básicas de Cardinal

Cuántos hay en una colección
Relaciones menor-mayor, parte-todo
Inicio de la aritmética

Se puede apoyar en patrones de naturaleza espacial, en patrones rítmico-temporales o de dedos (principal recurso con el que cuentan los alumnos).

La Subitización desde la Enseñanza

Evitar que el conjunto de objetos invite a contar las piezas.
Que los objetos se dispongan de manera ordenada, para que las partes contribuyan a identificar el todo.
Trabajar distintas configuraciones asociadas a un determinado número, que pueden ser creadas por los propios alumnos. Se evita que la naturaleza del patrón se convierta en un elemento relevante para determinar la numerosidad del conjunto.

Conteo <-> Número en la Secuencia

A medida que el alumno se implica en actividades variadas de conteo, va profundizando en la lógica que subyace al conjunto de números organizados en la secuencia numérica:

Propiedad ordinal de los números. Cada número supone una unidad mayor que la anterior. Base de la relación »mayor-menor».
Jerarquización de clases. Números contenidos en otros. Base de relación »parte-todo».

El Conteo como Proceso para Determinar el Cardinal de un Conjunto (Muñoz-Catalán y Liñán, en prensa)

Conteo.
La lista de palabras-números (secuencia numérica) al menos hasta el 10.
La enumeración de los objetos de una colección.
- Establecer una relación de orden total en el mismo -> ordenar las partes de un conjunto con el fin de enunciarlas de manera controlada.
- Señalar o mover cada parte del conjunto que ha sido ordenado, a la vez que se va controlando que cada parte solo tenga una única etiqueta asignada y que se ha recorrido el conjunto en su completitud.
La comprensión de que la última palabra número pronunciada en una situación de enumeración de objetos proporciona el tamaño del conjunto.

Contar

Habilidades de Contar

Asignación individual de etiquetas en secuencia a los elementos de un conjunto, designando la última etiqueta el cardinal. Esta habilidad requiere la coordinación visual, manual y verbal.

Aspectos Interrelacionados del Conteo

Nombrar y reconocer instantáneamente cuántos elementos hay en una colección pequeña (subitizar).
Manejar la lista de palabras-números al menos hasta 10.
Enumerar objetos.
Entender que la última palabra que se dice cuando se cuenta indica cuántos ítems han sido contados (cardinalizar).

Principios de Conteo

Principio de correspondencia uno a uno. Permite asignar a cada elemento una única etiqueta y a cada etiqueta un único elemento. Dentro de él hay dos procesos:
- Partición: Elementos de un conjunto que han sido contados y los que faltan por contar.
- Etiquetación: Asignación de un conjunto de etiquetas que el niño habrá de hacer corresponder una y solo una vez a cada objeto.
Principio de orden estable. La secuencia de números a utilizar ha de ser estable, estar formada por etiquetas únicas, y poder repetirse en cualquier momento.
Principio de cardinalidad. La última etiqueta usada en el conteo de un conjunto de objetos representa el número de objetos contenidos en el mismo.
Principio de abstracción. El número de objetos de un conjunto es independiente de las cualidades de los elementos del mismo.
Principio de orden irrelevante. El cardinal de un conjunto no se ve afectado por el orden de enumeración. Es condición necesaria pero no suficiente para comprender la irrelevancia del orden haber adquirido los tres primeros principios (correspondencia uno a uno, orden estable y cardinalidad).

Niveles de Organización de la Cantinela

Fase de Adquisición

Se realiza el aprendizaje de la secuencia convencional como un bloque compacto. Posteriormente, los niños comienzan a aplicarla en el procedimiento de conteo.

Fase de Elaboración

Se crean nuevos nexos entre los numerales proporcionados por la fase de adquisición, convirtiéndose en elementos sobre los que operan las estrategias de resolución de problemas. Este período de elaboración se subdivide en cinco niveles:

Niveles de Organización de la Cantinela

Nivel cuerda: La sucesión de términos comienza en el uno, los términos no están bien diferenciados.
Nivel cadena irrompible: La sucesión de términos se produce comenzando desde el uno, pero los términos están bien diferenciados.
Nivel cadena rompible: La sucesión puede comenzar a partir cualquier término, pero siempre en sentido ascendente.
Nivel cadena numerable: La sucesión consiste en contar un número de términos a partir de uno dado. Hay que dar el número al que se llega como respuesta.
Nivel cadena bidireccional: La sucesión se puede recorrer hacia arriba o hacia abajo, rápidamente desde un término cualquiera, se puede cambiar fácilmente la dirección.

Fases de Aprendizaje de la Cantinela

Parte I, Estable y Convencional

Recitado normal de la cantinela por un adulto.
Las palabras-números se recitan en el mismo orden estable y convencional.
El tamaño de la serie crece con la edad.
Se constata grandes diferencias entre individuos, en función de las influencias socioculturales.
Es la única parte del recitado que va a ir aumentando y consolidándose hasta constituir la única parte del recitado.

Parte II, Estable y No Convencional

Repite una parte de la serie siempre de la misma forma, estable, al menos en el 80% de los casos. En una parte de la serie puede haber omisiones o cambios en el orden. P.Ej. 12, 13, 15, 16, 18, 17.
Se da sobre todo en la serie de números que va del 10 al 19, cuando se está aprendiendo la cantinela hasta el 30 y deben contar una colección numerosa sin disponer aún de la cantinela memorizada. Así, se inventan una serie donde incluyen números que han escuchado.
No extraen regularidades del SND oral, que solo se van a percibir a partir del 20 (del 11 al 15 son irregulares).

Parte III, No Estable y No Convencional

Las palabras-números cambian de una vez a otra, de forma inestable y desordenada, con ausencias y repeticiones, no convencional, usando otras palabras, incluso colores.

Adquisición de la Sucesión de las Decenas

La adquisición del léxico de las decenas viene guiado por el conocimiento del esquema con dos posiciones, los números posteriores a 20 deben ir precedidos por un 2 y seguir la serie elemental 21, 22, 23… Se producen errores del tipo veintidiez, veintionce.
La adquisición del léxico de dos posiciones viene reforzado por la escritura de la numeración árabe que acabamos de ver: veinti… treinta y… cuarenta y… cincuenta y…
La generalización abusiva produce errores más allá de la centena: 108, 109, 200, 201…

Sistematización de la Sucesión de las Decenas

Conocimiento exacto del léxico y control de la secuencia comprendida entre el 1 y 100.

Comparar y Ordenar

Necesitan aprender métodos de emparejamiento y conteo.
Inicialmente: dos colecciones son iguales si los objetos de una y otra están próximos, pudiendo emparejarse.
Posteriormente pueden usar el emparejamiento para crear una colección igual a otra.
La comparación es compleja, necesitan experiencia resolviendo problemas y trabajar historias que impliquen comparación.

Componer y Descomponer

Permiten formar conceptos de parte-todo.
Desde muy pequeños se pueden percibir las partes y el todo con cantidades muy pequeñas (si a dos cosas le añado otra, tengo tres cosas).
Pueden desarrollar procedimientos de composición-descomposición: visualización de parejas de números para otro dado.
Visualizar números pequeños dentro de otros mayores.
Muy importante: Dobles/mitades, secuencias apoyadas en 5 (que se extenderán a 10).

Añadir a o Quitar de

Aprecian los efectos de aumentar o disminuir colecciones pequeñas.
Van siendo más eficientes en el razonamiento asociado al aumento/disminución.
Se presentan dificultades si dos colecciones son inicialmente desiguales.
Pueden resolver problemas de cambio juntar/separar al contar con precisión.

Agrupar y Valor de Posición

Idea principal: hacer unidades mayores.
Agrupar -> contar a saltos -> multiplicar -> medida.
Organizar colecciones de grupos de 10 -> grupos de 100?…

Partes Iguales

Emerge alrededor de los 3 años, cuando son capaces de repartir una pequeña colección equitativamente entre dos. Si las cantidades son pequeñas, pueden dividir una colección en más partes iguales.
A partir de los 4 años, pueden elaborar estrategias de reparto por correspondencia uno-uno.
Fundamental para situaciones de multiplicación, división y medida.

Importancia de los Modos de Representación

(Modelo de Lesh, 1983)

Símbolo
Escrito
Diagramas
Lenguaje hablado
Concretos
Situaciones reales

Obstáculos en el Aprendizaje

Epistemológico

La mayor parte de las producciones muestran que no se ha asumido totalmente la cardinalidad del conjunto, pues solo en una de ellas aparece una lista con la cantidad de pegatinas de cada color. En el resto, el hecho de contar los elementos del conjunto haciendo corresponder la secuencia numérica con cada elemento del conjunto no les ha llevado directamente a la cantidad total del mismo sin necesidad de escribir cada elemento (aspecto cardinal del número).
El conocimiento de la cantinela puede constituir un obstáculo en la cardinación de colecciones: por ejemplo, contando los elementos de un conjunto a la vez que se señalan 1, 2, 3 no se pasa de el tres (elemento número 3) a los tres (el conjunto tiene tres elementos).

Didáctico

A veces, las decisiones que toma el maestro, dirigidas por el propio sistema educativo, pueden llevar a trabajar de forma ostensiva la cantinela, sin asociarla al significado de cada número como cardinal u ordinal.

Ontogénico

Falta de maduración en la inclusión de clases, es decir, la existencia del segundo elemento del conjunto implica la del primero.

Actividad 1

Los niveles de organización de la cantinela que se dan son los siguientes:
El primer alumno se encuentra en el nivel de cadena bidireccional debido a que la sucesión se puede recorrer fácilmente hacia arriba (7) o hacia abajo (5) rápidamente desde un término cualquiera, en este caso, sería el número 5. El segundo alumno dará dos respuestas, en la primera se encuentra en el nivel de cadena rompible ya que puede comenzar en cualquier término, en este caso, el 2, pero siempre en sentido ascendente, aunque no llega a alcanzar la respuesta correcta (le piden 4 números sueltos y se queda en 3). En la segunda respuesta, el alumno alcanza el nivel de cadena numerable, puesto que el niño cuenta el número de términos (4) a partir del número dado, el 2, llegando al número correcto como respuesta, el 6.
Y para terminar, los principios de conteo que se dan en ambos alumnos, por una parte, es el de orden estable debido a que cada número corresponde a una única etiqueta, es decir, una única asignación (el 5 es el 5, el 7 es el 7) que se encuentra en un orden establecido y puede repetirse en cualquier momento.
Otro de los principios que presentan ambos es el principio de correspondencia uno a uno debido a que asignan a cada elemento (números) una única etiqueta y cada etiqueta a un único elemento (manteniendo el mismo orden los números), coordinando los dos procesos: partición (elemento de un conjunto que ha sido contado y lo que falta por contar) y etiquetación (asignación de un conjunto de etiquetas).

Actividad 2

El alumno de esta actividad presenta el principio de correspondencia uno a uno debido a que le da una asignación a cada brazo, coordinando los dos procesos: partición (elemento de un conjunto que ha sido contado y lo que falta por contar) y etiquetación (asignación de un conjunto de etiquetas) para llegar a un resultado concreto, es decir, lo que es lo mismo que el principio de cardinalidad, ya que la última etiqueta usada corresponde a la representación del objeto que corresponde a este contenido, donde entra en juego el principio de orden irrelevante, ya que el conjunto no se ve afectado por el orden de enumeración. Por último, se debe nombrar el principio de abstracción ya que el número de objetos, como en este caso serían los brazos del pulpo, es independiente de las cualidades del mismo.
Sin embargo, entre los principios a desarrollar no se encuentra presente el principio de orden estable, ya que la secuencia de números utilizada no sigue un orden establecido (tres, cinco, cuatro…).